2019 宁波中考数学完整解析版

注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 【一】选择题〔每题 3 分，共 36 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题 目要求的〕

1、〔 2017 浙江宁波， 1， 3〕以下各数中是正整数的是〔 〕

A、－ 1 B、 2 C、0.5 D、 2

考点：实数。

正有理数

有理数 整数 0 实数 负有理数 ，

分数

无理数

可逐一分析、排除选选项，解答此题； 解答：解： A、－ 1是负整数；故本选项错误；

B、2 是正整数，故本选项正确；

C、 0.5 是小数，故本选项错误；

D、 2 是无理数，故本选项错误； 应选 B、

点评：此题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法、

2、〔 2017 浙江宁波， 2， 3〕以下计算正确的选项是〔 〕

A、〔a2〕3＝a6 B、a2+a2＝a4 C、〔 3a〕?〔 2a〕2＝ 6a D、3a－a＝3

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。

专题：计算题。

分析： 根据同底数幂的乘法的性质， 幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法那 么，对各选项分析判断后利用排除法求解、

解答：解： A、〔 a2〕3＝ a2×3＝a6，故本选项正确；

B、应为 a2+a2＝ 2a2，故本选项错误；

C、应为〔 3a〕?〔 2a 〕2＝〔 3a〕?〔4a2〕＝ 12a1+2＝ 12a3，故本选项错误；

D、应为 3a－a＝ 2a，故本选项错误、

应选 A、 点评：此题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是 解题的关键、

3、〔 2017浙江宁波， 3， 3〕不等式 x>1 在数轴上表示为〔 〕

考点：在数轴上表示不等式的解集。

专题：数形结合。 分析：根据数轴上的点与实数一一对应，即可得到不等式 x> 1 的解集在数轴上表示为在表 示数 1 的点的右边的点表示的数、 解答：解：∵ x> 1，

∴不等式 x>1 的解集在数轴上表示为在表示数 1 的点的右边， 应选 C、

点评：此题考查了利用数轴表示不等式解集得方法：对于 x> a，在数轴表示为数 a 表示的

点的右边部分、

4、〔2017 浙江宁波， 4，3〕据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据， 本市常住人口 760.57 万人，其中 760.57 万人用科学记数法表示为〔 〕

A、7.6057 ×105 人 B、 7.6057 × 106人 C、 7.6057 ×107 人 D、 0.76057 ×107人

考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：计算题。

分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤ |a| < 10，n 为整数，由 760.57

万＝ 7605700 共有 7 位，所以， n＝7－ 1＝6、

解答：解：∵ 760.57 万＝ 7605700，∴ 7605700 ＝7.6057 ×106、 应选 B、

点评：此题考查科学记数法的表示方法、科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中

1≤|a| <10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n 的值、

5、〔 2017 浙江宁波， 5，3〕平面直角坐标系中，与点〔 2，－ 3〕关于原点中心对称的点是 〔〕

A、〔－ 3， 2〕 B、〔3，－ 2〕 C、〔－ 2，3〕 D、〔2，3〕

考点：关于原点对称的点的坐标。

专题：应用题。

分析：平面直角坐标系中任意一点 P〔 x， y 〕，关于原点的对称点是〔－ x，－ y〕、 解答：解：点〔 2，－ 3〕关于原点中心对称的点的坐标是〔－ 2，3〕、 应选 C、

点评：此题考查了平面直角坐标系中任意一点 P〔 x，y〕，关于原点的对称点是〔－ x，－y〕，

比较简单、

6、〔 2017 浙江宁波， 6， 3〕如下图的物体的俯视图是〔 〕

考点：简单组合体的三视图。

专题：作图题。 分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中、 解答：解答：解：从上面向下看，易得到横排有 3 个正方形、 应选 D、 点评：此题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图、

7、〔 2017 浙江宁波， 7， 3〕一个多边形的内角和是 720°，这个多边形的边数是〔 〕

A、4 B、 5 C、 6 D、 7

考点：多边形内角与外角。

专题：应用题。 分析：根据内角和定理 180°?〔 n－2〕即可求得、 解答：解：∵多边形的内角和公式为〔 n－ 2〕?180°，

∴〔 n－2〕× 180°＝ 720°，解得 n＝6， ∴这个多边形的边数是 6、

应选 C、 点评：此题主要考查了多边形的内角和定理即 180°?〔 n－2〕，难度适中、

8、〔 2017浙江宁波， 8，3〕如下图， AB∥CD，∠E＝37°，∠ C＝20°，那么∠ EAB的度数为 〔〕

考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质。 专题：几何图形问题。

分析：根据三角形内角和为 180°，以及对顶角相等，再根据两直线平行同旁内角互补即可 得出∠ EAB的度数、

解答：解：∵ AB∥ CD，∴∠ A＝∠ C+∠E，

∵∠ E＝37°，∠ C＝20°，∴∠ A＝ 57°， 应选 A、

点评：此题考查了三角形内角和为 180°，对顶角相等，以及两直线平行同旁内角互补，难

度适中、

9、〔 2017 浙江宁波， 9，3〕如图，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为 α，那么滑

