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    材料力学金忠谋第六版答案第06章

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    弯曲应力
    6-1求图示各梁在m－m截面上A点的正应力和危险截面上最大正应力。


    题6-1图
    解：（a）Mmm2.5KNmMmax3.75KNm
    Jx
    d4
    64

    104108
    64
    490.8108m4
    A
    2.51034102
    20.37MPa（压）
    490.8108
    --优质资料

    ---
    max
    3.75103510238.2MPa8
    490.810
    （b）Mmm60KNmMmax67.5KNm
    bh312183108
    Jx5832108m4
    1212601036102
    A61.73MPa（压）
    5832108
    max
    67.51039102104.2MPa8
    583210
    （c）Mmm1KNmMmax1KNm
    Jx25.6108m4Wx7.8106m3
    yA1.520.530.99cm
    11030.99102
    A38.67MPa（压）
    25.6108
    max
    1103
    128.2MPa8
    25.610
    6-2图示为直径D＝6cm的圆轴，其外伸段为空心，内径d＝4cm，求轴内最大正应力。
    --优质资料

    ---
    解：Wx1
    D3
    32
    (14

    63
    32
    4
    1061(4
    6
    17.02106m3Wx2
    D3
    32

    63106
    32
    21.21104m3
    0.9103
    152.88MPa6
    17.02101.172103
    155.26MPa
    21.21106
    max55.26MPa
    6-3T字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已
    4
    知Iz=10170cm，h1=9.65cm，h2=15.35cm。
    解：A截面：
    max1
    40103
    9.6510237.95Mpa（拉）81017010
    --优质资料

    ---
    min1
    40103
    15.3510250.37Mpa（压）8
    1017010
    E截面
    max2min2
    201032
    15.351030.19Mpa（拉）81017010
    20103
    9.6510218.98Mpa（压）8
    1017010
    6-4一根直径为d的钢丝绕于直径为D的圆轴上。
    （1）求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）
    （2）若d＝lmm，材料的屈服极限s=700MPa，弹性模量E=210GPa，求不使钢丝产生残
    余变形的轴径D。解：
    1


    MEJ
    Ed4
    M
    32D
    EJ
    maxD
    M32Md
    E
    WDd3
    Ed
    s
    2101091103
    0.3m30cm6
    70010
    --优质资料

    ---
    6-5矩形悬臂梁如图示．已知l=4m，确定此梁横截面尺寸。解：Mmax
    b2
    ，q=10kN/m，许用应力[σ]=10Mpa。试h3
    121
    ql104280KNm22
    2
    hh22
    6hh33W669
    MM80103h2
    W
    W910106
    h0.416m41.6cmb27.7cm

    6-620a工字钢梁的支承和受力情况如图所示。若[σ]＝160MPa，试求许用载荷P。
    解：W237cm3
    2P3
    Mmax

    2P
    KNm3
    MW
    2
    160106237106
    22
    P（M图）P
    33
    P316023756.880KN

    s＝380MPa，6-7压板的尺寸和载荷情况如图所示。材料为45钢，取安全系数n1.5。
    试校核压板强度。
    --优质资料

    ---

    13020330123
    解：W10(1212
    1568mm2M1810320103360Nm

    MW360156810
    9229.6MPa
    6-8由两个槽钢组成的梁受力如图示。已知材料的许用应力[σ]＝150MPa，试选择槽钢。解：Mmax60KNm
    Wx
    Mmax
    60103
    15010
    6
    0.4103m3400cm3
    查表：（22a，W33
    x217.6cm200cm）

    60KNm

    20KNm
    （M图）
    --优质资料

    ---


    6-9割刀在切割工件时，受到P＝1kN的切销力的作用。割刀尺寸如图所示。试求割刀内最大弯曲应力。

    解：Mp810
    3
    8Nm
    Mp3010330Nm
    2.5132
    W70.42mm3
    6
    4152
    W150mm3
    6
    max
    M8
    114MPaW70.4109
    --优质资料

