平均数、众数和中位数

责编：杜少波

【学习目标】

1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述；

2. 能解释统计的结果，根据结果作出简单的判断和预测；

3. 知道可以通过样本的平均数来估计总体的平均数，并用它们去解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、平均数

1.算术平均数

一般地，有n个数，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.记作（读做“x拔”）.

要点诠释：

（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

2.加权平均数

在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数.

加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+）

“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.

要点诠释：

（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

要点二、众数和中位数

1.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

要点诠释：

（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

2.中位数

将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数.

要点诠释：

（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半.

要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度.

区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.

要点四、用样本估计总体

在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平.

要点诠释：

（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价.

【典型例题】

类型一、平均数、众数和中位数

1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（　　）

A．99.60，99.70 B．99.60，99.60

C．99.60，98.80 D．99.70，99.60

【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．

【答案】B；

【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B．

【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

举一反三：

【高清课堂 数据的分析 例8】

【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．

【答案】3.2；3.5；

解：由题意，所以众数是3.2，平均数是3.5.

【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（　　）

A．6.2小时 B．6.4小时 C．6.5小时 D．7小时

【答案】B；

解：根据题意得：

（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50

=（50+90+140+40）÷50

=320÷50

=6.4（小时）．

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．

类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题

2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

【思路点拨】（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.

【答案与解析】

解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，

乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，

丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，

∴ 候选人丙将被录用．

(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，

乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，

丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，

∴ 候选人甲将被录用．

【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．

举一反三：

【高清课堂 数据的分析 例10】

【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

【答案】

解：小王平时测试的平均成绩（分）．

所以（分）．

答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．

3、（2016•呼和浩特）在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽得12名选手所用的时间（单位：分钟）得到如下样本数据：140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148

（1）计算该样本数据的中位数和平均数；

（2）如果一名选手的成绩是147分钟，请你依据样本数据中位数，推断他的成绩如何？

【思路点拨】（1）根据中位数和平均数的概念求解；

（2）根据（1）求得的中位数，与147进行比较，然后推断该选手的成绩．

【答案与解析】

解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列为：125，134，140，143，146，148，152，155，162，164，168，175，

则中位数为：=150，

平均数为：=151；

（2）由（1）可得，中位数为150，可以估计在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于150分钟，有一半选手的成绩慢于150分钟，这名选手的成绩为147分钟，快于中位数150分钟，可以推断他的成绩估计比一半以上选手的成绩好．

【总结升华】此题主要考查了中位数和平均数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

举一反三：

【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．

请根据图表中的信息，回答以下问题.

(1)求的值；

(2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．

【答案】

解：(1) ＝50－15－20－5＝10．

(2)众数是15．

平均数为(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．

类型三、用样本估计总体

4、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．

(1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；

(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．

【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．

【答案与解析】

解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是

．

∴ 这组样本数据的平均数为6.8．

∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多．

∴ 这组数据的众数是6.5．

∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有．

∴ 这组数据的中位数是6.5．

(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t的有7户，有．

∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．

【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．

举一反三：

【变式】（清河区二模）4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：

请你根据以上信息，解答下列问题：

（1）被调查的学生月平均阅读册数为　 　 本；

（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是　 ；

（3）在平均数、中位数这两个统计量中，　 　更能反映被调查学生月阅读的一般水平；

（4）若向阳中学共有学生1600人，求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？

【答案】

解：（1）平均阅读册数为：=2.3（本）；

（2）∵共有100名学生，

∴第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数：=2；

（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；

（4）2.3×1600=3680（本）．