梯长 l 为〔 〕

考点：圆锥的计算；点、线、面、体。

专题：计算题；几何图形问题。

分析：所得几何体的表面积为 2 个底面半径为 2，母线长为 2 2 的圆锥侧面积的和、

解答：解：∵ Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC＝ 2 2 ，

∴AB＝ 4，

∴所得圆锥底面半径为 2，

∴几何体的表面积＝ 2×π ×2×2 2 ＝8 2 π，

应选 D、

点评： 考查有关圆锥的计算； 得到所得几何体表面积的组成是解决此题的突破点； 用到的知 识点为：圆锥的侧面积＝ π ×底面半径×母线长、

11、〔2017 浙江宁波， 11， 3〕如图，⊙ O1的半径为 1，正方形 ABCD的边长为 6，点 O2为正 方形 ABCD的中心， O1O2垂直 AB于 P 点， O1O2＝8、假设将⊙ O1绕点 P 按顺时针方向旋转 360°，在旋转过程中，⊙ O1与正方形 ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现〔 〕

A、3次 B、5 次 C、6 次 D、7 次

考点：直线与圆的位置关系；正方形的性质。

专题：作图题。

分析：根据⊙ O1 的半径为 1，正方形 ABCD的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD的中心， O1O2 垂直 AB于 P点，设 O1O2交圆 O1于 M，求出 PM＝ 4，得出圆 O1与以 P为圆心，以 4 为半径 的圆相外切，即可得到答案、

解答：解：∵⊙ O1的半径为 1，正方形 ABCD的边长为 6，点 O2为正方形 ABCD的中心， O1O2 垂直 AB 于 P 点，

设 O1O2交圆 O1 于 M， ∴PM＝8－3－1＝4， 圆 O1与以 P为圆心，以 4 为半径的圆相外切，

应选 B、

点评： 此题主要考查对直线与圆的位置关系， 正方形的性质等知识点的理解和掌握， 能求出 圆的运动路线是解此题的关键、

12、〔 2017 浙江宁波， 12， 3〕把四张形状大小完全相同的小长方形卡片〔如图①〕不重叠 地放在一个底面为长方形〔长为 m cm，宽为 n cm〕的盒子底部〔如图②〕 ，盒子底面未被卡

片覆盖的部分用阴影表示、那么图②中两块阴影部分的周长和是〔 〕

C、2〔 m+n〕 cm D、 4〔 m－n〕cm

a，宽为 b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴

影周长，再把它们加起来即可求出答案、 解答：解：设小长方形的长为 a，宽为 b， ∴上面的阴影周长为： 2〔 n－ a+m－ a〕，下面的阴影周长为： 2〔m－2b+n－ 2b〕，

又∵ a+2b＝m，∴ 4m+4n－4〔a+2b〕，＝ 4n、 应选 B、

点评：此题主要考查了整式的加减运算， 在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关 键、

【二】填空题〔每题 3 分，共 18 分〕

13、〔2017 浙江宁波， 13，3〕实数 27的立方根是 3 、如果点 P〔4，－5〕和点 Q〔a，b〕 关于原点对称，那么 a 的值为 － 4 、

考点：关于原点对称的点的坐标；立方根。 专题：计算题；数形结合。

分析：找到立方等于 27 的数即为 27的立方根， 根据两点关于原点对称， 横纵坐标均为相反 数即可得出结果、

解答：解：∵ 33＝ 27，∴ 27 的立方根是 3，

∵点 P〔4，－ 5〕和点 Q〔 a，b〕关于原点对称，∴ a＝－4，b＝5， 故答案为： 3，－ 4、

点评： 此题考查了求一个数的立方根，用到的知识点为： 开方与乘方互为逆运算， 以及在平

面直角坐标系中，两点关于原点对称，横纵坐标均为相反数，难度适中、

14、〔2017 浙江宁波， 14，3〕因式分解： xy－y＝ y〔x－1〕 、

考点：因式分解 - 提公因式法。

专题：计算题。 分析：先找公因式，代数式 xy－y 的公因式是 y，提出 y 后，原式变为： y〔x－1〕、 解答：解：∵代数式 xy－ y 的公因式是 y，

∴xy － y＝ y〔x－1〕、 故答案为： y〔x－ 1〕、 点评： 此题考查了提公因式法因式分解， 步骤：①找出公因式；②提公因式并确定另一个因 式；解答过程中注意符号的变化、