    ---
    maxM
    W

    30
    200MPa9
    15010
    6-10图示圆木，直径为D，需要从中切取一矩形截面梁。试问（1）如要使所切矩形截面的抗弯强度最高，h、b分别为何值？（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h、b又分别为何值？
    bh2b(D2b2解：W6
    6
    dW
    db
    0
    D23b2
    60b2
    D2
    3

    2
    2
    D2hD22
    33
    D
    从强度讲：b0.57735D
    h0.8165D

    Jbh2
    b(D212
    b2312
    --优质资料

    ---
    dJ
    0db
    3
    (Dbb(D2b22(2b0
    2
    2
    2
    32
    1
    从刚度讲b0.50D
    h0.866D

    6－11T字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的3倍，巳知h=12cm，t=3cm，试确定其翼板宽度b之值。
    压
    y上max＝3
    解：拉
    maxy下
    y上＝3y下y上＋y下＝h12
    12
    y下＝＝3cm
    4
    3
    S(b3(3(934.50
    2
    934.5b27cm
    31.5

    6-12图示简支梁，由No.18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A处梁底面的纵向正应变3.010，试计算梁的最大弯曲正应力σmax。已知钢的弹性模量E=200GPa,
    --优质资料
    4

    ---
    a=1m。

    解：9
    AE200103.010
    4
    60MPa
    maxMmax3/4
    2AMA3/8
    max2A260120MPa34qa238
    qa2
    14
    qa2（M图）
    6-13试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a点和b点的正应力和剪应力。
    解：1－1截面
    Q3.6364KN
    --优质资料

    ---
    M3.6364KNm
    bh37.5153
    J2109.375cm4
    1212M3.63641032
    ay3.5108
    J2109.37510
    6.03MPa
    3.63641037.5102
    b
    2109.375108
    12.93MPa
    QS3.6364103(47.55.5106
    a82
    Jb2109.375107.510
    0.379MPa
    6-14计算在均布载荷q＝10kN／m作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，
    并指出它们发生在何处。
    解：Mmax
    121
    ql101031288
    1.25103Nm
    Qmax
    11
    ql10103122
    5103N
    M1.25103
    max
    W
    5310632
    101.86MPa在跨中点上、下边缘
    --优质资料

    ---
    max
    Q451034A33
    521044
    25.46MPa在梁端，中性轴上

    6-15试计算6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。
    3
    qa2
    1
    解：860MPaqa
    4WW185cm3
    6010618510683
    q29.6KN/mqa
    3124Qmax
    33
    qa29.6122.2KN（Q图）44
    max
    QS22.210322.12MPa23
    Jt15.4106.510

    6-16矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ]=10Mpa。试选择该梁的截面尺寸，设h:b2:1
    19KN141KNm8KN9KN
    --优质资料

    ---
    1KN8KNm21KN
    （Q图）（M图）
    解：RA19KNRB29KN
    1h32
    Wbh
    612
    max
    M141033
    Wh
    12
    h3
    1410312
    0.256m25.6cm6
    1010
    b12.8cm
    max
    Q21103
    1.51.50.961MPa4
    A12.825.610
    6-17试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力[σ]=160MPa，[τ]＝80Mpa。解：W
    M


    2010003
    125cm6
    16010
    取I16，W141cm3
    J:S13.8(cm
    QS15103
    0.181MPa
    Jt13.86103
    故取No16工字钢
    --优质资料

    ---

    Q(x15KNM(x20KNm

    5KN10KNm
    10KN
    （Q图）（M图）
    6-18图示起重机安装在两根工字形钢梁上，试求起重机在移动时的最危险位置及所采用工字型钢的。已知l＝10m，a＝4m，d=2m。起重机的重量W＝50kN，起重机的吊重P=10kN，钢梁材料的许用应力［σ］=160MPa，[τ]=100Mpa。
    解：轻压：10KN，50KN
    R
    1
    50(10x10(8x586x10
    M(xRx(586xx
    dM
    05812x0dx
    x4.833m
    Mmax(5864.8334.833140.17KNm
    W
    Mmax

