顺义区2012届初三第一次统一练习

数学试卷

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．-3的相反数是

A．3 B．-3 C． D．

2．中国人民银行决定，从2012年2月24日起，下调存款类金融机构人民币存款准备金率0.5个百分点．本次下调后，央行一次性释放约4 000亿元人民币的资金．请把4 000亿元用科学记数法表示应为

A．元 B．元 C．元 D．元

3．下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是

A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形

4．下列运算正确的是

A． B．

C． D．

5．某个公司有15名工作人员，他们的月工资情况如下表．则该公司所有工作人员的月工资的平均数、中位数和众数分别是

A．520，2 000，2 000 B．2 600， 800，800

C．1 240，2 000，800 　 D．1 240，800，800

6．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，且，

，则的度数是

A．25° B．35° C．45° D．55 °

7．一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是

A． B． C． D．1

8．如图，在Rt△ABC中，，，AC=2，

D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上

一点，且．设AD=x， BE=y，则下列图象中，

能表示y与x的函数关系的图象大致是

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若，则的值是 ．

10．分解因式： ．

11．如图，用测角仪测得校园的旗杆顶点A的仰角，仪器高米，测角仪底部中心位置D到旗杆根部B的距离米，则旗杆的高

是 米．

12．如图，菱形ABCD中，AB=2 ，∠C=60°,我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为 ；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 ；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 ．(结果都保留π)

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：．

14．解方程组：

15．已知：如图，在中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．

求证：∠ADE =∠AED．

16．已知，求代数式的值．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象的一个交点为．

（1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数的图象与y轴交于点B，P为一次函数的图象上一点，若的面积为5，求点P的坐标．

18．列方程或方程组解应用题：

在城区改造项目中，区政府对某旧小区进行节能窗户改造．该小区拥有相同数量的A、B两种户型．已知所有A户型窗户改造的总费用为54万元，所有B户型窗户改造的总费用为48万元，且B户型窗户的每户改造费用比A户型窗户的每户改造费用便宜500元．问A、B两种户型的每户窗户改造费用各为多少元？

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在□ABCD中，E是对角线AC的中点，EF⊥AD于F，∠B=60°，AB=4，

∠ACB=45°，求DF的长．

20．如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠BDC =．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若OF∥AD分别交BD、CD于E、F，BD =2，求OE及CF的长．

21．某中学准备搬迁新校舍，在迁入新校舍之前，同学们就该校学生如何到校问题进行了一次调查，并将调查结果制成了表格、条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图表信息完成下列各题：

（1）此次共调查了多少名学生？

（2）请将表格填充完整；

（3）请将条形统计图和扇形统计图补充完整．

到校方式条形统计图 到校方式扇形统计图

22．问题背景

（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点D作DF∥AC交BC于点F．请按图示数据填空：

四边形DFCE的面积 ，[来源:学科网]

△DBF的面积 ，

△ADE的面积 ．

探究发现

（2）在（1）中，若，，DＧ与BC间的距离为．直接写出 （用含S、的代数式表示）．

拓展迁移

（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为4、8、1，试利用（2）中的结论求□DEFG的面积，直接写出结果．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知关于x的方程．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程的整数根（为正整数）．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点

B（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A’，点B的对应点为B’，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使的面积与四边形AA’B’B的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

25．问题：如图1， 在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ；

（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

2．顺义区2012届初三第一次统一练习

数学学科参考答案及评分细则

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分，）

9．； 10．； 11．11.4； 12．，，．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：

……………………………………………… 4分

…………………………………………………………………… 5分

14．解：

①+②，得 ．

． …………………………………………………… 2分

把代入①，得

．

． ………………………………………………………… 4分

∴原方程组的解为 ………………………………………………… 5分

15．证明：∵AB=AC，

∴． …………………………………………………………… 1分

在△ABD和△ACE中，

∴ △ABD≌△ACE．……………………………………………………… 3分

∴ AD=AE． ……………………………………………………………… 4分

∴∠ADE =∠AED． ……………………………………………………… 5分

16．解：

　　…………………………………………………… 2分

……………………………………………………………………… 4分

当时，原式=．…………………………………… 5分

17．解：（1）∵点在反比例函数（）的图象上，

　∴． …………………………………………………………… 1分

∴．

将代入一次函数中，得 ．

∴一次函数的解析式为． …………………………………… 2分

（2）由题意，得，

∴．

设P点的横坐标为．

∵的面积为5，

∴．…………………………………………………………… 3分

∴．

∴点P的坐标为（2，3）或（-2，7）． ………………………………… 5分

18．解：设A户型的每户窗户改造费用为元，

　则B户型的每户窗户改造费用为元． ……………………………… 1分

根据题意，列方程得　　．

解得 ．

经检验，是原方程的解，且符合题意．…………………………… 4分

∴．

答：A户型的每户窗户改造费用为元，

B户型的每户窗户改造费用为元．…………………………………… 5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）∵在□ABCD中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，