15、〔2017 浙江宁波， 15，3〕甲、乙、丙三位选手各 10 次射击成绩的平均数和方差，统计 如下表：

那么射击成绩最稳定的选手是 乙 、〔填“甲”、“乙”、“丙”中的一个〕 考点：方差。

分析：从统计表可以看出甲、乙、丙三位选手的平均数相同，进一步比较方差，方差小的数 据的比较稳定，由此解决问题即可、

解答：解：因为 0.015 < 0.026 < 0.032 ， 即乙的方差<甲的方差<丙的方差， 因此射击成绩最稳定的选手是乙、

故答案为：乙、 点评：此题主要利用方差来判定数据的波动性，方差越小，数据越稳定、

16、〔 2017 浙江宁波， 16， 3〕抛物线 y＝ x2 的图象向上平移 1 个单位，那么平移后的抛物 线的解析式为 y＝ x2+1 、

考点：二次函数图象与几何变换。

专题：动点型。

分析：函数 y＝x2 的图象向上平移 1 个单位长度， 所以根据左加右减， 上加下减的规律，直 接在函数上加 1 可得新函数、

解答：解：∵抛物线 y＝x2 的图象向上平移 1 个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为 y＝ x2+1、 故答案为： y＝ x2+1、

点评： 考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移只改变顶点的纵坐标，上加下 减、

17、〔2017 浙江宁波， 17，3〕如图，在△ ABC中， AB＝AC，D、E 是△ ABC内两点， AD平分 ∠BAC，∠ EBC＝∠ E＝ 60°，假设 BE＝6cm，DE＝2cm，那么 BC＝ 8 、

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质。

分析： 做出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 BE＝6cm，DE＝2cm，进而得出△ BEM为等边 三角形，△ EFD为等边三角形，从而得出 BN的长，进而求出答案、 解答：解：

延长 ED到 BC于 M，延长 AD到 BC与 N，做 DF∥BC， ∵AB＝AC，AD平分∠ BAC，∴ AN⊥ BC， BN＝ CN，

∵∠ EBC＝∠ E＝ 60°，∴△ BEM为等边三角形，∴△ EFD为等边三角形，

∵BE＝ 6cm， DE＝ 2cm，∴ DM＝4，∵∠ NDM＝30°，∴ NM＝2，

∴BN＝ 4，∴ BC＝8、

故答案为： 8、 点评：此题主要考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质和等边三角形的性质， 根据 得出 MN的长是解决问题的关键、

2

18、〔2017 浙江宁波， 18，3〕正方形的 A1B1P1P2顶点 P1、P2 在反比例函数 y＝ 〔x>0〕 x

的图象上，顶点 A1、B1分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶

2

点 P3在反比例函数 y＝ 2 〔 x>0〕的图象上，顶点 A2在 x 轴的正半轴上，那么点 P3的坐

x

考点：反比例函数综合题。

专题：综合题。

2

分析：作 P1⊥y 轴于 C， P2⊥ x 轴于 D，P3⊥x 轴于 E， P3⊥P2D于 F，设 P1〔a， 〕，那么 a

2

CP1＝a，OC＝ ，易得 Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt △A1P2D，那么 OB1＝P1C＝A1D＝a，所以 a

