习 题 一

1．写出下列随机试验的样本空间.

⑴一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案.

⑵向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数..

⑶公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间..

解 ⑴;⑵样本空间为；

⑶样本空间为.

2. 设表示三个事件,试用表示下列事件.

⑴与都发生,而不发生;

⑵至少有一个发生;

⑶都发生;

⑷都不发生;

⑸不都发生;

⑹至少有两个发生;

⑺中最多有一个发生.

解 ⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;

⑺或.

3.设是三个事件,计算下列各题.

⑴若求发生,但不发生的概率.

⑵若,求都不发生的概率.

⑶若,求发生,但不发生的概率.

⑷若,求至少有一个发生的概率;都不发生的概率;发生,都不发生的概率.

⑸若求至少发生一个的概率.

⑹若分别求事件的概率.

解 ⑴ 发生,但不发生的概率：

;

⑵;

⑶，发生,但不发生的概率：；

⑷，至少有一个发生的概率：

；都不发生的概率：；

发生,都不发生的概率：

;

⑸

至少发生一个的概率：;

⑹,

4.从0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率.

⑴三个数字中不含0和5;

⑵三个数字中不含0或5;

⑶三个数字中含0但不含5.

解 设事件分别表示三个数字中不含0和5，则⑴三个数字中不含0和5的概率：

；

⑵三个数字中不含0或的概率：; ⑶三个数字中含0但不含5的概率：.

5.把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3的概率各是多少.

解 设事件分别表示有球最多的杯子中球数是1,2,3，则有球最多的杯子中球数是1的概率是：；有球最多的杯子中球数是3的概率是：；有球最多的杯子中球数是2的概率是：.

6.12个球中有4个是白色,8个是红色.现从这12个球中随机地取出两个,求下列事件的概率.

⑴取到两个白球;

⑵取到两个红球;

⑶取到一个白球, 一个红球.

解 ⑴取到两个白球的概率：；

⑵取到两个红球的概率：；

⑶取到一个白球, 一个红球的概率：。

7.有50件产品,已知其中有4件次品,从中随机取5件,求（结果保留三位小数）:

⑴恰有一件是次品的概率；

⑵没有次品的概率；

⑶至少有一件是次品的概率.

解 ⑴恰有一件是次品的概率：；

⑵没有次品的概率：；

⑶至少有一件是次品的概率：。

8. 从1,2,…,9这九个数字中,有放回地取三次,每次取一个,试求下列事件的概率（结果保留三位小数）.

⑴三个数字全不同;

⑵三个数字没有偶数;

⑶三个数字中最大数字为6;

⑷三个数字形成一个严格单调数列;

⑸三个数字之乘积能被10整除.

解 ⑴三个数字全不同的概率：;

⑵三个数字没有偶数的概率：;

⑶三个数字中最大数字的概率：;

⑷三个数字形成一个严格单调数列的概率：;

⑸三个数字之乘积能被10整除的概率：

。

9.掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.

解 设事件分别表示两颗骰子点数之和为7，两颗骰子中有一颗为1点，则所求概率：

10.个人排成一排, 已知甲排在乙的前面,求甲乙相邻的概率.

解 设事件分别表示甲排在乙的前面，甲乙相邻，则所求概率：

.

11. 已知在10件产品中有2件是次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样, 求下列事件的概率.

⑴两件都是正品;

⑵两件都是次品;

⑶一件是正品,一件是次品;

⑷第二次取出的是次品.

解 ⑴两件都是正品的概率：;

⑵两件都是次品的概率：;

⑶一件是正品,一件是次品的概率：;

⑷设事件分别表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式，

.

12.袋中有5个红球,4个白球,从中取3次,每次取1个球.

⑴如果作不放回抽样,求前2次取到红球,后1次取到白球的概率;

⑵如果取到红球,将红球拿出,放回2个白球,否则不放回,求前2次取到红球,后1次取到白球的概率.

解 设事件表示第次取出红球，⑴前2次取到红球,后1次取到白球的概率：；

⑵前2次取到红球,后1次取到白球的概率：

13. 8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时, 中靶的概率为0.3.现从8支步枪中任取一支,求击中靶子的概率;若已知中靶了,求所使用的枪是校准过的概率.

解 设事件表示击中靶子，事件表示校准过步枪，则

，，

; .

14.现有6盒粉笔,其中的3盒,每盒有3只白粉笔,6只红粉笔,记作第一类;另外2盒,每盒有3只白粉笔,3只红粉笔, 记作第二类;还有1盒,盒内有3只白粉笔,没有红粉笔,记作第三类.现在从这6盒中任取1只粉笔,求取到红粉笔的概率;如果知道取到了红粉笔,求红粉笔取自第一类的概率.

