圆的标准方程与一般方程的转换

1. 已知方程x²+y²+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。

答案：（x+）²+（y+）²=

提示①：将原方程配方并整理

x²+Dx+（）²+y²+Ex+（）²-（）²-（）²+F=0

（x+）²+（y+）²-=0

提示②：将常数项移至方程右边。

（x+）²+（y+）²=

2. 将圆的方程（x-a）²+（x-b）²=r²化为一般方程的形式，结果为___________。

答案：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0

提示①：将原方程去掉括号并整理

x²+y²-2ax-2by+a²+b²=r²

提示②：将方程右边化为0

x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0

3. 已知圆的一般方程为x²+y²+6x-8y=0，则其标准方程为___。

A、(x-3)²+(y-4)²=25 B、(x-3)²+(y-4)²=5

C、(x+3)²+(y-4)²=25 D、(x-3)²+(y-4)²=5

答案：C

提示①：将原方程配方x²+6x+3²+y²-8y+4²-3²-4²=0

(x+3)²+(y-4)²-25=0

提示②：将常数项移至方程右边

(x+3)²+(y-4)²=25

4. 方程2（x+5）²+2y²=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。

A、2x²+2y²+20x+47=0 B、2x²+2y²+20x=-47

C、x²+y²+10x+=0 D、2x²+2y²+20x=-

答案：C

提示①：将原方程去括号并整理

2x²+2y²+20x+50=3

提示②：将方程右边化为0

2x²+2y²+20x+47=0

提示③：将x²、y²系数化为1

x²+y²+10x+=0

5. 圆C的方程为：x²+y²+4x-4y+4=0，则圆C的圆心坐标为___。

A、(-4,4) B、(4,-4)

C、(2,-2) D、(-2,2)

答案：D

提示①：将原方程配方并整理

x²+4x+2²+y²-4y+2²-2²-2²+4=0

(x+2)²+(y-2)²-4 =0

提示②：将常数项移至方程右边

(x+2)²+(y-2)²=4

提示③：根据标准方程（x-a）²+（x-b）²=r²的圆心坐标为（a，b），题中圆的圆心坐标为（-2，2），选D。

6. 已知圆的方程为x²+y²-6x-16=0，那么该圆的半径为______。

答案：5

提示①：将原方程配方并整理

x²-6x+3²+y²-3²-16=0

(x-3)²+y²-25 =0

提示②：将常数项移至方程右边

(x-3)²+y²=25

提示③：根据圆的标准方程（x-a）²+（x-b）²=r²的半径为r，所以r²=25，r=5.

7. 已知圆的标准方程为x²+（y+4）²=1，那么圆的一般方程形式为___________。

答案：x²+y²+8y+15=0

提示①：将原方程括号散开并整理

x²+y²+8y+16=1

提示②：将方程右边化为0

x²+y²+8y+15=0

8. 圆心坐标为（1，-2），半径为3的圆的一般方程为___。

A、x²+y²+2x-4y+2=0 B、x²+y²-2x+4y+2=0

C、x²+y²+2x-4y-4=0 D、x²+y²-2x+4y-4=0

答案：D

提示①：根据题意圆的标准方程为

(x-1)²+(y+2)²=3²

提示②：将方程去掉括号并整理

x²+y²-2y+4y+5=9

提示③：将方程右边化为0

x²+y²-2x+4y-4=0

9. 若下列方程在直角坐标系中对应的曲线为一个圆，那么圆心在x轴上的是___。

A、x²+y²+2x+1=0 B、x²+y²+2x-1=0

C、x²+y²+2x+2y+1=0 D、x²+y²+2y-1=0

答案：B

提示①：圆心在x轴上，则圆心的纵坐标为0，所以圆的一般方程的y的一次系数为0，排除C、D两项。

提示②：将A、B配方后化成标准方程的形式分别为

A:(x+1)²+y²=0，B: (x+1)²+y²=2

提示③：A方程所表示的不是圆，选B。

10. 已知方程x²+y²+mx+ny=0是一个圆的方程，且圆心为（-1，-2），则m=___,n=___。

答案：2，4

提示①：将方程配方并整理

x²+x+（）²+y²+y+（）²-（）²-（）²=0

（x+）²+（y+）²=

提示②：根据标准方程（x-a）²+（x-b）²=r²的圆心为（a，b），-=-1，-=-2，所以m=2，n=4.

