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工程数学线性代数第六版答案（全）

时间：2020-07-29 00:58:37 下载该word文档

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1);

解

=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8

-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)

=-24+8+16-4=-4.

(2);

解

=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc

=3abc-a3-b3-c3.

(3);

解

=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2

=(a-b)(b-c)(c-a).

(4).

解

=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3

=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3

=-2(x3+y3).

2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:

(1)1 2 3 4;

解逆序数为0

(2)4 1 3 2;

解逆序数为4: 41, 43, 42, 32.

(3)3 4 2 1;

解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.

(4)2 4 1 3;

解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.

(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n);

解逆序数为:

3 2 (1个)

5 2, 5 4(2个)

7 2, 7 4, 7 6(3个)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)

(6)1 3 ⋅⋅⋅ (2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.

解逆序数为n(n-1) :

3 2(1个)

5 2, 5 4 (2个)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)

4 2(1个)

6 2, 6 4(2个)

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2)(n-1个)

3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

解含因子a11a23的项的一般形式为

(-1)ta11a23a3ra4s,

其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.

所以含因子a11a23的项分别是

(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,

(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.

4.计算下列各行列式:

(1);

解

(2);

解

(3);

解

(4).

解

=abcd+ab+cd+ad+1.

5.证明:

(1)=(a-b)3;

证明

=(a-b)3.

(2);

证明

(3);

证明

(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)

(c4-c3,c3-c2得)

(4)

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);

证明

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).

(5)=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.

证明用数学归纳法证明.

当n=2时,,命题成立.

假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即

Dn-1=xn-1+a1xn-2+⋅⋅⋅+an-2x+an-1,

则Dn按第一列展开, 有

=xDn-1+an=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.

因此,对于n阶行列式命题成立.

6.设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得

,,,

证明,D3=D.

证明　因为D=det(aij),所以

同理可证

7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):

(1), 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;

解

(按第n行展开)

=an-an-2=an-2(a2-1).

(2);

解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得

再将各列都加到第一列上,得

=[x+(n-1)a](x-a)n-1.

(3);

解根据第6题结果, 有

此行列式为范德蒙德行列式.

(4);

解

(按第1行展开)

再按最后一行展开得递推公式

D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2.

于是 .

而,

所以 .

(5) D=det(aij),其中aij=|i-j|;

解 aij=|i-j|,

=(-1)n-1(n-1)2n-2.

(6), 其中a1a2⋅⋅⋅an≠0.

解

8.用克莱姆法则解下列方程组:

(1);

解因为

所以 ,,,.

(2).

解因为

所以

,,,,.

9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组有非零解？

解系数行列式为

令D=0,得

μ=0或λ=1.

于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.

10.问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？

解系数行列式为

=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)

=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.

令D=0, 得

λ=0,λ=2或λ=3.

于是, 当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.

第二章　矩阵及其运算

1.已知线性变换:

求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.

解由已知:

故 ,

2.已知两个线性变换

求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.

解由已知

所以有.

3.设,, 求3AB-2A及ATB.

解

4.计算下列乘积:

(1);

解.

(2);

解 =(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).

(3);

解 .

(4);

解 .

(5);

解

=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3)

5.设,, 问:

(1)AB=BA吗?

解AB≠BA.

因为,, 所以AB≠BA.

(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?

解 (A+B)2≠A2+2AB+B2.

因为,

但 ,

所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.

(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?

解 (A+B)(A-B)≠A2-B2.

因为,,

而 ,

故(A+B)(A-B)≠A2-B2.

6.举反列说明下列命题是错误的:

(1)若A2=0, 则A=0;

解取, 则A2=0, 但A≠0.

(2)若A2=A,则A=0或A=E;

解取, 则A2=A,但A≠0且A≠E.

(3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y.

解取

,,,

则AX=AY,且A≠0,但X≠Y.

7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,Ak.

解,

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,

8.设,求Ak.

解首先观察

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,

用数学归纳法证明:

当k=2时,显然成立.

假设k时成立，则k+1时，

由数学归纳法原理知:

9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.