    140.17103
    160106
    0.876103m3876cm3
    取两个I28aWz508.15cm3
    --优质资料
    W
    438cm32

    ---

    10KN50KN

    d10m
    6-19等腰梯形截面梁，其截面高度为h。用应变仪测得其上边的纵向线应变
    142106，下边的纵向线应变214106。试求此截面形心的位置。


    My1
    E1解：上＝Jb
    下＝
    My2
    E2Jb
    1y42
    ＝132y214
    --优质资料

    ---
    y1y2h
    3y2y2hy2
    13hy1h44
    6-20简支梁承受均布载荷q，截面为矩形bh，材料弹性模量E，试求梁最底层纤维
    的总伸长。
    qlqx2
    x解：M(x22
    (x
    M(x
    bh2E6
    l
    6qllx2ql3
    l(xdx(dx
    0Ebh20222Ebh2
    6-21矩形截面悬臂梁受力如图（a）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分：
    （1）试求中性层截面上剪应力沿x轴向的变化规律，参见图（b）；（2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的？解：（1）x
    （2）由产生的合力为T
    3Q3qx

    2A2bh
    l
    T

    0
    l
    x
    bdx

    0
    3qx3ql2
    bdx2bh4h
    由弯曲产生的轴间力为N
    ql2
    yh/2h/2Mh/2
    max2bdyNbdybdy（自证）000b3J
    h12
    --优质资料

    ---
    jql2
    T4h

    6-22正方形截面边长为a，设水平对角线为中性轴。试求（1）证明切去边长为
    a
    的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大；9
    （2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍？（提示：计算Iz时可按图中虚线分三块来处理）。解：原来正方形：
    Jz0
    a412
    a2

    y0max
    Wz0
    23
    a0.1179a312
    削去x后：
    ax3
    (2x(4
    (axax(ax22Jz22x
    1212222
    --优质资料

    ---
    Wz
    JzJz2
    (ax2(a3xaxymax122
    dW
    09x210axa20dxax
    9
    Wx
    28212823
    (a(aa0.1397a3129981
    max新Wz00.1179＝0.844(倍
    max原Wz0.1397

    6-23悬臂梁AB受均布载荷q及集中力P作用如图示。横截面为正方形aa，中性轴即
    正方形的对角线。试计算最大剪应力τmax值及其所在位置。解：Q(Pql
    a4QS
    Jz
    Jzb12b2(
    2
    ay2
    2212S(ay(ayy(ay2232

    Pql222
    (ay(ay263a4
    212

    6(Pql12222
    (aayy4
    663a
    2d
    a0y8dy
    --优质资料

    ---
    QS(Pql22
    max4(aa
    Jzb28a22
    2(aa1228
    222229(Pql(aa(aa
    286388a2

    6-24试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出弯曲中心的大致位置。
    解：


    --优质资料

    ---
    6-25确定开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。设环的平均半径R0，壁厚t，设壁厚t与半径R0相比很小。
    解：dS
    R0dtR0sin

    2
    2
    0
    StR0sindtR0(1cos
    Jz2tR0d(R0sin2tR0
    0

    3
    e
    2tR0(1cosR0R0d
    0

    2
    tR0
    3
    2R0
    6-26试导出图示不对称工字形截面的弯曲中心位置（当在垂直于对称轴的平面内弯曲时）。假设厚度t与其他尺寸相比很小。
    (2b2h2t
    解：e
    4Jz
    1
    e
    11
    b2h2t

    4Jz
    h2th3
    Jz2(3bt
    412
    eee
    111
    3b2h2t3b2h2t9b2
    32
    4Jzthhh18b
    4122(3bt4
    6-27在均布载荷作用下的等强度悬臂梁，其横截面为矩形，并宽度b=常量，试求截
    面高度沿梁轴线的变化规律
    1ql2
    M3ql22解：l22Wbh0bh0
    6
    --优质资料