11. 已知圆C的方程为x²+y²+4mx-（2m-2）y-n²=0，其圆心在直线x+y=3上，则m=___。

答案：-4

提示①：将方程配方并整理

x²+4mx+（2m）²+ y²-（2m-2）y+（m-1）²-（2m）²-（m-1）²-n²=0

（x+2m）²+[y-（m-1）]²= （2m）²+（m-1）²+n²

提示②：根据标准方程（x-a）²+（x-b）²=r²的圆心为（a，b），可知题中圆C的圆心坐标为（-2m，m-1）

提示③：圆心过直线x+y=3，将圆心坐标代入直线方程

-2m+m-1=3

解得m=-4.

12. 若圆x²+y²+2kx-2y+2=0与两坐标轴无公共点，那么k的取值范围是____。

A、-＜k＜ B、-≤k≤

C、k≤-或k≥ D、k＜-或k＞

答案：D

提示①：将圆的方程配方并写成标准方程形式

x²+2kx+k²+y²-2y+1²-k²-1²+2=0

（x+k）²+（y-1）²=k²-1

提示②：根据标准方程（x-a）²+（x-b）²=r²的圆心为（a，b），可知题中圆心坐标为（-k，1）

提示③：圆与坐标周无公共点，圆心的横坐标和纵坐标的绝对值都小于半径。

（-k）²＜k²-1且1²＜k²-1

k＜-或k＞，选D。

13. 圆的方程为x²+y²-4x+6y+4=0,圆与圆关于坐标原点对称，则圆一般方程为___。

A、x²+y²+4x-6y+4=0 B、x²+y²-4x-6y+4=0

C、x²+y²+4x+6y+4=0 D、x²+y²-4x+6y+4=0

答案：

提示①：将圆的方程配方并化为标准方程形式

x²-4x +4+y²+6y+9-4-9+4=0

（x-2）²+（y+3）²=3²

提示②：圆的圆心坐标为（2，-3），圆与圆关于原点对称，圆的圆心坐标为（-2，3），半径与圆相同为3。圆的标准方程为

（x+2）²+（y-3）²=3²

提示③：将标准方程化为一般方程为x²+y²+4x-6y+4=0，选A。

14. 若方程x²+y²+4kx-2y+5=0表示一个圆，那么k的取值范围是___。

A、k＜-1或k＞1 B、-1≤k≤1

C、k≤-1或k≥1 D、-1＜k＜1

答案：A

提示①：将方程配方并化成标准方程的形式

x²+4kx+（2k）²+y²-2y+1²-（2k）²-1²+5=0

（x+2k）²+（y-1）²=4k²-4

提示②：圆标准方程右边表示半径平方，需大于0，4k²-4＞0

解得k＜-1或k＞1，选A。

15. 圆心坐标为（3，4）且过原点的圆的一般方程为____。

答案：x²+y²-6x-8y=0

提示①：圆心的坐标（3，4），原点的坐标（0，0），其距离为=5，圆的半径为5

提示②：圆的标准方程为（x-3）²+（y-4）²=5²

提示③：去掉括号并化为一般方程为x²+y²-6x-8y=0

16. 已知圆的方程为（3x+1）²+（3y-1）²=11，那么圆的一般方程为_________。

答案：x²+y²+x-y-1=0

提示①：将方程去掉括号9x²+6x+1+9y²-6y+1=11

提示②：将方程右边常数移到左边并整理9x²+9y²+6x-6y-9=0

提示③：将二次项系数化为1，x²+y²+x-y-1=0

17. 如果下面各方程能对应的曲线是圆，那么原点在圆内的是__。

A、x²+y²-4x-4y=0 B、x²+y²-4x-5=0

C、x²+y²-4y+5=0 D、x²+y²-4x-4y+5=0

答案：B

提示①：选项A的方程不含常数项，将原点坐标（0，0）代入后方程成立，则原点在A所示的曲线上，A不满足。

提示②：将B、C、D的方程分别配方并写成圆标准方程的形式

B：(x-2)²+y²=9，C：x²+（y-2）²=-1，D：（x-2）²+（y-2）²=3

