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ＮＯ　６　２０１３　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　２０１３年笫６期　魏拳蚴　马拳蚴　一钊（安徽省太和县桑营镇中心学校）　的概念，即　　正方形．　摘要：数学概念教学的目的是奠定学生未来可持续发展的　基础．在数学概念教学中，单纯数学知识与技能的学习是学生继　续专业化学习与发展的需要；培养学生的数学思想方法，发展　学生的辩证思维能力，获得必要的数学活动经验，引领学生更　矩形看二　正方形或菱形　二　数学方法和数学概念密不可分，学习数学概念就必须探究、　新学习观等，这些都是数学概念教学的内涵所赋予的重要价值，　应用数学方法．初中数学的概念内涵丰富，所涉及的数学方法也　也是学生未来全面发展所必需的基本素养．　关键词：概念教学；思想方法；辩证思维；数学技能　很多，主要有旋转法、平移法、对称法、构造法、分割法、配　方法、特殊化法、一般化法、类比法、归纳法、总结法、换元　法、列表法、坐标法等．数学方法具有操作性、局部性、具体　《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》（以下简称《标准》）　性、程序性、技巧性等特点．学习数学概念时，不仅要理解数学　在总体目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生　概念的内容，还要知道形成这些数学概念时采用了什么数学方　能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知　法；不仅会用这些数学方法解决问题，还要能够灵活迁移，举　反三．要理解这些数学方法的原理，关注这些方法的用法与功　识、基本技能、基本思想、基本活动经验．”显然，在数学概　一念教学中，仅注重基础知识的教学已经不能适应学生发展的　能，重视对这些数学方法的灵活运用，把它当作探究数学的一　需求，还要深挖数学概念的内涵，注重其余的“三基”教学．　种工具，必要的时候能自觉地运用．教学中，教师可以直接说出　下面笔者从这个角度出发，浅谈在数学概念教学中，对培养　这些数学方法的名称，以便学生加深印象，不断引导学生总结　学生数学思想方法与辩证思维能力，引领学生更新学习观的　与提炼，逐步强化认识，使这些方法成为学生探究数学奥妙的　“金钥匙”．同时，对数学方法的掌握，也为学生形成相应的数学　些认识．　一一、培养数学思想方法　思想准备了必要的感性素材．　２．培养数学思想　初中数学概念的学习，涉及了多种数学思想，为培养学生　数学概念是它所在知识系统的核心内容，数学概念的概括　与获得蕴含着丰富的数学思想方法，等待学习者去感悟和领会．　数学概念是表层知识，而数学思想方法是深层知识，是数学的　的数学思想提供了丰富的素材．例如，引入有理数概念以后，就　灵魂与精髓，因此，利用数学概念教学，培养学生数学思想方　渗入了分类讨论的思想，并在以后的各节内容中不断加强这种　法是可行而又必要的．　思想．在学习有理数时，教师可以从提问整数、分数、正整数、　１．培养数学方法　０、负整数、正分数、负分数的从属关系出发，以有理数的定义　　数学是用数学思想做理念，基本知识做素材，数学方法做　为标准进行分类：技术建立的一座美丽的科学宫殿．显然，数学概念的形成，离不　开数学方法的帮助．如在学习解一元二次方程时，要探究“配方　法”；学习解二元一次方程组时，要探究“代人消元法”和“加　减消元法”；推导多边形内角和公式时，使用了“分割法”与　“类比法”；学习正方形概念时，用“特殊化法”得到了正方形　收稿日期：２０１２－１０—１８　整数｛【０：　有理数　黼　ｆ正整数，如１，２，３，…；　．　负整数，如一１，一２，一３，・・　分数１正分数，负分数，如｝，如　｝，０－３，‘　…，　．　作者简介：马钊（１９６２一），男，安徽太和人，中学高级教师，太和县首届数学学科带头人，主要从事初中数学教学研究　７　
