当前位置：首页> 《概率论与数理统计》实验指导书讲解

《概率论与数理统计》实验指导书讲解

时间：2018-10-07 21:31:30 下载该word文档

《概率论与数理统计》实验指导书

【课程性质、目标和要求】

课程性质: 概率论与数理统计实验是与《概率论与数理统计》课程相配套的

数学实验，它是为了理解和巩固这门课而设计的。

教学目标：通过本实验的教学，使学生掌握处理随机数据的基本方法，以及获得建立某些实际问题的模拟能力，并深刻理解概率与数理的思想方法。

教学要求：本实验是数学与应用数学专业教学计划中《概率论与数理统计》相配套的数学实验，所以，实验与课程紧密结合，服务这门课，在该课程的理论指导下开展数学实验。在实验供应结合生产科研的实际问题，进行解决实际问题能力的实践性环节的培养。

概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，通过本实验(我们以excel为平台，教师也可选其它数学软件． Excel电子表格软件是微软办公软件组的核心应用程序之一，它功能强大，操作简单，适用范围广，普遍应用于报表处理、数学运算、工程计算、财务处理、统计分析、图表制作等各个方面。其数据分析模块简单直观，操作方便，是进行概率与统计学教学的首选软件)，我们可以了解随机现象及其发生的概率，模拟系统的变化规律。鉴于该课程的特点，为更好地实现教学目标，我们开发以下16个实验。教师可以根据教学情况选其中6个试验进行教学。

【教学时间安排】

实验一 Excel的基本使用方法和技巧

1、问题的背景

概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学，如何对实践中的随机现象进行模拟和处理数据，成为概率论与数理统计实验课程的重要内容．鉴于Excel的通俗易懂和应用的普适性，我们采用Excel来实现概率论与数理统计课程实验。因此，对Excel的基本应用成为本门课程的基础．

2、实验目的要求

（1）学习和掌握Excel的调用程序．

（2）学习和掌握Excel的基本命令．

（3）学习和掌握Excel的有关技巧．

（4）掌握基本统计命令的使用方法

3、实验主要内容

在各种电子表格处理软件中，Excel以其功能强大、操作方便著称，赢得了广大用户的青睐．本实验学习一些经常使用的技巧，掌握这些技巧将大大提高学生未来实验的效率．

（一）基本命令

(1) 快速定义工作簿格式

(2) 快速复制公式

(3) 快速显示单元格中的公式

(4) 快速删除空行

(5) 自动切换输入法

(6) 自动调整小数点

(7) 用“记忆式输入”

(8) 用“自动更正”方式实现快速输入

(9) 用下拉列表快速输入数据

（二）基本统计函数

（1）描述性统计

（2）直方图

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验二随机事件的模拟-----模拟掷均匀硬币的随机试验

1、问题的背景

抛硬币实是一个古老而现实的问题，我们可以从中得出许多结论．但要做这个简单而重复的试验，很多人没有多余的时间或耐心来完成它，现在有了计算机的帮助，人人都可很短的时间内完成它．

2、实验目的要求

（1）学习和掌握Excel的有关命令

（2）了解均匀分布随机数的产生

（3）掌握随机模拟的方法．

（4）体会频率的稳定性．

3．实验主要内容

抛硬币试验：抛掷次数为．对于20，50，100，1000，10000各作5次试验．观察有没有什么规律，有的话，是什么规律．

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验三随机模拟计算的值----蒲丰投针问题

1、问题的背景：

在历史上人们对word/media/image4_1.png的计算非常感兴趣性，发明了许多求word/media/image5_1.png的近似值的方法，其中用蒲丰投针问题来解决求word/media/image5_1.png的近似值的思想方法在科学占有重要的位置，人们用这一思想发现了随机模拟的方法．

2、实验目的要求

本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题，并由此发展起来的随机模拟法，从中体学会到新思想产生的过程．

（1）学习和掌握Excel的有关命令

（2）掌握蒲丰投针问题

（3）理解随机模拟法

（4）理解概率的统计定义

3、实验主要内容

蒲丰投针问题：下面上画有间隔为word/media/image6_1.png的等距平行线，向平面任意投一枚长为word/media/image7_1.png的针，求针与任一平行线相交的概率．进而求word/media/image8_1.png的近似值．