解 设事件表示取到红粉笔，事件表示在第类取出的，则

; .

15.若事件相互独立，证明：

⑴与相互独立；

⑵与相互独立;

⑶与相互独立.

证明：⑴，与相互独立；

⑵

，与相互独立;

⑶

，与相互独立.

16 .若事件相互独立,计算:

⑴;

⑵.

解

⑴; ⑵.

17.证明:

⑴ 若事件的概率,则与任意事件独立;

⑵若事件的概率,则事件相互独立的充分必要条件是.

证明 ⑴设是任一事件，则，得，与任意事件独立；

⑵必要性：若事件相互独立，则，有

，，因此，

充分性：若，则，

因此，事件相互独立。

18. 三个人独立地去破译一份密码,他们译出的概率分别为.问能译出此密码的概率.

解设事件表示第个人独立地破译了密码，则能译出此密码的概率：

19.当危险情况发生时,自动报警器的电路即自动闭合而发出警报,我们可以用两个或多个报警器并联,以增加可靠性.当危险情况发生时,这些并联中的任何一个报警器电路闭合,就能发出警报,已知当危险情况发生时,每一警报器能闭合电路的概率为0.96.试求:

⑴如果两个警报器并联,则报警器的可靠性是多少?

⑵若想使报警器的可靠性达到0.999 9,则需要用多少个报警器并联?

解 设事件表示第个自动报警器能闭合电路

⑴两个警报器并联,则报警器的可靠性是：;

⑵.

若想使报警器的可靠性达到0.999 9,则至少需要3个报警器并联.

20.设甲盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;乙盒子中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒子中各取一只球.

⑴求至少有一只蓝球的概率;

⑵求有一只蓝球一只白球的概率;

⑶已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率.

解 ⑴至少有一只蓝球的概率：；

⑵有一只蓝球一只白球的概率：；

⑶已知至少有一只蓝球,则有一只蓝球一只白球的概率：。

21.一大楼装有5台同类型的供水设备,调查表明在一小时内平均每个设备使用6分钟,问在同一时刻，

⑴恰有2台设备被使用的概率是多少?

⑵至少有2台设备被使用的概率是多少?

解 ⑴恰有2台设备被使用的概率：；

⑵至少有2台设备被使用的概率：。

习题二

1．将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记为正面出现的次数,求的分布律.

解

，

，

。

2.有4个小球和两个杯子,将小球随机地放入杯子中,随机变量表示有小球的杯子数,求的分布律.

解

3.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只, 随机变量表示取出的3只球中的最大号码,求的分布律.

解

4．一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为，记表示球队结束比赛时的比赛次数，求的分布律.

解

5.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为,失败的概率为.

(1)将试验进行到出现一次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律(此时称服从参数为的几何分布).

(2)将试验进行到出现次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律(此时称服从参数为的负二项分布分布或巴斯卡分布).

解 (1)；

(2)

6.设离散型随机变量的分布律为

求A的值及概率.

解 ，

7.一大批电子元件有10%已损坏,若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概率是多少？

解 设随机变量表示线路中电子元件损坏的个数，则，线路能正常工作的概率：。

8．某高速公路每周发生的汽车事故数服从参数为3泊松分布，

(1)求每周事故数超过4个的概率；

(2)求每周事故数不超过3个的概率.

解 设随机变量表示事故数，则，(1)每周事故数超过4个的概率：

，

(2)每周事故数不超过3个的概率：。

9．某城市在长度为（单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数服从参数为的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：

（1）某天中午12时至下午15时发生火灾；

（2）某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.

解 (1)，中午12时至下午15时发生火灾的概率：

(2)，中午12时至下午16时至少发生两次火灾的概率：

10．一工厂有20台机器，每台机器在某日发生故障的概率是0．05，每台机器是否发生故障相互独立。

(1)用二项分布计算其中有2台机器发生故障的概率；

(2)用泊松分布近似计算2台机器发生故障的概率。解 设随机变量表示机器发生故障的个数，则，(1)有2台机器发生故障的概率：

(2)用泊松分布近似计算2台机器发生故障的概率：

11．若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，

⑴ 有40个人死亡的概率;

⑵ 死亡人数不超过70个的概率.

解 设随机变量表示死亡人数，则，

（1）有40个人死亡的概率；

（2）死亡人数不超过70个的概率。

12. 设随机变量的分布律为

求随机变量的分布函数.

解

13. 设随机变量的概率密度

＝,

求 随机变量的分布函数.

解。

14. 已知随机变量的概率密度

＝

(1)确定常数c；

(2)求分布函数；

（3）求概率P{X ≤ 0.5}和P{X=0.5}.