通过这种分类，学生对整数、分数、正整数、０、负整数、　念时，教师要引导学生发挥想象力、抽象与概括的能力，积极　正分数、负分数这些概念之间的从属关系会豁然开朗，再ＪＪ口ｌ　思维，抓住黑板的两个对边、两条笔直的铁轨和门框的两边这　每个概念后面所列举的例子，学生就能深刻理解概念的　义．分　类实物的本质属性，最终得到平行线这个数学概念．像线段、　类讨论的数学思想方法能使问题条理化、清晰化，化繁为简．要　角、三角形、圆、圆锥等概念，都可以用这种方法学习．坚持使　｝　学生认识到具体的分类要遵循标准统一、子项互斥、个体不　用这种方法学习数学概念，在学生的思维世界里，不断进行观　重不漏的原则．　察、发现、抽象、概括等思维活动，必定能够有效地激发学生　初中数学在引进数轴以后，就为数形结合思想奠定＿，基础，　抽象与概括的思维能力．　并在以后的教学巾不断加强应用．例如，学习无理数时，学生对　抽象概念　“无理数也可以用数轴上的点表示”这句话表示疑惑，ＪＨ数彤结　合的方法就能证明它是正确的．如图Ｉ，用直径为Ｊ个　俺长度　的网从原点沿数轴向右滚动一周，　Ｌ的点０到达点０　，线段　Ｏ０　的长就是这个网的周长耵，所以点０　的坐标为竹．这样，无　珲数竹就用数轴　的点表示　来ｒ．这个例子足用数彤结合的　方法，在抽象的“数”与直观的“形”之问建立了互相表达的　关系．显然，该例子能够让学生体验到数形结合思想方法在学习　数学时具有化抽象为直观，简洁易懂的作用，必定能够激起学　生对数形结合思想方法的认同．　１　数学思想有分类思想、数形结合思想、字母代数思想、方　程思想、函数思想、建模思想、转化思想等，它们都属于观念　的、普遍的、一般的、内在的、概括的范畴．数学思想的教学不　能空洞地进行，要以具体的数学概念为载体，以大量同类的数　学方法去体现．　总之，数学思想方法的掌握，是一个持之以恒、循序渐　进的过程，在这个过程中，数学思想方法融入到学生的认知　结构之中．只要教师在概念教学巾多加关注，合理引导，让　学生主动感悟、应用、反思与提炼，学生就能尽快地掌握数　学思想方法．　二、培养辩证思维能力　数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质　属性的思维形式．概念的获得需要多种思维活动的优化组合，　这必然能够丰富学生的思维方法．运用概念教学可以培养学　生的抽象与概括能力、逆向思维能力、发散思维能力、类比　思维能力．　１．培养抽象与概括的能力　当学习某个新知识时，南于学生对这个知识系统的内容＿ｒ　解甚少，往往要从大量的具体实例出发，利用他们在实际经验　巾的一些生动事例或熟知事物的特征，以归纳的方式概括ｆＩ｛一　类事物的本质属性，最终形成一个新概念．学习这些概念的一般　程序是：观察实物一发现共性一抽象概念．如学习平行线这个慨　８　２．培养逆向思维的能力　逆向思维是数学思维的一种晕要方式，但是学生往往受优　势原！Ｊ！ＩＪ的影响，习惯于　向思维，而忽视逆向思维．教学中，教　师要积极关注概念的可逆性，培养逆向思维，增强学生思维的　活性．　例如，平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形　叫做平行四边形．　条件：两组对边分别平行的四边形．　结论：平行四边形．　这是一个具有可逆性的概念，即　定义　两组对边分别平行（的四边形）———三＝一　平行四边形．　