对于word/media/image9_1.png=50，100，1000，10000，50000各作5次试验，分别求出word/media/image10_1.png的近似值．写出书面报告、总结出随机模拟的思路．

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验四综合实验---敏感性问题调查

1、问题的背景

在问卷调查中，被调查者由于种种原因不愿意回答问题，这类问题就是敏感性问题．对敏感性问题的调查方案，关键要使被调查者原意作出真实回答问题又能保守秘密．进而能根据调查问题的特点，科学设计调查表，合理制定调查程序，分析调查结果是一个有趣的问题．

2、实验目的要求

（1）学习和掌握利用概率统计解决实际问题的技能．

（2）学习和掌握对敏感性问题调查的基本方法和措施．

（3）学习和掌握敏感性问题调查的有关技巧．

3、实验主要内容

确定敏感性问题：如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率、或某社区居民参加赌博的比率、或某社区居民吸毒的比率、或某城市经营者偷税漏税户的比率、或某学校学生考试作弊的比率．

调查方案的设计及操作程序：调查问题的设计、调查操作程序，调查样本容量的确定。

调查结果分析。

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验五正态分布综合实验

1．问题的背景

正态分布是实际生活中最常用的概率分布，在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要的价值，应熟练掌握和运用。

2．实验目的要求

学会产生服从正态分布的随机数并作密度函数和分布函数的图形，学会NORMDIST命令和Excel绘图工具的使用。

3．实验主要内容

(1) 利用随机数发生器分别产生n=100;1000;10000个服从正态分布N(6，1)的随机数，每种情形下各取组距为2，1，0．5作直方图及累积百分比曲线图。

(2) 固定数学期望μ=0．05，分别取标准差为σ=0．01、0．02、0．03，绘制密度函数和分布函数的图形。

(3) 固定标准差为σ=0．02，分别取数学期望为μ=0．03、 0．05、0．07，绘制密度函数和分布函数的图形。

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验六产生服从任意分布的随机数

1．问题的背景

实际中经常需要用到服从指定分布F(x)的随机数据。学会产生服从任意分布的随机数，对今后的学习和实际应用而言，是非常有帮助的。

2．实验目的要求

学会产生分布函数为预先指定的分布函数F(x)的随机数；利用所产生的随机数据作直方图、密度函数图和分布函数图。

3．实验主要内容

(1)分别产生1000、10000个word/media/image11_1.png分布随机数，通过变换分别把它们转换为服从指数分布Exp(3)和Gamma(2，2)的随机数，然后对所得到的Exp(3)随机数作组距为0．1的直方图，对Gamma(2，2) 随机数作组距为1的直方图，观察它们轮廓线的形状。

(2) 用命令EXPONDIST计算Exp(3)在x = 0、0．1、0．2、…、3处的值；用GAMMADIST命令计算Gamma(2，2)在x = 0、1、2、…、15处的值；并画出指数分布Exp(3)和Gamma(2，2)；的密度函数的图形，与(1)中的直方图的轮廓线进行比较。

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验七产生服从二维正态分布的随机数

1．问题的背景

二维正态分布是最常用的多维连续型分布。设二维随机向量（X，Y）服从二维正态分布word/media/image12_1.png，由二维正态分布的性质知，相关系数ρ＝0或ρ≠0对应于X与Y独立或相关两种情形。

2．实验目的要求

(1) 学会用计算机产生分量相互独立的二维正态分布随机数；

(2) 学会用计算机产生分量不独立的二维正态分布随机数。

3．实验主要内容

(1) 若随机变量X与Y相互独立且word/media/image13_1.png，word/media/image14_1.png，则word/media/image15_1.png。据此结论产生服从二维正态分布word/media/image16_1.png的随机向量（X，Y）。

