3.4　不等式的实际应用

1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．

2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．

1．例题中的结论

若b＞a＞0，m＞0，则____.

另外，若a＞b＞0，m＞0时，则有＜______成立．

【做一做】已知a，b是正数，试比较与的大小．

2．不等式解决实际问题的步骤

(1)________：用字母表示题中的未知数．

(2)__________：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．

(3)______________：运用不等式知识求解不等式，同时要注意______________________________．

(4)答：规范地写出答案．

在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：

一、解应用题的流程

剖析：数学问题就是数学语言的理解问题，数学语言具有简洁、准确的特点，但同时也具有丰富的内涵，而数学应用题多使用自然语言进行叙述，所以，对文字的理解就显得非常重要，要正确理解应用题的含义主要可以从以下几个步骤入手：

(1)略读识大意．应用题实际上是一篇说明文，一般文字比较多，信息量比较大．这就需要快速浏览一遍，理解题目的大意：题目叙述的是什么事，是什么问题(比如不等式问题，是求最值还是要解不等式得出结论等)．条件是什么，求解的是什么，涉及哪些基本概念，可以一边阅读一边写下主要内容，或者列表显示主要条件和要求的结论．

(2)细读抓关键．题目中关键词语和重要语句往往是重要的信息所在，将其辨析出来是实现综合认知的出发点．因此，在略读以后还要对题目进行逐字逐句地细读，弄清具体含义及各量之间的关系．

(3)精读巧转换．领会题意的关键是“内部转化”，即把一个抽象的内容转化为一个具体的内容，把符号转化为文字，把文字叙述转化为符号或图表，总之，大脑要有灵活的转化思维．

二、常见的不等式实际应用类型

剖析：常见的不等式实际应用问题有以下几种：

(1)作差法解决实际问题

作差法的依据是a－b＞0⇔a＞b，其基本步骤是：

①理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来．

②作差，分析差的符号．

③将作差后的结论转化为实际问题的结论．

(2)应用均值不等式解决实际问题

①均值不等式：a，b∈R＋，≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．

当ab＝P(定值)，那么当a＝b时，a＋b有最小值2；

当a＋b＝S(定值)，那么当a＝b时，ab有最大值S2.

②注意利用均值不等式必须有前提条件：“一正、二定、三相等”．为了创造利用均值不等式的条件，常用技巧有配凑因子、拆项或平方．

(3)应用一元二次不等式解决实际问题

用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤大致为：

①理解题意，搞清量与量之间的关系；

②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；

③解所列的一元二次不等式得到实际问题的解．

在建立不等关系时，一定要弄清楚各种方法的适用范围及未知量的取值范围，不可盲目使用．

题型一 一元二次不等式的实际应用

【例1】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到0.01 km/h)?

分析：由刹车距离直接代入关系式就会得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．

反思：解答不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型．防止在解答此题时不考虑实际意义而忘记舍去x＜－88.94这一情况．

题型二 利用均值不等式解应用题

【例2】某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？

分析：每年的保险费、养路费等是一个定数，关键是每年的维修费逐年递增，构成一个等差数列，只需求出x年的总费用(包括购车费)除以x年，即为平均费用y.列出函数关系式，再求解．

反思：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)写出正确答案．

题型三 易错辨析

【例3】甲、乙两地水路相距s km，一条船由甲地逆流匀速行驶至乙地，水流速度为常量p km/h，船在静水中的最大速度为q km/h(q＞p)．已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中的速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为k.

(1)把全程燃料费用y(元)表示为船在静水中的速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程燃料费用最少，船的实际前进速度应是多少？

错解：(1)依题意，船由甲地到乙地所用的时间为h，

则y＝k·v2·＝.

故所求函数为y＝，其定义域为v∈(p，q]．

(2)依题意，k，s，v，p，q均为正数，且v－p＞0，

故有＝ks·

＝ks(v－p＋＋2p)≥ks(2p＋2p)＝4ksp，

当且仅当v－p＝，即v＝2p时等号成立．

所以当船的实际前进速度为p km/h时，全程燃料费用最少．

错因分析：错解中船在静水中的速度v＝2p km/h应不超过q km/h，事实上2p与q的大小关系并不明确，因此需分2p≤q和2p＞q两种情况进行讨论．

1某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过(　　)．

A．70平方米 B．80平方米

C．90平方米 D．100平方米

2一元二次不等式ax2＋2x－1有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)．

A．{a|a＞1} B．{a|a＜1且a≠0}

C．{a|a＜－1} D．{a|a＞－1且a≠0}

3某企业生产一种产品x(百件)的成本为(3x－3)万元，销售总收入为(2x2－5)万元，如果要保证该企业不亏本，那么至少生产该产品为______(百件)．

4用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长(较长的边)和宽应选用的金属材料价格每1 m分别为3元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是______．

5某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(x∈N＋)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用．请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．

答案：

基础知识·梳理

1．＞　

【做一做】解：∵a＞0，b＞0，

∴＋≥2＞0.

∴≤＝.

即≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．

2．(1)设未知数　(2)列不等式(组)　(3)解不等式(组)　未知数在实际问题中的取值范围

典型例题·领悟

【例1】解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h.

根据题意，有x＋x2＞39.5.

移项整理，得x2＋9x－7 110＞0.

显然Δ＞0，方程x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，

即x1≈－88.94，x2≈79.94.

然后，画出二次函数y＝x2＋9x－7 110的图象．

由图象得不等式的解集为

{x|x＜－88.94或x＞79.94}．

在这个实际问题中，x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.

【例2】解：设汽车使用的年数为x.

由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．

因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．

设汽车的年平均费用为y万元，则有

y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.

当且仅当＝，即x＝10时，等号成立，即y取最小值．

答：汽车使用10年时年平均费用最少．

【例3】正解：(1)同错解(1)．

(2)解题过程同错解(2)．

若2p≤q，则当v＝2p时，y取最小值，这时船的实际前进速度为p km/h.

若2p＞q，当v∈(p，q]时，

－＝ks·.

∵v－p＞0，q－p＞0，q－v≥0，pq＋pv－qv≥pv＋pv－qv＝(2p－q)v＞0，

∴≥.

当且仅当v＝q时等号成立，即当v＝q时，y取得最小值．此时船的实际前进速度为(q－p) km/h.

随堂练习·巩固

1．B　根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x平方米，则根据他所选择的方案，知3x－240≤0，所以x≤80，即建筑面积不超过80平方米．

2．D　一元二次不等式有两个不相等的实数根，其判别式Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1，且二次项系数不能为0，即a≠0.所以a的取值范围是{a|a＞－1且a≠0}．

3．2　要不亏本只需收入不小于成本，即2x2－5－(3x－3)≥0，即2x2－3x－2≥0，解得x≤－或x≥2，而产品件数不能是负数，所以x的最小值为2.

4．40 m2　设长为x m，宽为y m，则根据条件知6x＋10y≤100，即3x＋5y≤50，且x≥y，再根据x，y都是整数的条件求xy的最大值，而xy＝·3x·5y≤()2，并且检验，知当x＝8，y＝5时，面积xy最大为40 m2.

5．解：设总费用为y元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k(k＞0)，每批购入x台，则y＝×400＋k·(2 000·x)．

当x＝400时，y＝43 600，解得k＝5%.

∴y＝＋100x

≥2＝24 000(元)．

当且仅当＝100x，即x＝120时，等号成立，因此只需每批购入120台，便可使资金够用．