OA1＝B1C＝P2D＝ 2 －a，那么 P2的坐标为〔 2 ， 2 －a〕，然后把 P2的坐标代入反比例函 a a a

22

数 y＝ 2 ，得到 a 的方程，解方程求出 a，得到 P2 的坐标；设 P3 的坐标为〔 b， 2 〕，易得 xb 22

Rt△ P2P3F≌ Rt△A2P3E，那么 P3E＝P3F＝DE＝ ，通过 OE＝OD+DE＝2+ ＝b，这样得到关

bb

于 b 的方程，解方程求出 b，得到 P3 的坐标、 解答：解：作 P1⊥y 轴于 C，P2⊥x 轴于 D，P3⊥x 轴于 E， P3⊥ P2D 于 F，如图，

22

设 P1〔 a， 〕，那么 CP1＝a， OC＝ ， aa

∵四边形 A1B1P1P2为正方形，

∴Rt △P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D， ∴OB1＝P1C＝A1D＝a，

2 2 2

∴OA1＝B1C＝P2D＝ －a，∴ OD＝ a+ －a＝ ，

a a a

22

∴P2的坐标为〔 2 ， 2 －a〕，

aa

2 2 2

把 P2的坐标代入 y＝ 2 〔x>0〕，得到〔 2 －a〕? 2 ＝2，解得 a＝－ 1〔舍〕或 a＝1，

x a a

∴P2〔2，1〕，

2

设 P3 的坐标为〔 b ， 2 〕， b

又∵四边形 P2P3A2B2为正方形，

∴Rt △P2P3F≌Rt△A2P3E，

22

∴P3E＝P3F＝DE＝ ，∴ OE＝ OD+DE＝ 2+ ， bb

2 2 2

∴2+ ＝b，解得 b＝1－ 3 〔舍〕， b＝1+ 3 ，∴ ＝ ＝ 3 －1，

b b 1 3

∴点 P3的坐标为 〔 3+1， 3 －1〕、

故答案为：〔 3+1， 3 －1〕、

点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值； 也考查了正方形 的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法、

【三】解答题〔本大题共 8 小题，共 66分〕

19、〔2017 浙江宁波， 19，？〕先化简，再求值： 〔a+2〕〔a－2〕+a〔1－a〕，其中 a＝5、 考点：整式的混合运算—化简求值。

专题：计算题。

分析：先用平方差公式和单项式乘以多项式的方法将代数式化简， 然后将 a 的值代入化简的 代数式即可求出代数式的值、

解答：解：〔 a+2〕〔 a－ 2〕 +a〔 1－ a〕＝ a2－ 4+a－ a2＝ a－ 4

将 a＝5 代入上式中计算得，原式＝ a－4＝ 5－ 4＝ 1

点评： 此题主要考查代数式化简求值的方法： 整式的混合运算、公式法、单项式与多项式相 乘以及合并同类项的知识点、

20、〔2017 浙江宁波， 20，？〕在一个不透明的袋子中装有 3 个除颜色外完全相同的小球，

其中白球 1个，黄球 1 个，红球 1 个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列 表法或画树状图法求两次都摸到红球的概率、

考点：列表法与树状图法。

专题：数形结合。 分析：列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况数占总情况数的多少即可、 解答：解：

一共有 9 种情况，两次都摸到红球的有 1 种情况、

1

故概率为： 1 、

9

点评： 考查概率的求法； 用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比、得到两次都 摸到红球的情况数是解决此题的关键、

21、〔 2017 浙江宁波， 21，？〕请在以下三个 2× 2 的方格中，各画出一个三角形，要求所 画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形， 且所画的三角形顶点与方格中的小正 方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影、 〔注：所画的三个图形不能重复〕

考点：利用轴对称设计图案。 专题：作图题。 分析：可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可、 解答：解：

点评：考查利用轴对称设计图案；选择不同的直线当对称轴是解决此题的突破点、

22、〔 2017 浙江宁波， 22，？〕图①表示的是某综合商场今年 1～ 5 月的商品各月销售总额

的情况，图②表示的是商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况， 观察图①、 图②，解答以下问题：

根据这一信息将图①中的统计图补充完整；

〔2〕商场服装部 5 月份的销售额是多少万元？

3〕小刚观察图②后认为， 5 月份商场服装部的销售额比 4 月份减少了、你同意他的看法 吗？请说明理由、 考点：条形统计图；折线统计图。 分析：〔1〕根据图①可得， 1235 月份的销售总额，再用总的销售总额减去这四个月的即可； 〔2〕由图可得出答案；

〔3〕分别计算出 4月和 5 月的销售额，比较一下即可得出答案、 解答：解：〔 1〕 410－〔 100+90+65+80〕＝ 410－335＝75；

〔2〕商场服装部 5月份的销售额是 80 万元；

〔3〕4 月和 5 月的销售额分别是 75 万元和 80 万元，

服装销售额各占当月的 17%和 16%，那么为 75×17%＝ 12.75 万元， 80×16%＝12.8 万元， 故小刚的说法是错误的、

点评：此题是统计题，考查了条形统计图和折线统计图，是基础知识要熟练掌握、

23、〔2017 浙江宁波， 23，？〕如图，在□ ABCD中， E、F 分别为边 AB、CD的中点， BD是对 角线，过点 A 作 AG∥DB交 CB的延长线于点 G、