(2) 设n维随机向量word/media/image17_1.png，其中word/media/image18_1.png是X的均值向量，word/media/image19_1.png是X的协方差阵，word/media/image20_1.png。由于word/media/image21_1.png为正定阵，故存在下三角阵C，使得word/media/image22_1.png；若设word/media/image23_1.png，word/media/image24_1.png的各个分量相互独立均服从word/media/image25_1.png分布，那么可以证明word/media/image26_1.png服从以word/media/image18_1.png为均值向量，以word/media/image22_1.png为协方差阵的n维正态分布。由上述结论，产生服从二维正态分布word/media/image27_1.png的随机向量（X，Y）。

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验八随机变量综合试验

1．问题的背景

正态分布、卡方分布、t分布和F分布常被称为数理统计四大分布，它们在假设检验、方差分析和回归分析中有着广泛的应用。

2．实验目的要求

(1) 学会用Excel产生服从上述四大统计分布的随机数并能画出对应随机数的直方图；

(2) 会用Excel 计算上述四大统计分布的分布函数值和分位点。

3．实验主要内容

实验原理：若独立同分布随机变量word/media/image28_1.png，则word/media/image29_1.png；又若word/media/image30_1.png，且X与Y相互独立，则word/media/image31_1.png；再者，若word/media/image32_1.png，word/media/image33_1.png，且X与Y相互独立，则word/media/image34_1.png。（参见教材p270-p272定义），据上述原理，

(1) 产生χ2 (6)、χ2 (10)、F(6， 10)和t (6)四种随机数，并画出相应随机数的频数直方图；

(2) 在同一张图中画出了N (0，1)和t (6)随机数频数直方图，比较它们的异同；

(3) 写出计算上述四种分布的分布函数值和相应上侧分位点命令。

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验九定积分的近似计算

1、问题的背景

不少统计问题，如计算概率，各阶矩等，最后都归结为定积分的近似计算问题(特别是高维积分)．这一方法是求解数学物理、工程技术及经济管理近似的数值常用方法．

2、实验目的要求

(1)掌握Excel的有关命令．

(2)进一歩理解大数定律．

(3)掌握随机模拟的方法．

3、实验主要内容

(1)用随机投点法和平均值法计算定积分:

word/media/image35_1.png

(2)比较两种方法的精度．(n=100，1000，10000．对每一个n重复做5次)

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验十参数的点估计

一、背景知识：

（一）参数点估计的计算方法

1、参数估计问题，一种是总体分布类型已知，但含有未知参数，对总体的未知参数进行估计后可以近似确定总体分布；另一种是总体分布类型未知，通过参数估计来了解总体的主要数字特征如总体均值、总体方差等．

2、点估计：设来自总体的样本为word/media/image36_1.png，通过某种参数估计方法，构造统计量word/media/image37_1.png，用word/media/image38_1.png来作为总体未知参数word/media/image39_1.png的估计，这个随机量word/media/image40_1.png就是word/media/image39_1.png的点估计量．

3、矩估计法的应用：分两种情况讨论，并只讨论到1阶到2阶矩．

(1)总体的未知参数为总体的矩时

∙ 总体均值近似于样本1阶原点矩即样本均值
　　word/media/image41_1.png

∙ 总体方差word/media/image42_1.png的矩估计就是样本2阶中心矩即样本方差 word/media/image43_1.png

(2)总体分布类型已知，有1个或2个未知参数（我们主要考虑这两种）可以用样本的1阶、2阶原点矩列出方程（组）求解未知参数。

∙ 当只有一个未知参数word/media/image44_1.png时，可列出一个方程word/media/image45_1.png解得word/media/image46_1.png．

∙ 当有二个未知参数是时，可根据样本一阶和二阶原点矩列出一个二元方程组．

3、极大似然估计法

似然函数等于样本分布列（离散总体）或样本概率密度（连续总体）的连积：

word/media/image47_1.png

极大似然估计法就是求word/media/image48_1.png的极大似然估计word/media/image49_1.png(所要求的要概率)，要求出word/media/image49_1.png，就是要求似然函数word/media/image50_1.png的最大值点．

要求极大似然估计，通常用三步：

(1)根据已知的样本分布，列出似然函数word/media/image51_1.png

(2)将函数两边取自然对数。

(3)由函数对word/media/image48_1.png求导，令其等于0，算出word/media/image48_1.png的极大似然估计word/media/image49_1.png．

