2018年河南省洛阳市中考数学二模试卷

D

16．（8分）化简：（），并从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值．

17．（9分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分的学生成绩进行统计，绘制统计图如图（不完整）．

请你根据上面的信息，解答下列问题．

（1）若A组的频数比B组小24，求频数直方图中的a，b的值；

（2）在扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n°，求n的值并补全频数直方图；

（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2 000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？

18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD、BD、ED．

（1）求证：BD=ED；

（2）若CE=3，CD=4，求AB的长．

19．（9分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．

20．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；

（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；

（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

21．（10分）某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．

（1）该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？

（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？

22．（10分）如图1，菱形ABCD是边长为2，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点O．

（1）操作发现：小芳同学将△CBD绕点O旋转得△CEF，当CF落在AD上时（如图2），连接ED，请直接写出ED与AC的位置关系和数量关系；

（2）问题解决：小芳同学继续旋转△CEF（A，C不重合），如图3，连接ED、AC，她认为（1）中的结论仍然成立．你同意吗？说明理由．

（3）深入思考：若直线ED与直线AC的交点为H，请直接写出BH的最大值．

23．（11分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y=﹣x+3．

（1）求该二次函数的关系式；

（2）Q是直线BC下方抛物线上一动点，△QBC的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时Q的坐标；

（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2018年河南省洛阳市中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）

1．

【分析】一个负数的绝对值是它的相反数，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．

【解答】解：∵|﹣|=，

∴的相反数是﹣．

故选：B．

【点评】本题考查了相反数的意义，求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

同时考查了绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数．

2．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000000665=6.65×10﹣7；

故选：B．

【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上往下看，易得一个长方形，且其正中有一条纵向实线，

故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

4．

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：A、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；

B、a2•a3=a5，故此选项错误；

C、（﹣）﹣1﹣22=﹣2﹣4=﹣6，故此选项错误；

D、（cos30°﹣）0=1，正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、负指数幂的性质、零指数幂的性质等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5．

【分析】根据平均数、众数、方差、中位数的定义即可求解．

【解答】解：将这组数据重新排列为130、131、131、131、133、133、135，

A、这组数据的众数是131，此选项错误；

B、这组数据的中位数为131、此选项正确；

C、这组数据的平均数为=132，此选项错误；

D、这组数据的方差为×[（130﹣132）2+（131﹣132）2×3+（133﹣132）2×2+（135﹣132）2]=，此选项错误；

故选：B．

【点评】本题为统计题，考查平均数、众数、极差、中位数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；极差是一组数据中最大数据与最小数据的差；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．

6．

【分析】根据二次根号下非负结合根的判别式△=k+7＞0，即可得出结论．

【解答】解：∵方程x2+x﹣2=0有两个不相等的实数根，

∴△=﹣4×1×（﹣2）=k+7＞0，k﹣1≥0，

解得：k≥1．

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式以及二次根号下非负，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

7．

【分析】根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAM=∠DCN，证△ABM≌△CDN，推出AM=CN，BE=DN，求出AN=CM，得出四边形AMCN是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，

∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，

∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，

∴∠BAM=∠DCN，

在△ABM和△CDN中

，

∴△ABM≌△CDN（ASA），

∴AM=CN，BM=DN，

∵AD=BC，

∴AN=CM，

∴四边形AMCN是平行四边形，

A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，

∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；

B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，

∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；

C、∵四边形AMCN是平行四边形，

∴AN∥BC，

∴∠MNA=∠CMN，

∵MN是∠AMC的平分线，

∴∠NMA=∠NMC，

∴∠MNA=∠MAC，

∴∠MAC=∠NMA，

∴AM=AN，

∵四边形AMCN是平行四边形，

∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；

D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题的关键．

8．

【分析】先列表展示所有可能的结果数为12，再找出两次摸小球上数字之积为6的结果数，然后根据概率的概念计算即可．

【解答】解：列表如下：

所有等可能的情况有12种，其中两次摸出的球所标数字之积为6的有4种结果，

所以两次摸出的球所标数字之积为6的概率为=，

故选：D．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9．

【分析】利用网格特点和旋转的性质画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形，然后写出旋转后点C的坐标．

【解答】解：如图，△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，旋转后点C的坐标为（2，1）．

【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

10．

【分析】连接AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出AD，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可．