性质　像这种具有可逆性的概念还有很多，如矩形的定义、全等　三角形的定义、积的乘方、分配律、平行线的性质等．教师要根　据这些概念的可逆性特点，加强应用训练，让学生充分体验其　意义和价值，培养学生逆向思维的意识，帮助学生养成＿舣向思　维的习惯，提高学生探究数学问题的能力．　３．培养发散思维的能力　通常一个新的数学概念的获得有两种方式：一是从生活实　际中抽象概括；二是用原有知识建构．这样所得的慨念与生活实　际、原有知识及概念自身的知识系统都存在着必然的联系．在学　习数学概念时，思维如能以这个概念为核心，向着与其有关的　知识发散，并迅速整合提炼，就会很快地找到解决问题的方法，　同时还可以培养学生发散思维的能力．如对菱形概念进行发散思　维，可以这样进行：　呦形　嘴）　菱形　正方形　／　生成　、、　对角线（互相垂直平分且……）　可以运用发散思维学习的概念有很多，如多项式、函数、　一元　二次方程、矩形、三角形等．对一个概念进行发散思维学　习，可以多角度、全方位进行，涉及到定义、性质、判定及罔　
形特征等，这种学习方法有利于培养学生思维的广阔性和灵活　性，学生学习时能从一个知识点迅速发散到一个知识面，然后　在这个知识面内提炼、优化、组合，促使学生养成用全面、联　（１）特例启发：求下列方程的根　Ｑ）　。＋３　一４：０；（　２ｘ　＋５ｘ一３＝０；（　＋５　＋６＝０．　・　：的　学法指导：让学生先解方程，再分别求出　．＋　值，并比较这两个数值与对应方程系数的关系．　（２）类比猜想：根据上面　。＋　系、发展的观点分析问题的习惯，从而提高学习的效率．　４．培养类比思维的能力　・　：的值与对应方程系　　类比是根据新旧两个知识点之间存在的并列、相同或类似　数的关系，进行猜想，在下面的横线处填入适当的值．的关系，仿照学习旧知识的过程和方法，去学习新知识的一种　猜想：设　Ｉ，　２是一元二次方程　＋ｂｘ＋ｃ＝０（口≠０）的　．　——　Ｉ＋　２＝——，　ｌ・　２＝思维方法．数学教学中，恰当地运用类比思维学习新概念，不仅　两个根，贝Ｉ能够帮助学生很快地理解新概念，还能使原有概念得到巩固，　增强知识间的联系．　分式（新知识）与分数（旧知识）的某些概念极为类似，　可以用类比的方法学习，如学习异分母分式的加减法时，可以　对比异分母分数的加减法设计类比学习过程：　异分母　加减　—————————…同分母　…‘—　加减；　通分　异分母　加减　——通分　———＋…一　同躺…　加减．　对比关系图进行类比思维，可以很清楚地看到，异分母分　式加减法与异分母分数加减法的运算过程和方法完全相同，这　样就大大提高了学习异分母分式加减法的效率．　可以用类比思维学习的数学概念有很多，教师要指导学生　抓住类比点（异、同点），经常进行类比思维，在学习新概念的　同时，使学生养成类比思维的习惯，扩展思路，使数学学习变　得轻松而高效．正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路　时，类比这种方法往往能指引我们前进．”运用类比思维，不仅　能用旧知识解决新问题，提高解题能力，而且有利于培养创造　性思维．不过从“缺乏可靠论证”不难看出，类比思维有时仅是　一种大胆的猜测，不是百分之百的可靠，它仅仅是得到某种可　能的结论或方法，其正确性还需要进行推理论证．　三、引领学生更新学习观　概念是数学的核心内容，　此概念教学对于落实《标准》　新理念，引领学生更新学习观，有不可替代的作用．以概念教学　引领学生更新学习观，主要体现在以下３个方面．　１．注重学习的过程　迫于升学的压力，不少人以为记住概念、公式和定理，再　进行大量的解题练习，就可以提高成绩了，这是对数学精神的　片面认识．如果学习数学不考虑知识产生的原因、过程及应用，　最终对数学只能是一知半解，数学成绩也不会太好．