〔1〕求证： DE∥ BF；

〔2〕假设∠ G＝ 90°，求证：四边形 DEBF是菱形、

考点：菱形的判定；平行线的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。 专题：证明题。

分析：〔1〕根据条件证明∴△ ADE≌△ CBF，即∠ 3＝∠ CBF，再根据角平分线的性质可知∴∠ BDE＝∠ FBD，根据内错角相等，即可证明 DE∥ BF，

〔2〕根据三角形内角和为 180°，可以得出∠ 1＝∠ 2，再根据邻边相等的平行四边形是菱 形，从而得出结论、

解答：证明： 〔1〕∵四边形 ABCD是平行四边形，

∴∠ 4＝∠ C，AD＝ CB，AB＝CD、

∵点 E、 F分别是 AB、CD的中点，

11

∴AE＝ AB，CF＝ CD、∴ AE＝ CF，∴△ ADE≌△ CBF，

22

∴∠ 3＝∠ CBF，∵∠ ADB＝∠ CBD，∴∠ 2＝∠ FBD，∴ DE∥BF，

〔2〕∵∠ G＝ 90°，∴四边形 AGBD是矩形，∠ ADB＝ 90°，

∴∠ 2+∠3＝ 90°，∴ 2∠2+2∠3＝180°、∴∠ 1＝∠ 2，∠3＝∠4、

∴DE＝ AE＝BE，∵ AB∥CD，DE∥BF，∴四边形 DEBF是菱形、 点评：此题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定， 比较综合，难度适中、

24、〔2017 浙江宁波， 24，？〕我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共 800株，甲种树苗每

株 24 元，乙种树苗每株 30 元、相关资料说明：甲、乙两种树苗的成活率分别为 85%、 90%、

〔1〕假设购买这两种树苗共用去 21000 元，那么甲、乙两种树苗各购买多少株？

〔2〕假设要使这批树苗的总成活率不低于 88%，那么甲种树苗至多购买多少株？

〔3〕在〔 2〕的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用、 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。

专题：优选方案问题。

分析：〔1〕根据关键描述语“购买甲、 乙两种树苗共 800 株，”和“购买两种树苗共用 21000 元”，列出方程组求解、

〔2〕先找到关键描述语“这批树苗的成活率不低于 88%”，进而找到所求的量的等量关系，

列出不等式求出甲种树苗的取值范围、

〔3〕再根据题意列出购买两种树苗的费用之和与甲种树苗的函数关系式，根据一次函数的 特征求出最低费用、

解答：解：〔 1〕设购买甲种树苗 x 株，那么乙种树苗 y 株，由题意得：

x y 800 x 500

，解得

24x 30 y 21000 y 300

答：购买甲种树苗 500棵，乙种树苗 300 棵、

〔2〕设甲种树苗购买 z 株，由题意得：

85%z+90%〔800－z〕≥ 800×88%，解得 z≤320、

答：甲种树苗至多购买 320 株、

〔3〕设购买两种树苗的费用之和为 m，那么 m＝24z+30〔800－z〕＝ 24000－6z， 在此函数中， m随 z 的增大而减小

所以当 z＝320 时， m取得最小值，其最小值为 24000－6×320＝22080 元 答：购买甲种树苗 300 棵，乙种树苗 500 棵，即可满足这批树苗的成活率不低于 88%，又使

购买树苗的费用最低，其最低费用为 22080 元、

点评： 此题考查一元一次不等式组的应用， 将现实生活中的事件与数学思想联系起来， 读懂 题列出不等式关系式即可求解、此题难点是求这批树苗的成活率不低于 88%时，甲种树苗的

取值范围、

25、〔2017 浙江宁波， 25，？〕阅读下面的情景对话，然后解答问题：

是真命题还是假命题？

〔2〕在 Rt△ABC中，∠ C＝ 90°， AB＝c，AC＝b，BC＝a，且 b> a，假设 Rt△ABC是奇异三 角形，求 a：b： c；

〔3〕如图， AB是⊙ O的直径， C是⊙ O上一点 〔不与点 A、B重合〕，D是半圆弧 ADB的中点， C、D 在直径 AB的两侧，假设在⊙ O内存在点 E，使 AE＝AD， CB＝CE、