解 (1);

(2);

(3) P{X ≤ 0.5}，P{X=0.5}=0.

15.设随机变量的概率密度

（1）确定常数A；

（2）求分布函数 ；

（3）求概率.

解(1);

(2);

(3).

16.设连续型随机变量的分布函数为.求：

（1）常数A，B；

（2）随机变量的概率密度.

解 (1)；

(2).

17.设随机变量X 在[ 2，5 ]上服从均匀分布， 现对X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3 的概率.

解 随机变量X 在[ 2，5 ]上服从均匀分布，；

设随机变量表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则

至少有两次观测值大于3 的概率：。

18.设某类日光灯管的使用寿命X (小时) 服从参数为1/2000的指数分布，

(1) 任取一只这种灯管，求能正常使用1000 小时以上的概率；

(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上，求还能使用1000 小时以上的概率.

解（1）；

（2）

（这是指数分布的重要性质：“无记忆性”）.

19．从某地乘车往火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间～；第二条路线走环线,路程较远,但意外阻塞少,所需时间～.

⑴ 若有70分钟时间可用,问应走哪条路线?

⑵ 若只有65分钟时间可用,问又应走哪条路线？

解 ⑴，

，

若有70分钟时间可用,走线路一赶到的概率是0.9772, 走线路二赶到的概率是0.9938,应走第二条路线.

⑵，

，

若只有65分钟时间可用, 走线路一赶到的概率是0.9332, 走线路二赶到的概率是0.8944,应走第一条路线.

20. 设，求的概率密度.

解；

21. 设随机变量的概率密度

求随机变量的概率密度.

解；

22. 设随机变量的概率密度

（1）求随机变量的概率密度；

(2）求概率.

解 （1）；

；

（2）.

23. 设随机变量X与Y相互独立，且服从同一分布，X的分布律为

P{X = 0 } = P{ X = 1 )}= 1/2，求：Z = max{ X, Y }的分布律.

解

习题三

1. 设随机变量在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1~X中等可能取一整数值。试求的分布律.

解的分布律：

2. 若甲袋中有3个黑球2个白球，乙袋中有2个黑球8个白球。现抛掷一枚均匀硬币，若出现正面则从甲袋中任取一球，若出现反面则从乙袋中任取一球，设

求:（1）的联合分布律；

（2）判断与是否独立.

解 （1），联合分布律：

（2），与不独立.

3. 将一枚均匀硬币抛掷三次，以表示在3次中出现正面的次数，以表示在3次中出现正面的次数与出现反面次数之差的绝对值.

求:（1）的联合分布律；

（2）判断与是否独立.

解，的取值有1和3.

，

，

的联合分布律：

（2），与不独立。

4. 设二维随机变量的分布函数为

求:（1）常数、、；

（2）的概率密度;

(3)边缘分布函数.

解 (1)，, ,

(2)，,

(3) .

5. 设二维随机变量的联合概率密度为

求:(1)常数;

(2)概率;

(3) 概率.

解 (1) ,

(2) 3/8,

(3).

6. 设二维随机变量的联合概率密度

.

求：（1）随机变量和的边缘概率密度和；

（2）概率.

解 (1),

,

(2)

7.设二维随机变量的联合概率密度

求:（1）随机变量和的边缘概率密度，；

（2）随机变量与独立是否独立？

解（1），

，

（2），与独立。

8. 设随机变量的联合概率密度函数为

.

求:(1)边缘密度函数;

(2)概率;

(3)是否独立?

解 (1),

(2) =,

(3)，不独立.

9. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率（结果保留使三位小数 ）.

解 设甲船到达的时刻是，乙船到达的时刻是，则独立同分布均匀分布，

任何一艘都不需要等候码头空出： ，

任何一艘都不需要等候码头空出的概率：

。

10. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.

解 设负责人到达办公室的时间是，秘书到达办公室的时间是，则独立，，他们到达办公室的时间相差不超过5分钟：

他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率：

。

11. 设随机变量~，随机变量的概率密度为

且与相互独立.求：

（1）的联合概率密度；

（2）.

解 （1）~，

，

（2）=

12. 设的联合密度函数

求:(1)常数；

(2)；

(3)、；

(4)、是否独立？

解（1）；

(2)

(3),

;

(4)，独立.

13. 设随机变量相互独立，且，求随机变量的概率密度.

解

14. 设随机变量相互独立，且都服从[0,2]上的均匀分布，求（1）随机变量的概率密度；（2）.

解（1）

，

（2）.

15. 在一电路中，两电阻和串联联接，设，相互独立，它们的概率密度均为

求总电阻的概率密度.

解

16.设随机变量的联合密度函数

求：(1)常数A ；

(2)条件密度函数

解 (1) 　

（2）

当时，。