正确的学法　是“让学生通过这个过程，理解一个数学问题是怎样提出来的、　一个数学概念是怎样形成的、一个数学结论是怎样获得和应用　的，通过这个过程学习和应用数学”．　例如，在学习一元二次方程根与系数关系时，可以按下面　的过程进行学习，让学生经历知识发生、发展和运用的过程．　（３）推理证明：引导学生合作交流，完成下面的学习内容．　①先让学生写出求根公式：　＋－　）ｅｌ２：－ｂＶ＇ｂ２－４ｏｚ＂（６　一一，４　≥０）．　二０　②再计算出　＋孙　・　的值（过程略），　歧ｐ　ｌ＋　２＝一　，　ｌ・　２＝！一．　Ⅱ　ｒ上　③根据上面证明的结果判断猜想是正确的，即：一元二次　方程的两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，　两根的积等于常数项与二次项系数的比．　（４）应用巩同：设置相关习题，进行专项练习（内容略）．　学生通过“特例启发一类比猜想一推理证明一应用巩固”　四个环节的学习，亲身经历了探究一元二次方程根与系数关　系的过程，清楚了根与系数关系的来源，不仅对知识理解得　透彻，掌握得牢固，对学生更新学习观也是一个极好的启发　和培养．　２．注重数学活动经验的积累　教学中发现，不少人把数学学习等同于解题，认为只要多　解数学题。就能学好数学了，不必参加其他数学活动，这是对　数学学法的误解．　准》总体目标的“四基”中明确要求了　“基本活动经验”，显然，数学活动经验是数学知识的一个组成　部分，也是学习数学的一个目标，但是“数学活动经验的获得　不应当简单地经历‘被告知一记忆一熟练’的过程，那样的过　程只是将数学活动经验作为机械的条文，一种机械记忆的对象，　一种狭隘的技能，并且会迅速遗忘；数学活动经验的获得应当　是个体在经历认识事物、分析问题、解决问题的过程中，逐渐　提炼而成的．”因此，在概念的教学中，要引导学生亲身参与形　式多样的数学活动，以求获得丰富的数学活动经验，为以后解　决数学问题奠定必要的基础．　数学活动的场所可以在课堂、实验室、工厂、田间或家中　等；内容可以是课本中的教学内容、课题学习内容或自选内容　等；形式可以是直接活动、间接活动、设计的活动和思考的活　动等．如在学习相似三角形的性质时，为了加深对这个知识的理　解，设计一个测量学校旗杆高度的数学活动．以利用相似三角　形性质，帮助学生获得“测量不能直接测量的物体高度”的数　学活动经验．　９　
问题：给你一把尺子，请你在阳光下与同学一起测量学校　旗杆的高度．　学生分组活动，过程如下：　（１）利用影子．　３．注重数学技能的学习　数学技能是指完成数学任务的心智或动作的活动方式，是　．种接近自动化的心智或动作系统．通过有目的、有计划的练习　才能形成．从　总体目标的“四基”中可以看出，新理念　如图２（１），量得线段ＣＢ、ＤＦ、ＥＦ的长．　对基础知识与基本技能的要求是并重的，但是，由于二者形式　的差异及评价手段的制约，造成了重知识轻技能的教学现实，　显然新课程的教学观应该既注重知识，又注重技能．能够通过概　ＡＢｆ？ＥＦ．ＡＣｆｆＥＤ．　所以　ＡＢＣ＝／＿ＥＦＤ，　ＡＣＢ＝／＿ＥＤＦ．　所以△　ＢＣ一△ＥＦＤ，　念教学培养的数学技能主要有以下４种．　所以　：器，　Ｐ￣Ｉ）２　ＡＢ＝　．　（２）利用镜子．　如图２（２），量得线段ＤＢ、ＦＤ、Ｅ，的长．　因为　ＥＤＭ：／＿ＡＤＭ（反射角等于入射角），　所以Ａ＿ＥＤＦ：／ＡＤＢ．　又因为　ＡＢＤ＝Ａ．ＥＦＤ，　所以△Ａ曰Ｄ一△ＥＦＤ，　所以　ＡＢ＝　．　于是得Ａ曰＝　．　Ａ　Ａ　（２）　（３）　图２　（３）利用升旗的绳子．　如图２（３），先在系红旗的绳子顶处作上记号Ａ，使记号Ａ　随红旗上升到旗杆顶，把绳子拉紧到旗杆底，在底处绳子上作　记号曰，再降下红旗，然后再测量记号Ａ、曰之间的绳子长，就　可得到旗杆的高度．　