①求证：△ ACE是奇异三角形；

考点：勾股定理；等边三角形的性质；圆周角定理。

专题：新定义。

分析：〔1〕根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可； 〔2〕根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得 a2+b2＝c2与 a2+c2＝2b2，用 a表示出 b与

c，即可求得答案；

〔3〕① AB是⊙O的直径，即可求得∠ ACB＝∠ ADB＝90°，然后利用勾股定理与圆的性质即 可证得；

②利用〔 2〕中的结论，分别从 AC： AE： CE＝ 1： 2 ： 3与 AC：AE：CE＝ 3： 2：1去 分析，即可求得结果、

解答：解：〔 1〕设等边三角形的一边为 a，那么 a2+a2＝2a2， ∴符合“奇异三角形”的定义、∴是真命题；

〔2〕∵∠ C＝90°，那么 a2+b2＝ c2①，

∵Rt △ ABC是奇异三角形，且 b>a，

∴a2+c2 ＝ 2b2②，

由①②得： b＝ 2 a， c＝ 3 a，∴ a： b： c＝ 1： 2 ： 3 〔3〕∵① AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB＝∠ ADB＝90°， 在 Rt△ACB中， AC2+BC2＝ AB2，在 Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2， ∵点 D是半圆弧 ADB的中点，∴弧 AD＝弧 DB，∴ AD＝BD， ∴AB2＝ AD2+BD2＝ 2AD2，∴ AC2+CB2＝ 2AD2， 又∵ CB＝CE，AE＝AD，∴ AC2+CE2＝ 2AE2，

∴△ ACE是奇异三角形；

②由①可得△ ACE是奇异三角形，∴ AC2+CE2＝ 2AE2， 当△ ACE是直角三角形时，

由〔 2〕得： AC：AE：CE＝ 1： 2 ： 3或AC：AE：CE＝ 3： 2 ：1，

当 AC： AE： CE＝ 1： 2 ： 3时， AC：CE＝1： 3，即 AC： CB＝ 1： 3 ，

∵∠ ACB＝ 90°，∴∠ ABC＝30°，∴∠ AOC＝2∠ABC＝60°；

当AC：AE：CE＝ 3： 2 ：1时， AC：CE＝ 3：1，即 AC： CB＝ 3：1，

∵∠ ACB＝ 90°，∴∠ ABC＝60°，∴∠ AOC＝2∠ABC＝120°、 ∴∠ AOC的度数为 60°或 120°、

点评： 此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识、解题的关键是 理解题意，抓住数形结合思想的应用、

26、〔2017 浙江宁波， 26，？〕如图，平面直角坐标系 xOy中，点 A 的坐标为〔－ 2，2〕，

点 B的坐标为〔 6，6〕，抛物线经过 A、O、B三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB交 y 轴于点 E、 〔 1〕求点 E 的坐标；

〔2〕求抛物线的函数解析式；

〔3〕点 F 为线段 OB上的一个动点 〔不与点 O、B重合〕，直线 EF与抛物线交于 M、N两点〔点

N在 y 轴右侧〕，连接 ON、BN，当点 F 在线段 OB上运动时，求△ BON面积的最大值，并求出 此时点 N 的坐标；

〔4〕连接 AN，当△ BON面积最大时，在坐标平面内求使得△ BOP与△ OAN相似〔点 B、O、P

分别与点 O、A、 N对应〕的点 P的坐标、

11

∴y ＝ x2－ x；

42

〔3〕依题意，得直线 OB的解析式为 y＝x，设过 N 点且与直线 OB平行的直线解析式为 y＝ x+m，

联立

yy

12

x

4 xm

1

2 ，得 x2－ 6x－ 4m＝ 0，当△＝ 36+16m＝ 0时，△ BON面积最大，

9 3 3

m＝－ 9 ，x＝3，y＝ 3 ，即 N〔3， 3 〕；

4 4 4

依题意，得∠ AON＝∠ OBP，那么直线 BP与 y 轴交于点〔 0，30〕， 设直线 BP的解析式 y＝ kx+30，将 B

1 2 1

y x x

42

y 4x 30

解得

∴y ＝－ 4x+30，联立

6，6〕代入，得 k＝－ 4，

解得

x 20

y 110 ，

x6

，

y6

∴P 点坐标为〔－ 20，110〕、 点评：此题考查了二次函数的综合运用、 将问题转化为列方程组，利用代数方法解题、