【解答】解：连接AD，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴AC==4，

∵BC是⊙A的切线，

∴AD⊥BC，

△ABC的面积=×AB×AC=×BC×AD，

解得，AD=，

∴阴影部分的面积=×AB×AC﹣=6﹣π，

故选：C．

【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．

【分析】直接利用算术平方根的定义以及有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：原式=3+8

=11．

故答案为：11．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

12．

【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【解答】解：，

由①式得x＞﹣2；

由②式得x≤3，

所以不等式组的解为﹣2＜x≤3，

故答案为﹣2＜x≤3．

【点评】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

13．

【分析】如图，连接OC，AC交x轴于K．首先证明OA=OB，S△AOK=S△OCK=•|﹣4|=2，推出S△ABC=2S△AOC即可解决问题；

【解答】解：如图，连接OC，AC交x轴于K．

∵A、B关于原点对称，

∴OA=OB，

∵OK∥BC，AO=OB，

∴AK=CK，

∴S△AOK=S△OCK=•|﹣4|=2，

∴S△ABC=2S△AOC=8．

故答案为8．

【点评】主要考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

14．

【分析】根据题意和函数图象可以求得甲的速度和全程的长，然后根据函数图象可以求得乙在1.5h时行驶的路程，从而可以求得乙全程用的时间，从而可以解答本题．

【解答】解：由图象可得，

甲的速度为：10÷1=10km/h，

这次越野赛的全程长是：2×10=20km，

设当0.5≤x≤1.5时，y与x的函数解析式为y=kx+b，

，得，

∴当0.5≤x≤1.5时，y与x的函数解析式为y=4x+6，

当x=1.5时，y=12，

∴乙跑完全程用的时间为：1.5+（20﹣12）÷10=2.3h，

∴乙比甲晚到：2.3﹣2=0.3h，

故答案为：0.3．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

15．

【分析】先依据勾股定理求得BC的长，有∠MB′C=90°和∠B′MC=90°种情况，然后再利用锐角三角函数的定义求解即可．

【解答】解：由翻折的性质可知：BM=B′M．

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，

∴依据勾股定理可得到：BC=5．

设BM=B′M=x，则MC=5﹣x．

当∠B′MC=90°时，=，即=，解得：x=．

当∠MB′C=90°时，=，即=，解得：x=．

综上所述，MN的长为或．

故答案为：或．

【点评】本题主要考查的是翻折变换，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定义列出关于x的方程是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16．

【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的条件的x的值代入计算可得．

【解答】解：原式=[﹣]•

=•

=，

当x=2时，原式=．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．

17．

【分析】（1）根据若A组的频数比B组小24，且已知两个组的百分比，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a、b的值；

（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；

（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．

【解答】解：（1）学生总数是24÷（20%﹣8%）=200（人），

则a=200×8%=16，b=200×20%=40；

（2）n=360×=126°．

C组的人数是：200×25%=50．

；

（3）样本D、E两组的百分数的和为1﹣25%﹣20%﹣8%=47%，

∴2000×47%=940（名）

答估计成绩优秀的学生有940名．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

18．

【分析】（1）连接OD、OE，由切线的性质可知OD⊥CD，从而可证明AC∥OD，接下来由平行线的性质、等腰三角形的性质可证明∠EOD=∠DOB；

（2）在△CED中依据勾股定理可求得ED的长，从而得到BD的长，接下来证明△ECD∽△BDA，依据相似三角形的性质可求得AB的长．

【解答】解：（1）证明：连接OD、OE．

∵CD切⊙O于点D，

∴OD⊥CD．

∵AC⊥CD，

∴OD∥AC．

∴∠EAO=∠DOB，∠AEO=∠EOD．

又∵∠EAO=∠AEO，

∴∠EOD=∠DOB．

∴BD=ED．

（2）∵AC⊥CD，

∴∠ACD=90°

又∵CE=3，CD=4，

∴ED=5．

∵BD=ED，

∴BD=5．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°

∴∠ACD=∠ADB．

∵四边形ABDE内接于⊙O，

∠CED=∠B，

∴△CDE∽△DAB．

∴．

∴．

∴AB=．

【点评】本题主要考查的是切线的性质、相似三角形的性质和判定、平行线的性质，证得OD∥AC、△CDE∽△DAB是解题的关键．

19．

【分析】由题意知∠CAB=75°、∠CAP=45°、∠PBD=60°，从而得∠PAH=30°、∠PBH=∠ABD﹣∠PBD=45°，分别求出AH==50、PH=BH=50，据此求得AB=50+50，用路程除以速度可得答案．

【解答】解：如图，由题意知∠CAB=75°、∠CAP=45°、∠PBD=60°，

∴∠PAH=∠CAB﹣∠CAP=30°，

∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，

∴AH===50，

∵AC∥BD，

∴∠ABD=180°﹣∠CAB=105°，

∴∠PBH=∠ABD﹣∠PBD=45°，

则PH=BH=50，

∴AB=AH+BH=50+50，

∵60千米/时=米/秒，

∴时间t==3+3≈8.1（秒），

即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．

【点评】本题主要考查了方向角问题．根据方向角得出解题所需角的度数及三角函数的应用是解题的关键．

20．

【分析】（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，直接把点D，E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；

