天水市一中2015级2017—2018学年度第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虚数单位，是z的共轭复数)，则z的虚部为( )

A．1 B．－1 C．i D．－i

2．如图，已知R是实数集，集合A＝{x|log (x－1)＞0}，B＝{x|＜0}，则阴影部分表示的集合是( )

A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]

3．已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x＜3x；命题q：∀x∈，tan x＞sin x，则下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．p∨(q) C．(p)∧q D．p∧(q)

4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )

A. B. C. D.

5．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于 ( )

A. B．2 C．3 D．4

6.设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论：

1 ＞ ；② ＜ ； ③ ，

其中所有的正确结论的序号是.

A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）

A． B．

C． D．

8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的斜率是( )

A．4 B．3 C．2 D．1

9．某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为( )

A．[15,60) B．(15,60] C．[12,48) D．(12,48]

10．已知P(x，y)为平面区域(a＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z＝2x－y的最大值是( )

A．1 B．3 C．2 D．6

11．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－，则数列的前n项和Tn＝( )

A．－ B. C．－ D.

12．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点(0,2)，M为抛物线上的一个动点，则M到直线l1：5x－4y＋4＝0和l2：x＝－的距离之和的最小值为( )

A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．

14．已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．

15.已知，则不等式的解集为

16．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于________．

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cos B＝1－cos Acos C.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．

18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；

(注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)

(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．

19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.

(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、

(2)求二面角BSCD的余弦值．

20.(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(2,0)，点P在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为－1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y－3＝0平行．

(1)求证：方程f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的实根；

(2)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q}表示p，q中的较小者)，求m(x)的最大值．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.

(1)写出Γ的参数方程；

(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|2x－a|.

(1)若f(x)＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，求实数a、b的值；

(2)若a＝2时，不等式f(x)＋m≥f(x＋2)对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

数学(理科)答案

1．解析：选A.因为＝＋1－3i＝＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，所以z＝2＋i，z的虚部为1，故选A.

2．解析：选D.由题可知A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜}，且图中阴影部分表示的是B∩(∁RA)＝{x|0＜x≤1}，故选D.

3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题，则綈p是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题，故选C.

4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C种可能．共有C＋2C＋C×2×2＋C＝44种情况，因而所求概率为P＝＝，故选A.

5．解析：选D.因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.

6.【答案】D

【解析】由不等式及a＞b＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a＞b＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.

7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。

8．解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝55，所以d＝4，所以kPQ＝＝＝d＝4，故选A.

9．解析：选B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组，

解得15＜x≤60，故选B.

10.

解析：选D.不等式组

变形可得，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S＝(2a＋2a＋2)×1＝3，解得a＝1，平移直线y＝2x，得z＝2x－y在点(2，－2)处取得最大值6，故选D.

11．解析：选C.设{an}的公差为d，S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋＝a1－，S4＝3a3＋a1＝a1－，因为S1，S2，S4成等比数列，所以 2＝a1，

整理得4a＋12a1＋5＝0，所以a1＝－或a1＝－.

当a1＝－时，公差d＝0不符合题意，舍去；

当a1＝－时，公差d＝＝－1，

所以an＝－＋(n－1)×(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，

所以＝－＝－，所以其前n项和

Tn＝－＝－＝－，故选C.

12.

解析：选A.抛物线的焦点为F，准线为x＝－，故直线AB的方程为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由2⇒x2－3px＋＝0，

所以x1＋x2＝3p，y1＋y2＝2p，故线段AB的中点坐标为，

又AB的垂直平分线经过点(0,2)，故AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，故p＝－＋2，p＝，x＝－是抛物线的准线，作MC¡Íl1于点C，MD¡Íl2于点D，如图所示，由抛物线的定义知|MD|＝|MF|，当M，C，F三点共线且点M位于C，F之间时，距离之和最小，其值是F到l1：5x－4y＋4＝0的距离，由点到直线的距离公式可得其距离d＝＝＝.

13．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离为＝＝b＝3，所以a＝4,2a＝8. 答案：8

14．解析：因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为Ca＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3.

答案：3

15.【解析】，因为所以是偶函数。

所以所以变形为：

又所以在单调递增，在单调递减。所以等价于故填

16解析：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN¡Í平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为á，所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋，所以所求轨迹的周长为2＋.

答案：2＋

17．解：(1)在¡÷ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．

由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos Acos C，

¡à－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)＝－cos Acos C，

化简，得sin2B＝sin Asin C．由正弦定理，得b2＝ac，¡àa，b，c成等比数列．

(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.

则cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时，等号成立．

¡ß0＜B＜ð，¡àsin B＝≤＝.

¡àS¡÷ABC＝acsin B≤×4×＝.¡à¡÷ABC的面积的最大值为.

18．解：(1)根据频率分布直方图可知(0.02＋0.03＋0.04＋m＋0.06)×5＝1，解得m＝0.05.

¡à所求样本中网购金额的平均值＝0.05×5×＋0.04×5×＋0.06×5×＋0.02×5×＋0.03×5×＝0.25×＋0.2×＋0.3×＋0.1×＋0.15×＝0.625＋1.5＋3.75＋1.75＋3.375＝11.

(2)这20个服务网点中，非优秀服务网点有20×0.75＝15个，优秀服务网点有20×(0.02＋0.03)×5＝5个，

¡àî的可能取值为0,1,2.