（二）关于无偏性、有效性和相合性

1、设word/media/image37_1.png是未知参数word/media/image52_1.png的估计量，若满足word/media/image53_1.png，则称word/media/image37_1.png是word/media/image52_1.png的无偏估计量．也就是估计量word/media/image54_1.png这个随机变量的取值集中位置是word/media/image52_1.png．

样本的均值word/media/image55_1.png，样本方差word/media/image56_1.png分别是总体均值word/media/image57_1.png，总体方word/media/image58_1.png的无偏估计

2、有效性：在几个word/media/image52_1.png的无偏估计量中，其方差越小的，说明此估计量越有效．(可以理解，方差越小则表明word/media/image54_1.png越集中在word/media/image52_1.png附近，对word/media/image52_1.png的估计效果越好）．

3、相合性：设word/media/image37_1.png是未知参数word/media/image52_1.png的估计，当word/media/image59_1.png时，估计量word/media/image60_1.png与word/media/image52_1.png的绝对误差小于任意给定正数ε的概率趋近于1，就称word/media/image37_1.png为word/media/image52_1.png的相合估计。

（三）关于方程和方程组求解的数值方法

见数值计算方法教材或实验指导书．

二、实验目的要求：

实验目的：通过本实验，使学生以Matlab为工具掌握参数点估计的计算方法的计算机实现；对常见分布，掌握生成点估计量值的模拟方法，通过观察不同样本量下估计量的值在真实参数周围的分布情况，获得估计量的值在真实参数周围分布情况及其随样本量增加所发生变化的数值经验．

实验要求：

1）学生在实验前应该掌握参数估计的相关理论，阅读实验本次实验的指导，了解Matlab中的相关计算工具．

2）独立准备好一个点估计问题和相关样本数据，独立完成从设计到求出结果的全部实验过程．

3）独立撰写实验报告，实验报告要附上相关Matlab程序．

三、实验内容：

1、选择一个分布（建议选择正态分布或Weibull分布等）．

2、编制求参数点估计的矩法和最大似然法的Matlab程序．

3、用随机数生成方法在不同样本量下产生多个样本．

4、用所生成的样本计算参数的估计量的值．

5、观察参数估计量的值在真值周围的分布情况，总结出相关数值经验．

6、观察参数估计量的值在真值周围的分布情况如何随样本量不同而变化，总结出相关数值经验．

四、实验设备：

电子计算机，Matlab软件。

实验十一区间估计

1、问题的背景

对于一个总体，可以用一些参数进行表征，如平均值、方差等．如果某个参数未知，统计学提供了一些方法，它们可以用来估计未知参数介于那个区间内．估计是数理统计中重要的内容，也是计算量很大的问题．以前在这方面的教学中都是使用计算器和查表，非常麻烦．下面我们用Excle来解决这个问题．

2、实验目的要求

（1）掌握Excel的有关命令．

（2）掌握总体数学期望和方差的区间估计．

（3）理解大数定律的思想。

（4）掌握随机模拟的方法．

3、实验主要内容

(1) 单个正态总体数学期望和方差的区间估计

从一大批袋装糖果中随机地取出内16袋，称得重量（g）如下

508 507．68 498．5 502 503 511 498 511

513 506 492 497 506．5 501 510 498

设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值和方差的区间估计(置信度分别为0．95与0．9)．

(2) 两个正态总体数学期望的差和方差的商的区间估计

随机地从A批导线中抽取4根导线，又从B批导线中抽取5根导线，测得电阻（word/media/image61_1.png）为

A批导线：0．142 0．140 0．144 0．136

B批导线：0．138 0．140 0．134 0．138 0．142

设测得的导线电阻值服从正态分布，且两个样本相互独立，试求总体数学期望的差和总体方差的商的置信区间（置信度分别为0．95与0．9）．

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验十二非参数假设检验(word/media/image62_1.png-检验)

1、问题的背景

假设检验在数理统计中占有重要地位，它的推理方法与数学中通常使用的方法在表面上类似，但实际上大不一样．通常的数学推理都是演绎推理，即根据给定的条件，进行逻辑推理，而统计方法则是归纳，从样本中的表现去推断总体的性质．

