学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 两个向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉.
2.范围:〈a,b〉∈[0,π].特别地:当〈a,b〉=时,a⊥b.
知识点二 两个向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积(或内积),记作a·b.
规定:零向量与任何向量的数量积都是0.
2.数量积的运算律
注意:空间向量的数量积不满足结合律。
知识点三 两个向量的数量积的性质
1.向量与的夹角等于向量与的夹角.( × )
2.对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.( × )
3.对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).( × )
4.若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.( √ )
5.对任意向量a,b,满足|a·b|≤|a||b|.( √ )
题型一 数量积的计算
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
(1) ·;
(2) ·;
(3) ·;
(4) ·.
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 用定义求数量积
解 (1) ·=·
=||||·cos〈,〉
=cos60°=.
(2) ·=·=||2=.
(3) ·=·
=||·||cos〈,〉
=cos120°=-.
(4) ·=·(-)
=·-·
=||||cos〈,〉-||||cos〈,〉
=cos60°-cos60°=0.
反思感悟 (1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算.
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:
(1) ·;(2) ·;(3) ·.
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 用定义求数量积
解 如图,设=a,=b,
=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,
a·b=b·c=c·a=0.
(1) ·
=b·=|b|2=42=16.
(2) ·=·(a+c)=|c|2-|a|2
=22-22=0.
(3) ·=·
= (-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2.
题型二 利用数量积证明垂直问题
例2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
求证:PA⊥BD.
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
证明 由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,则·=0.
由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD,则·=0.
又=+,
所以·=(+)·=·+·=0,即PA⊥BD.
反思感悟 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可.
跟踪训练2 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
证明 设=a,=b,=c,
则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|.
∵=+=+ (+)
=c+a+b,
=-=b-a,
=+= (+)+
=a+b-c,
∴·=·(b-a)
=c·b-c·a+a·b-a2+b2-b·a
= (b2-a2)
= (|b|2-|a|2)=0.
于是⊥,即A1O⊥BD.
同理可证⊥,即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,
∴A1O⊥平面GBD.
题型三 数量积求解空间角与距离
命题角度1 求解角度问题
例3 在空间四边形OABC中,连接AC,OB,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量与所成角的余弦值.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
解 ∵=-,
∴·=·-·
=||||·cos〈,〉-||||·cos〈,〉
=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16,
∴cos〈,〉=
==.
反思感悟 求两个空间向量a,b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法,利用公式cos〈a,b〉=,在具体的几何体中求两向量的夹角时,可把其中一个向量的起点平移至与另一个向量的起点重合,转化为求平面中的角度大小问题.
跟踪训练3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
解 不妨设正方体的棱长为1,
设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,
a·b=b·c=c·a=0,
=a-c,=a+b.
∴·=(a-c)·(a+b)
=|a|2+a·b-a·c-b·c=1,
而||=||=,
∴cos〈,〉==,
∵〈,〉∈(0°,180°),
∴〈,〉=60°.
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
命题角度2 求解距离或长度
例4 平行四边形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
解 由已知得AC⊥CD,AC⊥AB,折叠后AB与CD所成角为60°,于是,·=0,·=0,
且〈,〉=60°或120°.
||2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=22+12+22+2×2×2cos〈,〉,故||2=13或5,
解得||=或,
即B,D间的距离为或.
反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|=求解即可.
跟踪训练4 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
解 因为=++,
所以=(++)2
=2+2++2(·+·+·).
因为∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,
所以=1+4+9+2×(1×3×cos 60°+2×3×cos 60°)=23.
因为=||2,所以||2=23,
则||=,即AC1=.
利用数量积探究垂直问题
典例 如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使⊥?
考点 空间向量数量积的应用
题点 数量积的综合应用
解 假设存在点Q(点Q在边BC上),使⊥,
即PQ⊥QD.
连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.
又=+,
所以·=·+·=0.
又·=0,所以·=0,所以⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.
又AB=1,
所以当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;
当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;
当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.
综上所述,当a≥2时,存在点Q,使⊥;
当0<a<2时,不存在点Q,使⊥.
[素养评析] 本例由条件⊥,利用向量的数量积推知Q点轨迹,从而转化为平面几何问题,解答此题,应具有较强的逻辑推理能力.
1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中的真命题是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
答案 B
解析 对于A,可举反例:当a⊥b时,a·b=0;对于C,
a2=b2,只能推出|a|=|b|,而不能推出a=±b;
对于D,当a=0时,不能推出b=c.
2.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|等于( )
A.14B. C.4D.2
答案 B
解析 |a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a·b+6a·c-12b·c=14.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:
①(++)2=32;
②·(-)=0;
③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.0
答案 B
解析 易知①②正确;与的夹角为120°,
∴③不正确.故选B.
4.已知a,b为两个非零空间向量,若|a|=2,|b|=,a·b=-,则〈a,b〉=________.
答案
解析 cos〈a,b〉==-,∴〈a,b〉=.