P(î＝0)＝＝，P(î＝1)＝＝，P(î＝2)＝＝，

¡àî的分布列为

E(î)＝0×＋1×＋2×＝＝.

19．解：(1)证明：因为SA＝1，AB＝2，SB＝，SA2＋AB2＝SB2，

所以¡÷SAB为直角三角形，且SA¡ÍAB，

又平面SAB¡Í底面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，

所以SA¡Í底面ABCD，SA¡ÍAC，

故¡ÏSCA为直线SC与底面ABCD所成的角，

即¡ÏSCA＝30°，可得AC＝，SC＝2.

在¡÷ADC中，AC＝，CD＝2，¡ÏADC＝60°，

所以＝，即3＝，

得sin¡ÏDAC＝1，故¡ÏDAC＝90°，

所以AD¡ÍAC.

因为AD∩SA＝A，所以AC¡Í平面SAD.

又AC⊂平面SAC，

所以平面SAD¡Í平面SAC.

(2)以A为原点，AC，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，

故A(0,0,0)，S(0,0,1)，B(，－1,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)，

则＝(，－1，－1)，＝(，0，－1)，＝(0,1，－1)，

设平面SBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则，

即，令z1＝，得x1＝1，y1＝0，

故n1＝(1,0，)为平面SBC的一个法向量．

设平面SCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

则，即，

故y2＝z2＝x2.

令x2＝1，得n2＝(1，，)为平面SCD的一个法向量．

¡àcos〈n1，n2〉＝＝＝＝.

分析可知二面角BSCD为钝角，故其余弦值为－.

20．解：(1)法一：¡ß椭圆C的右焦点为F2(2,0)，¡àc＝2，

椭圆C的左焦点为F1(－2,0)．

由椭圆的定义可得2a＝＋＝＋＝2，解得a＝，

¡àb2＝a2－c2＝6－4＝2.

¡à椭圆C的标准方程为＋＝1.

法二：¡ß椭圆C的右焦点为F2(2,0)，

¡àc＝2，故a2－b2＝4，

又点P在椭圆C上，则＋＝1，故＋＝1，化简得3b4＋4b2－20＝0，得b2＝2，a2＝6，

¡à椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y＝－x＋t，

由得x2＋3(－x＋t)2－6＝0，即4x2－6tx＋(3t2－6)＝0，Ä＝(－6t)2－4×4×(3t2－6)＝96－12t2＞0，

解得－2＜t＜2.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E¡ÍMN，故kF1E＝－＝1，又F1(－2,0)，E，

即E，

¡àkF1E＝＝1，解得t＝－4.

当t＝－4时，不满足－2＜t＜2，

¡à不存在满足条件的直线l.

21．解：(1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，

所以f′(1)＝2，又f′(x)＝ln x＋＋1，所以a＝1.

设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，

当x¡Ê(0,1]时，h(x)＜0，

又h (2)＝3ln 2－＝ln 8－＞1－1＝0，

所以存在x0¡Ê(1,2)，使h(x0)＝0.

因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，

当x¡Ê(1,2)时，0＜x(2－x)＝－(x－1)2＋1＜1，

ex＞e，所以0＜＜，所以＜，

所以h′(x)＞1－＞0，

所以当x¡Ê(1,2)时，h(x)单调递增，

所以方程f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的实根．

(2)由(1)知，方程f(x)＝g(x)在(1,2)内存在唯一的实根x0，且x¡Ê(0，x0)时，f(x)＜g(x)，

又当x¡Ê(x0,2)时，h′(x)＞0，当x¡Ê(2，＋∞)时，h′(x)＞0，

所以当x¡Ê(x0，＋∞)时，h′(x)＞0，

所以当x¡Ê(x0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，

所以m(x)＝

当x¡Ê(0，x0)时，若x¡Ê(0,1]，则m(x)≤0；

若x¡Ê(1，x0]，由m′(x)＝ln x＋＋1＞0，

可知0＜m(x)≤m(x0)，故

当x¡Ê(0，x0]时，m(x)≤m(x0)．

当x¡Ê(x0，＋∞)时，由m′(x)＝可得当x¡Ê(x0,2)时，

m′(x)＞0，m(x)单调递增；

x¡Ê(2，＋∞)时，m′(x)＜0，m(x)单调递减．

可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)＜m(2)．

综上可得，函数m(x)的最大值为.

22．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Ã上的点(x，y)，

依题意，得，即.由x＋y＝1，得2＋2＝1.

即曲线Ã的方程为＋＝1. 故Ã的参数方程为(t为参数)．

(2)由，解得，或.

不妨设P1(2,0)，P2(0,3)，则线段P1P2的中点坐标为，

所求直线的斜率k＝.于是所求直线方程为y－＝(x－1)，即4x－6y＋5＝0.

化为极坐标方程，得4ñcos è－6ñsin è＋5＝0.

23．解：(1)¡ß|2x－a|＜b，¡à＜x＜，

¡ßf(x)＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，¡à，¡à.

(2)由已知，得m≥f(x＋2)－f(x)＝|2x＋2|－|2x－2|对一切实数x均成立，

又|2x＋2|－|2x－2|≤|(2x＋2)－(2x－2)|＝4，¡àm≥4.