    ---
    12qx
    M(x23ql2
    xl22
    W(xbhbhx0
    6
    3qx23ql2
    x22
    bhxbh0
    2
    x2hx
    22lh0


    2
    hx
    h0x2h0x

    ll2
    6-28图示变截面梁，自由端受铅垂载荷P作用，梁的尺寸l、b、h均为已知。试计算梁
    内的最大弯曲正应力。解：M(xPx
    ll
    h(xh(x/
    22
    llh(x/22W(xb
    6
    M(x
    (x
    W(x
    6l2Px

    2l2
    4bh(x
    2
    2
    d(x11
    0xlMPldx22
    lll
    h(/
    222
    Wb
    6
    2
    2bh2

    3
    max
    1Pl
    3Pl222
    2bh4bh3
    6-29当载荷P直接作用在跨长为l＝6m的简支梁AB的中点时，梁内最大正应力超过容许值30％。为了消除此过载现象，配置如图所示的辅助梁CD，试求此梁的最小跨长a。
    --优质资料

    ---
    解：
    PlP0.70x42x0.35l
    al2xl0.7l0.3l1.8m


    6-30图示外伸梁由25a号工字钢制成，跨长l=6rn，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。当支座截面A、B处及跨度中央截面C的最大正应力σ均为140MPa时，试问外伸部分的长度及载荷集度q等于多少？
    3qa2
    解：RAqlqa
    82l
    MA
    MC
    12
    qa2
    3qlqa2llaqll(qaqa((
    82l22224
    ql2qa2
    164
    MAMCl12a
    a
    查表：
    l12
    0.2887l1.7322m
    1
    qa2140106401.8831062
    2140401.883q37.503KN/m2
    1.7322

    --优质资料

    ---

    MC

    MAMB
    (M图
    6-31图示悬臂梁跨长L=40cm，集中力P＝250N，作用在弯曲中心上，梁的截面为等肢角形，尺寸如图，试绘剪应力流分布图，并计算了max和max之值。
    404384
    39571.999mm4解：Jz1212MmaxPl2500.4100NmQmax250N
    100
    max
    2
    40103271.46MPa12
    3957210250402
    2
    2010923.57MPa12
    39572102103
    max

    QS
    Jt
    --优质资料

    ---

    6-32圆锥形变截面悬臂梁其两端直径之比db:da＝3:1，在自由端承受集中力P作用，试求梁内的最大弯曲正应力，并将此应力与支承处的最大应力比较。
    解：M(xPx
    l
    da(x
    2W(xl32
    l
    3
    (x
    M(xW(x
    dl
    0xmdx4
    --优质资料

    ---
    P
    max
    27
    da3
    832
    l4

    64Pl

    27da3
    b
    Pl32Pl

    (3da327da3
    32
    max
    2
    b

    6-33工字形截面的简支钢梁，跨度l＝4m，跨度中央受集中载荷P作用。如材料屈服点s=240MPa，安全系数n=1.6，试按极限载荷法计算此梁的许可载荷。
    解：20050(y1502510050(300y15025
    y150mm
    S1200502525105m3
    S21005022525200100162.5105m3Mmax240106(25105162.5105450KNm
    Pjx
    4Mmax4450
    450KNl4
    Pjx1.6
    281.25KN
    P


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    ---

    6-34矩形截面简支梁，在跨度中央承受集中力P。论确定塑性区域的长度和塑性区城边界方程式afx。
    解：Wz
    12bh6
    Wjx
    故
    12bh4
    MjxMs
    1.5Mjx1Pl
    4
    Ms
    P1
    (le22
    1Pl41.5P1
    (le22
    1
    故el
    6PlPMax
    42
    s
    MjxWs

    Pl2
    bh
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    ---
    MaydA2b
    A
    a20
    h
    2s2
    ydy2bsa2ydya2
    ba2bh2ba2
    s(644

    将s及Ma代入上方程：
    122h23axlah
    6x
    l
    --优质资料

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