对数相关知识

概述：对数是高中代数中一块重要内容，主要考察对数函数以及与对数相关的运算等（包括各种公式），在此总结如下：

定义：对数源出于指数

，且，

常用对数：；自然对数：，

一．代数基本关系式 .(基础)

把指数式代入对数式消去，得到

*（F1），且，

说明：

特别地，对应和的情况，有

*（F1.1），且

*（F1.2），且

把对数式代入指数式消去，得到

（F2）真数还原:，且，

说明：

应用举例：

例1：求值(E1)；(E2)；(E3)。

解：(E1)

(E2)

(E3)为了底数变为相同，先分析与的关系，，所以

注：需要使用的指数恒等式：，。做这一类题的关键在于关注底数是否相同，底数不同的想办法化成同底数，然后应用公式。

自己动手：(Q1)；(Q2)；(Q3)；(Q4)；(Q5)。

（F3），且，

证明：因为

同理

上面两式的左边底数相同，指数的相等由乘法交换律保证着，所以

。

应用举例：

例1：(E2)；(E3)

解：用（F3）重新做：

(E2)；(E3)。

注：（F3）可以方便计算这一类题，在做选择填空上可以快一点点。

自己动手：(Q6)；(Q7)。

二．积的对数、商的对数、幂的对数。（重点）

*（F4）,且，

证法一：令，，那么，，所以

。

证法二：。

证法一首先引入了辅助的，最后求得结果后换回。证法二是不引入辅助量而是利用了（F2）和（F1）。两种方法基本步骤一样，没有本质区别。

(F4.1)扩展到多个数的积的情况：且，

*（F5）,且，

*（F6），且，，

证法一：令，那么，所以

。

证法二：。

应用举例：

例2：求值：（E8）；（E9）；（E10）；（E11）；

解：（E8）；

（E9）；

（E10）

注：把所有减法做成加法，把所有除法做成乘法。

（E11）

例3：(E12)已知，，且，求。

分析：质因数分解：，，而，它们都由以或为底的幂所“组成”。注意这里要解一元二次方程组。

解：因为 （1）

同理 （2）

从上面两式解出和（和是已知量，把和看作未知量）

（2）-（1）：

（1）-（2）：

所以

自己动手：

（Q8）；（Q9）；（Q10）；

（Q11）；

（Q12）已知，，，求下列各式的值：

（Q12.1）；（Q12.2）；（Q12.3）；（Q12.4）。

三：对数式连锁。（这个恒等式比较难，有兴趣的同学可以看一下）

（F7），，。（类比：）

证明：记，应用（F6）与（F2），有

。

（F7.1）扩展应用：，

类比：

应用举例：

例4：（E13）；（E14）。

解：由（F7.1）：（E13），。

（E14）

自己动手：（Q13）；（Q14）。

四：换底公式。（既是重点又是难点）

前面的恒等式的变换（F1—F6）都没有触及底数，对数的运算大多要求底数相同，当底数不同时，对底数进行变换令其变为相同非常必要，所以换底公式是为了在运算中统一底数，降低运算难度而出现的。

**（F8），，。（类比：）

证法一：由（F7）得，即。

证法二：令，，那么，，所以

。

注意到，换底公式从左到右的应用过程中，底数由变为，右边成为对数的商的形式，其中可以在范围内根据实际情况任意选取。只需对取一些特殊值，便可得到换底公式一些常用形态。

（F8.1）取，；

（F8.2）取，；

（F8.3）取，，即，底数与真数互换之后的对数式与原对数式互为倒数；

*（F8.4），且，，，

证明：用换底公式（F8），把底数换成，得到，再应用(F6)与(F1)，有，结合起来便得到（F8.4）。

恒等式（F8.4）是恒等式（F6）的增强版本。

（F8.5）对数式中，底数和真数同时进行同指数乘方（该指数非零），对数式的值不变。

，且，，

这样底数可以换成与之关系比较密切的，例如可以“扩充”成为，也可以“收缩”成为，也可以“倒转”成为，视乎需要使用。

（F8.6）多个对数式连乘积中，将所有真数以任意顺序重排，将所有底数以任意顺序重排，得到新的对数式连乘积的值与原式相等。

这个公式写出来比较麻烦，下面用例子说明：如

真数是：，底数是：，我们把真数随意重排：，底数重排后：，新的对数式

观察上面两式右边，分子和分母分别都只是顺序不同而已，乘法交换律保证了两对数式连乘积的相等。

应用举例：

例5：（E15）；（E16）。

解：（E15）对数式的连乘，与对数式连锁有点相似，但稍微复杂，应用换底公式

另外，应用（F8.6），保持真数顺序不变，底数重排为：，有

（E16）括号之内底数不同，不能直接相加，全部换成常用对数

例6：（E17）已知，，试用，表示；

（E18）已知，，试用，表示。

解：（E17）解法一：全部换成常用对数

，

（这样，都可以用, ,表出，代入后便可以达到消元的目的）

解法二：事实上，如果把底数统一换成或的话，，两个式子中有一个不用变换底数，会比较方便，这里以为例

（E18）题目条件给出的是，，一般来说，把底数换成，或都可以使问题简化，这里以为例（事实上，把底数换成或运算量更少）。

，

（或）

注：这里解题关键是注意观察，熟悉质因数分解和对数运算恒等式，以及选取适当的底数进行换底。

例7：（E19）已知正数满足：，求证：；

(E20)已知，，，求的值。

（E19）证明：引入设而不求的未知数，令，那么

，，

（观察上面三式，真数相同而底数不同，所以把底数统一换成将会方便运算）

利用（F8.3），可得

，，

所以

（E20）把底数统一换成，由（F8.3）得

，，

注:把出现频率较高的量作为底数是十分有效的。

自己动手：

（Q15）；（Q16）；

（Q17）例6（E17）中通过把底数换成求解；

（Q18）设，，试用表示；

（Q19）设，求的值。

附录

1.乘方表

2．常用对数表与自然对数表