（2）利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是否成立即可；

（3）满足条件的最内的双曲线的m=4，最外的双曲线的m=8，所以可得其取值范围．

【解答】解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，

∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），

∴，

解得k=﹣，b=3；

∴；

∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，

∴点M的纵坐标为2；

又∵点M在直线上，

∴2=；

∴x=2；

∴M（2，2）；

（2）∵（x＞0）经过点M（2，2），

∴m=4；

∴；

又∵点N在BC边上，B（4，2），

∴点N的横坐标为4；

∵点N在直线上，

∴y=1；

∴N（4，1）；

∵当x=4时，y==1，

∴点N在函数的图象上；

（3）当反比例函数（x＞0）的图象通过点M（2，2），N（4，1）时m的值最小，当反比例函数（x＞0）的图象通过点B（4，2）时m的值最大，

∴2=，有m的值最小为4，

2=，有m的值最大为8，

∴4≤m≤8．

【点评】此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上．

21．

【分析】（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；

（2）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．

【解答】解：（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，

依题意得：，

解之得：．

答：物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．

（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330﹣a）吨，

依题意得：a≤（330﹣a）×2，

解得：a≤220，

设获得的利润为W元，则W=70a+40（330﹣a）=30a+13200，

根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大

当W取最大值时a=220，

即W=19800元．

所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．

【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．

22．

【分析】（1）结论：DE⊥AC，AC=DE；

（2）结论成立．连接OA、OC．只要证明△AOC∽△DOE，再利用“8字型”证明垂直即可；

（2）利用三边关系确定最值问题；

【解答】解：（1）如图1中，当CF落在AD上时，DE⊥AC，DE=DF，AC=3DF，

∴DE=AC，即AC=DE．

（2）如图2中，结论仍然成立．

理由：连接OA、OC．

∵△ABD，△EFC都是等边三角形，BD=EF，OB=OD，OE=OF，

∴AO⊥BD，CO⊥EF，OA=OC，

∴∠AOD=∠COE=90°，

∴∠AOC=∠DOE，

∵==，

∴△AOC∽△DOE，

∴==，∠OED=∠ACO，

延长ED交AC于H，EH交OC于K．

∵∠OEK+∠OKE=90°，∠OKE=∠CKH，

∴∠CKH+∠KCH=90°，

∴∠KHC=90°，

∴EH⊥AC．

（3）如图3中，如图3中，取AD的中点K，连接BK、KH．

∵△ABD是等边三角形，AK=DK，

∴BK=×2=，

由（2）可知，∠AHD=90°，

∴KH=AD=1，

∵BK+KH≥BH，

∴BH的最大值为+1．

【点评】本题考查四边形综合题、旋转变换、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．

23．

【分析】（1）先利用一次函数解析式确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）作QH∥y轴交BC于H，如图，设Q（x，x2﹣4x+3）（0＜x＜3），则H（﹣x+3），利用三角形面积公式得到S△QBC=•3•HQ=﹣x2+x，然后利用二次函数的性质解决问题；

（3）先配方得到y=（x﹣2）2﹣1，则P（2，﹣1），抛物线的对称轴为直线x=2，设M（2，t），利用等腰三角形的性质，当PM=PC时，即（t+1）2=22+（﹣1﹣3）2；当PM=MC时，即（t+1）2=22+（t﹣3）2；当CM=PC时，即22+（t﹣3）2=22+（﹣1﹣3）2；然后分别解关于t的方程即可得到对应的M点坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣x+3=3，则C（0，3），

当y=0时，﹣x+3=0，解得x=3，则B（3，0），

把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）作QH∥y轴交BC于H，如图，

设Q（x，x2﹣4x+3）（0＜x＜3），则H（﹣x+3），

∴HQ=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△QBC=•3•HQ=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

当x=时，S△QBC的值有最大值，此时Q点的坐标为（，﹣）；

（3）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则P（2，﹣1），抛物线的对称轴为直线x=2，

设M（2，t），

当PM=PC时，△PMC为等腰三角形，即（t+1）2=22+（﹣1﹣3）2，解得t1=﹣1+2，t2=﹣1﹣2，此时M点坐标为（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

当PM=MC时，△PMC为等腰三角形，即（t+1）2=22+（t﹣3）2，解得t=，此时M点坐标为（2，）；

当CM=PC时，△PMC为等腰三角形，即22+（t﹣3）2=22+（﹣1﹣3）2，解得t1=﹣1（舍去），t2=7，此时M点坐标为（2，7）．

综上所述，M点坐标为（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）或（2，）或（2，7）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．