∴∠D=60°，CD=AB=4，AD∥BC． ……………………………… 1分

∴∠DAC=45°．

过点C作CM⊥AD于M，

在Rt△CDM中，

，

．………………………………… 2分

在Rt△ACM中，∵∠MAC=45°，

∴．

∴．…………………………………… 3分

∵EF⊥AD，CM⊥AD，

∴EF∥CM．

∴．

在Rt△AEF中，．…………………………………… 4分

∴．……………………… 5分

20．（1）证明：连结OD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°． ……………………………………………………… 1分

∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°．

∴∠BDC =．

∵OD=OB，

∴△ODB是等边三角形．

∴∠ODB=60°．

∴∠ODC=∠ODB+∠BDC =90°．

即OD⊥DC．

∴CD是⊙O的切线．…………………………………………………… 2分

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，

∴OF⊥BD，∠BOE=∠A =30°． ……………………………………… 3分

∴．

在Rt△OEB中，OB=2BE=2，．………… 4分

∵OD=OB=2，∠C=∠ABD-∠BDC=30°，∠DOF=30°，

∴，．

∴． ……………………………5分

21．解：（1）此次共调查了100名学生． …………………………………………………1分（2）填表：

…………………………………………………3分

（3）补全统计图如下：

到校方式条形统计图 到校方式扇形统计图

．

…………………………………………………………………………5分

22．解：（1）四边形DFCE的面积 6 ，

△DBF的面积 6 ，

△ADE的面积 ． …………………………………… 3分

（2） （用含S、的代数式表示）． ………… 4分

（3）□DEFG的面积为12． ………………………………………… 5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解：（1）△=

= [来源:学科网]

= ……………………………………………………………… 1分

∵方程有两个不相等的实数根，

∴ 即

∴的取值范围是且． …………………………………… 3分

（2）当方程有两个相等的实数根时，

△==．

∴． ………………………………………………………………… 4分

∴关于y的方程为．

∴

．

由a为正整数，当是完全平方数时，方程才有可能有整数根．

设（其中m为整数），（、均为整数），

∴．即．

不妨设 两式相加，得．

∵与的奇偶性相同，

∴32可分解为，，，，

∴或或或．

∴或或（不合题意，舍去）或．

当时，方程的两根为，即，．…… 5分

当时，方程的两根为，即，．…… 6分

当时， 方程的两根为，即，． ………… 7分

24．解：（1）∵抛物线y=mx2+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），

∴ ∴．

∴抛物线的解析式为：．………………………… 2分

（2）令，得，得，，[来源:学*科*网Z*X*X*K]

∵抛物线向右平移后仍经过点B，

∴抛物线向右平移2个单位．……… 3分[来源:学#科#网Z#X#X#K]

∵

． ………… 4分

∴平移后的抛物线解析式为． …………………… 5分

（3）由抛物线向右平移2个单位，得，．

∴四边形AA’B’B为平行四边形，其面积．

设P点的纵坐标为，由的面积=6，

∴，即

∴，．………………………………………………… 6分

当时，方程无实根，

当时，方程的解为，．

∴点P的坐标为或．……………………………… 7分

25．解：（1）完成画图如图2，由的度数

　　　　　　为 60°，点E落在 AB的中点处 ，

容易得出BE与DE之间的数量关系

为 BE=DE ；…………… 3分

　　　　（2）完成画图如图3．

猜想：．

证明：取AB的中点F，连结EF．

∵，，

∴，．

∴△是等边三角形．

∴．　 ① …… 4分

∵△ADE是等边三角形，

∴，

　．　 ②

∴．

∴．

即．③ ………………………………………… 5分

由①②③得 △ACD≌△AFE（SAS）． …………………………… 6分

∴．

∵F是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线．

∴BE=AE. ………………………………………………………　7分

∵△ADE是等边三角形，

∴DE=AE.

∴．　……………………………………………………　8分