提示③：C右边小于0，方程表示的不是圆，C排除。将原点坐标（0，0）分别代入B、D方程。B左边=4＜9，原点在圆内；D左边=8＞3，原点在圆外。选B。

18. 下列圆中，必过原点的是___。

A、x²+y²=1 B、x²+y²+x+y=1

C、x²+y²+x+y=0 D、（x+1）²+（y+1）²=1

答案：C

提示①：将原点的坐标（0，0）分别代入A、B、C、D个方程中，只有C成立，选C。

19．圆心坐标为（-1，2），且与x轴相切的圆是___。

A、x²+y²+2x-4y+1=0 B、x²+y²+2x-4y+4=0

C、x²+y²-2x+4y+1=0 D、x²+y²-2x+4y+4=0

答案：A

提示①：圆与x轴相切，则圆的半径为圆心纵坐标的绝对值，圆心坐标为（-1，2），r=2.

提示②：圆的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=2²

提示③：将方程去掉括号并化为一般方程的形式x²+y²+2x-4y+1=0，选A。

20．圆心坐标为（3，4），且与y轴相切的圆是___。

A、x²+y²+6x+8y+16=0 B、x²+y²+6x+8y+9=0

C、x²+y²-6x-8y+16=0 D、x²+y²-6x-8y+9=0

答案：C

提示①：圆与y轴相切，则圆的半径为圆心横坐标的绝对值，圆心坐标为（3，4），r=3.

提示②：圆的标准方程为（x-3）²+（y-4）²=3²

提示③：将方程去掉括号并化为一般方程的形式x²+y²-6x-8y+16=0，选C。

21.与圆（x+a）²+（y+b）²=r²是同心圆的是___。

A、x²+y²+2ax-2by=0 B、x²+y²-2ax-2by=0

C、x²+y²-2ax-2by=0 D、x²+y²+2ax+2by=0

答案：D

提示①：将（x+a）²+（y+b）²=r²散开并化为一般方程

x²+y²+2ax+2by+a²+b²-r²=0

提示②：只有D项的一次系数和一般方程相同，选D.

22.与圆x²+y²-6x-4y=0半径相同的圆是___。

A、x²+y²-8x-2y=0 B、x²+y²-2x-12=0

C、x²+y²-4x-4y=0 D、x²+y²=169

答案：B

提示①：将原方程配方并化为标准方程（x-3）²+（y-2）²=13，半径r=

提示②：将A、B、C、D分别配方并化为标准方程

A:（x-4）²+（y-1）²=17，B：（x-1）²+y²=13，

C：（x-2）²+（y-2）²=8，D：x²+y²=169

只有B所示的圆的半径为，选B.

23.圆x²+y²+2mx-2ny-1=0的圆心为（1，1），则m=__,n=__。

答案：-1，1

提示①：将方程配方并化为标准方程（x+m）²+（y-n）²=m²+n²+1

提示②：圆的坐标为（-m，n），-m=1，n=1.

所以m=-1，n=1

24.圆x²+y²+ax+b=0的圆心必在___轴上。

答案：x

提示①：将方程配方化为标准方程的形式（x+）²+y²=-b+（）²，圆心坐标为（-，0），必在x轴上。

提示②：圆的一般方程不含y的一次项，则圆心的纵坐标为0，圆心在x轴上。

25. 圆x²+y²+ay+b=0的圆心必在___轴上。

答案：y

提示①：将方程配方化为标准方程的形式x²+（y+）²=-b+（）²，圆心坐标为（0，-），必在y轴上。

提示②：圆的一般方程不含x的一次项，则圆心的横坐标为0，圆心在y轴上。

26. 圆x²+y²+b=0的圆心必为___。

答案：原点

提示①：题中圆的标准方程为x²+y²=-b，根据标准方程（x-a）²+（x-b）²=r²的圆心为（a，b），圆心为原点（0，0）

27.圆x²+y²+ay+by=0必过___。

答案：原点

提示①：题中圆的一般方程不含常数项，将（0，0）代入方程，方程成立，圆必过原点。