在这三种测量方法中，分别借助了影子、镜子、光线的传　播规律及绳子，对于学生来说，是一个创新，也是智慧和经验　的体现．情况（１）、（２）中，先构造出了数学测量模型图，根据测　得的数据，再根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，从　而求出旗杆的高，让学生亲身经历了“问题情境一建立模型一　解释与运用”的学习过程；情况（３）没有运用相似三角形的性质，　而是直接测量系红旗的绳子长度，看起来不太合乎要求，但是　从培养学生解决问题的能力来看，有出奇制胜的效果，特殊情　况下也未尝不可．在合作交流的学习方式下，学生对这三种测量　方法有机会比较、交流，必定能够积累测量物体高度和数学建　模方面的数学活动经验．　１　０　（１）画图技能．　画图是学习数学必须具备的重要技能．快速而准确地ｉ画图，　是发挥数形结合思想方法的基础，有利于高效探究数学问题．　首先，画图是运用学具的固有功能．直尺、ｉ角板、圆规、　量角器等是初中生学习数学时的常用学具，它们有很多功能，　综合使用它们可以解决很多画图问题．例如，学习垂线、平行线　时，不仅要学生理解概念的含义，还要指导学生正确使用直尺、　三角板的方法；学习角的概念时，要教学生用三角板　１５。、　７５。、１０５。的角；等等．　其次，是用尺规作图的方法画图．要让学生理解尺规作罔　是一种准确的画图方法，尺规作图必须遵守以下３点常识：　①尺子的功能只能用来画线（直线、线段、射线、延长线　段、连接等）；　②圆规只用来确定长度（截取或画弧）．注意不能用尺子的　刻度量取长度；　③完整的尺规作图过程有四步：已知、求作、作法、证明．　概念教学时，涉及简单的作图问题，教师应该积极引导学　生用尺规作图的方法亲自作图，真正经历作图过程．如角的平分　线、线段垂直平分线、菱形、平行四边形、等边二三角形、等腰　三角形等都可以用尺规作图的方法作图；复杂的作图可以综合　使用多个基本作图完成，如作三角形的内切　、圆内接正三角　形等．　（２）操作技能．　数学操作技能是指为实现数学任务而进行的外显的动作技　能，具有程序性特征．认知心理学认为，学习数学操作技能，在　认知层面上，它的学习过程分为四个阶段：动作定向一动作分　解一动作整合一动作自动化．学习概念时，所涉及的操作形式也　是多样的，主要有折叠、剪切、拼图、平移、旋转、制作等，　每一种操作形式都有自己的要领和规律．例如，折叠要讲究折叠　的次数和形成的层数；剪切要讲究剪切的位置和方向；拼图要　讲究简洁和严谨；平移要讲究方向和距离；旋转要讲究旋转中　心、角度和方向；制作要讲究选材和原理；等等．　同一个数学操作活动往往要用到多种操作方法，要根据　实际的需要来确定．例如，在学习等腰三角形时，让学生把　一张长方形纸片进行“对折一剪切一展开一总结”（如图３），　
学生很容易发现剪刀剪过的两条边ＡＢ与ＡＣ相等，剪出的　经历“理解含义—选取符号或字母一确定运算一符号表达”四　曰与　Ｃ相等，这样学生对△　ＢＣ的“等腰”特征，以及　个环节．例如，在表１中，概念的符号化都经历了这四个环节．　等腰三角形的性质“等边对等角”、“三线合一”、对称性等　就深信不疑了．显然，这个操作活动用到了对折、剪切、展　表１　开三种操作方法．　（２）　（３）　图３　事实上，适合采取操作活动学习的数学概念是丰富的，教　师应该引导学生积极发掘与体验．在概念教学时，坚持培养数学　操作技能，能够激发学生学习数学的兴趣，培养学生动手实践、　自主探索数学问题的能力，从而丰富数学活动经验，并且通过　操作活动，使脑、手、眼协同作用，这将使学生对概念理解得　更深刻，所获得的知识记忆牢同，甚至终生不忘．　