5.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为________.
答案
解析 ||2=2=(++)2
=2+2+2+2(·+·+·)
=12+22+12+2×(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,
∴||=,∴EF的长为.
1.空间向量数量积性质的应用(a,b为非零向量)
(1)a⊥b⇔a·b=0,此结论用于证明空间中的垂直关系.
(2)|a|2=a2,此结论用于求空间中线段的长度.
(3)cos〈a,b〉=,此结论用于求有关空间角的问题.
(4)|b|cos〈a,b〉=,此结论用于求空间中的距离问题.
2.空间向量的数量积的三点注意
(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0,由a·b=0可得a⊥b或b=0.
(3)空间向量没有除法运算:即若a·b=k,没有a=.
一、选择题
1.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是( )
A.垂直 B.共线
C.不垂直 D.以上都可能
考点 空间向量数量积的概念与性质
题点 数量积的性质
答案 A
解析 由题意知|a|=|b|,
∵(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
∴(a+b)⊥(a-b).
2.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( )
A.60°B.30°C.135°D.45°
答案 D
解析 ∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos〈a,b〉
=1-1··cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=.
∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=45°.
3.已知空间向量a,b,c两两夹角为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于( )
A. B.5C.6D.
答案 A
解析 ∵|a-b+2c|2
=|a|2+|b|2+4|c|2-2a·b+4a·c-4b·c
=12+12+4×12-2·1·1·cos60°+4·1·1·cos60°-4·1·1·cos60°=5,
∴|a-b+2c|=.
4.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2· B.2·
C.2· D.2·
答案 C
解析 2·=-a2,故A错;2·=-a2,故B错;2·=-a2,故D错,只有C正确.
5.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
答案 C
解析 ∵=++,
∴·=(++)·=·+2+·=0+12+0=1,
又||=2,||=1.
∴cos〈,〉===.
∵异面直线所成的角是锐角或直角,
∴a与b所成的角是60°.
6.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于( )
A.12B.8+C.4D.13
答案 D
解析 (2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cos120°=2×4-2×5×=13.
7.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC1的长为( )
A. B.2C. D.
答案 D
解析 ∵=++,
∴2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,∴||=.
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=,AB=AC=AA1,则异面直线A1B与C1A所成的角等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设=a,=b,=c,
则=a-c,=-b-c,
∴·=(a-c)·(-b-c)=-a·b+b·c-a·c+c2=|c|2,
∴cos〈,〉===.
∴A1B与C1A所成的角为.
二、填空题
9.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.
答案 -13
解析 ∵a+b+c=0,
∴(a+b+c)2=0,
∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,
∴a·b+b·c+c·a=-=-13.
10.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=________.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求角
答案 60°
解析 由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,
(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减得46a·b=23|b|2,所以a·b=|b|2,代入上面两个式子中的任意一个,得|a|=|b|,
所以cos〈a,b〉===,所以〈a,b〉=60°.
11.(2018·大连高二检测)如图,平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=AD=1,AA′=2,∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为________.
考点 空间向量数量积的应用
题点 利用数量积求线段长
答案
解析 ||2=|++|2
=2+2+2+2·+2·+2·
=12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,
则||=.
三、解答题
12.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,若AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,试用向量方法证明EF⊥AD且EF⊥BC.
证明 连接AF,∵点F是BC的中点,
∴A= (+),
∴=-
= (+)-
= (+-),
又||=||=|-|,
∴AC2=AD2-2·+AB2,①
同理AB2=CD2=AD2-2·+AC2,②
将①代入②可得AB2=AD2-2·+AD2
-2·+AB2,
∴2AD2-2·(+)=0,
∴·(+-)=0,
∴· (+-)=0,
∴·=0,∴⊥.
同理可得⊥.
∴EF⊥AD且EF⊥BC.
13.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,且PA=AB=BC=AD=1,求PB与CD所成的角.
解 由题意知||=,||=,
=+,=++,
∵PA⊥平面ABCD,
∴·=·=·=0.
∵AB⊥AD,
∴·=0,
∵AB⊥BC,
∴·=0,
∴·=(+)·(++)
=2=||2=1,
又∵||=,||=,
∴cos〈,〉===,
∵〈,〉∈[0,π],
∴〈,〉=,
∵异面直线所成的角为锐角或直角,
∴PB与CD所成的角为.
14.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=,若n⊥(tm+n),则实数t的值为________.
答案 -4
解析 ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即t·m·n+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0,由已知得t×|n|2×+|n|2=0,解得t=-4.
15.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.
(1)证明 =+,
=+.
∵BB1⊥平面ABC,
∴·=0,·=0.
又△ABC为正三角形,
∴〈,〉=π-〈,〉=π-=.
∵·=(+)·(+)
=·+·+2+·
=||·||·cos〈,〉+2=-1+1=0,
∴AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知·=||·||·cos〈,〉+2=2-1.
又||===||,
∴cos〈,〉==,
∴||=2,即侧棱长为2.
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