2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题。每题20分，共100分。

1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长。

解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和，设另一条对角线长为，所以,所以。

2.求过抛物线和的交点的直线方程。

解析：

解法一：由，得，所以过抛物线和的交点的直线方程。

解法二：由得或，所以过抛物线和的交点的直线方程。

3.在等差数列中，，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何？

解析：因为所以，所以，

法一：由得，又，所以，所以。

法二：由，所以当，。

4.在中，，求证：.

解析：因为

，当且仅当时，成立，又因为，所以。

5.是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

解析：设存在四个正实数使得他们两两乘积为2，3，5，6，10，16，因为四个正实数的两两乘积为，把这些乘积乘起来，所以，又为正实数，所以，所以在2，3，5，6，10，16中应存在两个数之积等于，显然这是不可能的，所以假设不成立，所以不存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16。

6.和是平面上两个不重合的固定圆，是平面上的一个动圆，与，都相切，则的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由.

解析：不妨设，和的半径分别为（），

（1）当和相离时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，，所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以；

若与外切，内切，则，，所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；

（2）当和外切时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，，所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线；

（ⅱ）若与内切，外切，则，（或，），所以（或）；

若与外切，内切，则，（或，），所以（或）；

所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）；

（3）当和相交时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，（或，），所以；

所以，由双曲线的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的双曲线（圆、的交点除外）；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以；

若与外切，内切，则，，所以；

所以，由椭圆的定义，的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（圆、的交点除外）；

（4）当和内切时，即，

（ⅰ）若与，都外切，则，，所以；

若与，都内切，则，（或，或，），所以(或或)；

所以或，所以的圆心的轨迹是过，的直线（除直线与圆、的交点外）；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆（两圆、的交点除外）；

（5）当和内含时，即，

（ⅰ）若与，都内切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆；

（ⅱ）若与内切，外切，则，，所以，所以的圆心的轨迹是以，为焦点、实轴长为的椭圆。

7.求的最小值。