在解决实际问题中，我们往往假定总体的分布形式是已知的，但许多

时候我们对总体总是了解不多，总体分布是什么，不太清楚，这时我们只根据样本推断总体．

2、实验目的要求

（1）掌握Excel的有关命令．

（2）掌握非参数假设检验(word/media/image62_1.png-检验)

3、实验主要内容

一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障．故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同．工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的．现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：

459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851

试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布．（显著水平分别为0．1和0．05）．

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验十三方差分析

1、问题的背景

方差分析是采用数理统计方法分析各种因素对研究对象某些特征值的影响，进而鉴别各种因素对研究对象的某些特征值影响大小的一种有效方法．简单一点说，方差分析可以用来判断取自总体的两个或者多个样本的均值是否相等．

2、实验目的

（1）理解单因素方差分析的基本思想．

（2）掌握用计算机分析单因素方差分析问题．

（3）掌握检验的步骤．

3、实验主要内容

为了研究咖啡因对人体功能的影响，特选30名体质大致相同的健康的男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平：

word/media/image63_1.png

每个水平下冲泡10杯水，外观无差别，并加以编号，然后让30位大学生每人从中任选一杯服下，2 h后，请每人做手指叩击，统计员记录其每分钟叩击次数，试验结果如下表：

请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验十四一元回归分析

1、问题的背景

回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的最常用的统计分析方法，其主要任务是根据变量观测数据定量地建立所关注的变量和影响它变化的变量之间的数学关系式，检验影响变量的显著程度和比较它们的作用大小，进而用一组变量的变化解释和预测另一个变量的变化．本实验介绍一元线性回归．

2、实验目的要求

（1）理解一元回归分析的基本思想，掌握一元线性回归模型及回归方程

（2）理解最小二乘法的原理，掌握最小二乘法

（3）掌握用计算机求回归方程并进行检验和预测的方法

3、实验主要内容

考虑家庭月收入x (元)及支出y (元)的关系，我们抽取10个家庭，由户主本人提供能反映他在一个时期内月收入及支出的平均状况资料如下：

收入x (元) 200 150 200 250 150 200 250 300 150 120

支出y (元) 180 160 220 250 140 230 210 250 230 140

试对建立月收入和月支出的关系．

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验十五多元回归分析

1、问题的背景

回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的最常用的统计分析方法，其主要任务是根据变量观测数据定量地建立所关注的变量和影响它变化的变量之间的数学关系式，检验影响变量的显著程度和比较它们的作用大小，进而用一组变量的变化解释和预测另一个变量的变化．本实验介绍多元回归．

2、实验目的要求

（1）理解多元回归分析的基本思想，掌握多元线性回归模型及回归方程

（2）掌握用计算机求回归方程并进行检验和预测的方法

3、实验主要内容

某工厂每年所获利润主要取决于A、B两种产品的销售量。根据调查获得该企业1994年——2005年A、B两种产品的销售量及每年所获利润统计资料如下表：

要求：（1）利用调查所得资料求利润word/media/image70_1.png与两种产品A、B的销售量word/media/image71_1.png的回归方程，并说明参数估计量的经济含义。

（2）据预测2006年A产品的销售量为50万吨、B产品的销售量为18万吨，请预测2006年该工厂可获得利润多少百万元？

4、实验仪器设备

计算机和数学软件

实验十六零件参数的设定

1、问题的背景

在现实生活中，有大量问题由于模型中随机因素很多，很难用解析式模型来进行描述求解，这时就需要借助模拟的方法．如零件参数的设定．

零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍．

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差．这时要考虑两个方面因素：

1．当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大．

2．零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高．

2、实验目的要求

（1）了解随机模拟法的基本原理

（2）掌握随机模拟变量产生的基本方法，初步培养随机模拟的建模思想

（3）掌握有关的软件命令

3．实验内容

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法．

粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1， x2， …， x7）决定，经验公式为

word/media/image72_1.png

当各零件组装成成品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏偏离越大，损失越大．y的目标值（记作word/media/image73_1.png）为1．50．当y偏离y0 0．1时，产品为次品，质量损失为1000元；当当y偏离y0 0．3时，产品为废品，质量损失为9000元。