（３）运算技能．　运算技能是指会根据概念、法则、公式等正确地进行运算，　并会恰当选择运算方法进行简便运算．认知心理学认为，运算技　能属于心智活动技能，在认知层面上，它的学习过程分为四个　阶段：认知—示范模仿一有意识的言语一无意识的内部言语　（自动化）．心智技能具有内隐性，也是数学中最基本的技能，概　念教学时，培养学生的运算技能主要是建立在基础知识之上的　基本运算和简便算法．　掌握运算的基本技能，能够提高运算的速度和正确性．例　如，学习有理数加减法时，可以培养学生简便运算的技能：凑　整相加、凑０相加、同号相加、同分母相加、拆项后再相加等．　又如，在比较有理数的大小时，可以引导学生探讨差值法：如　果ｎ—ｂ＞０，那么ｎ＞ｂ；如果ａ一６＜０，那么ａ＜ｂ．再如，化　简求值时，要考虑整体代换、整体约分等方法．尽量多地掌握　这类简便的运算方法，必定能提高数学运算技能，从而实现高　效运算．　（４）符号化技能．　符号化技能就是用数学符号语言表达数学中的数、数量关　系和变化规律的能力。也是一种心智技能．用符号表示数学概念　是数学的一个特点，从数学发展的历史看，正是出现了符号化　以后，数学才有了较快的发展．显然，把数、数量关系和变化规　律符号化有利于开展数学探究．　从学习过程上看，把数学概念、法则或公式符号化，都要　理解含义　确定符号（或字母）　确定运算　符号化　绝对值　ｌ　ｆ、　非负　Ｉ。Ｉ　相反数　ａ、ｂ　加法　ｎ＋ｂ＝０　二次根式　一、。　开平方　、／ａ（Ⅱ≥０）　互为倒数　ａ、ｂ　乘法　ａ・ｂ：ｌ　有理数的　除法法则　ａ、ｂ　除法、乘法　ｎ÷６：ｎ×　ｂ　（６ＳＯ）　两尉相交　圆心距ｄ、　不等式　半径Ｒ一ｒ＜　＜　＋　、　Ｙ：ｋｘ＋ｂ　、ｂ是常　一次函数　Ｘ、Ｙ、　、ｂ　一次函数式　数．　≠０）　同时，还有∥、上、　、　、≥、≤等数学符号，学生只　有清楚地理鳃它们的意义、用法等，才能在以后的运算或逻辑　推理论证中灵活运用．培养学生的符号化数学技能，必须先培养　学生的符号感、字母代数思想及抽象思维能力．　数学概念是培养数学技能的沃土，对数学概念的深刻理解　可以促进学生以此为生长点探索数学技能，而且凭借数学技能　的操作可以加深对数学概念的认识，为更高层次的数学技能的　生长提供可能．数学概念的学习与数学技能的培养具有辩证统　一、相辅相成的关系．在学习数学概念时，加强数学技能的培　养，能够实现知识、技能的双丰收．　数学是全人类智慧的结晶，它的内涵博大精深，数学对学　生的发展起着十分重要的作用，在概念教学时，应该坚持开展　素质教育，充分挖掘其中的科学价值和文化价值，把学生培养　成为有知识、有能力，有发展潜力的新一代公民．　参考文献：　［１］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准　（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．　［２］刘兼，孙晓天．《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》　解读［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００２．　［３］马复．关于促进学生数学活动经验的教学认识［Ｊ］．中国　数学教育（初中版），２０１ｌ（１０）：４．　ｆ４］课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心．义务　教育教科书・数学（七一九年级）［Ｍ］．北京：人民教育　出版社．２０１２．　１　１　

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