证明因为AT=A, 所以

(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,

从而BTAB是对称矩阵.

10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

证明充分性:因为AT=A,BT=B, 且AB=BA, 所以

(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,

即AB是对称矩阵.

必要性: 因为AT=A,BT=B, 且(AB)T=AB, 所以

AB=(AB)T=BTAT=BA.

11.求下列矩阵的逆矩阵:

(1);

解. |A|=1,故A-1存在.因为

故.

(2);

解. |A|=1≠0,故A-1存在.因为

所以.

(3);

解. |A|=2≠0,故A-1存在.因为

所以.

(4)(a1a2⋅⋅⋅an≠0) .

解,由对角矩阵的性质知

12.解下列矩阵方程:

(1);

解 .

(2);

解

(3);

解

(4).

解

13.利用逆矩阵解下列线性方程组:

(1);

解方程组可表示为

故 ,

从而有 .

(2).

解方程组可表示为

故 ,

故有 .

14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.

证明因为Ak=O, 所以E-Ak=E. 又因为

E-Ak=(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1),

所以 (E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)=E,

由定理2推论知(E-A)可逆, 且

(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.

证明一方面, 有E=(E-A)-1(E-A).

另一方面, 由Ak=O, 有

E=(E-A)+(A-A2)+A2-⋅⋅⋅-Ak-1+(Ak-1-Ak)

=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),

故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),

两端同时右乘(E-A)-1,就有

(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.

15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.

证明由A2-A-2E=O得

A2-A=2E, 即A(A-E)=2E,

或 ,

由定理2推论知A可逆, 且.

由A2-A-2E=O得

A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E,

或

由定理2推论知(A+2E)可逆, 且.

证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得

|A2-A|=2,

即 |A||A-E|=2,

故 |A|≠0,

所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.

由A2-A-2E=O⇒A(A-E)=2E

⇒A-1A(A-E)=2A-1E⇒,

又由A2-A-2E=O⇒(A+2E)A-3(A+2E)=-4E

⇒ (A+2E)(A-3E)=-4 E,

所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,

16.设A为3阶矩阵,,求|(2A)-1-5A*|.

解因为,所以

=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.

17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.

证明由,得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有

|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1≠0,

从而A*也可逆.

因为A*=|A|A-1,所以

(A*)-1=|A|-1A.

又, 所以

(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.

18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明:

(1)若|A|=0,则|A*|=0;

(2)|A*|=|A|n-1.

证明

(1)用反证法证明.假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E,由此得

A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O,

所以A*=O, 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.

(2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到

|A||A*|=|A|n.

若|A|≠0, 则|A*|=|A|n-1;

若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.

因此|A*|=|A|n-1.

19.设,AB=A+2B, 求B.

解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故

20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B.

解由AB+E=A2+B得

(A-E)B=A2-E,

即 (A-E)B=(A-E)(A+E).

因为, 所以(A-E)可逆, 从而

21. 设A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E, 求B.

解由A*BA=2BA-8E得

(A*-2E)BA=-8E,

B=-8(A*-2E)-1A-1

=-8[A(A*-2E)]-1

=-8(AA*-2A)-1

=-8(|A|E-2A)-1

=-8(-2E-2A)-1

=4(E+A)-1

=4[diag(2,-1,2)]-1

=2diag(1,-2,1).

22. 已知矩阵A的伴随阵,

且ABA-1=BA-1+3E, 求B.

解由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.

由ABA-1=BA-1+3E得

AB=B+3A,

B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A

23.设P-1AP=Λ,其中,,求A11.

解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1, 所以A11=A=PΛ11P-1.

|P|=3,,,

而,

故.

24. 设AP=PΛ, 其中,,

求ϕ(A)=A8(5E-6A+A2).

解 ϕ(Λ)=Λ8(5E-6Λ+Λ2)

=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]

=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).

ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1

25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵.

证明因为

A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,

而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆.

(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.

26. 计算.

解设,,,,

则 ,

而 ,

所以 ,

即 .

27.取,验证.

解 ,

而 ,

故 .

28.设,求|A8|及A4.

解　令,,

则 ,

故 ,

29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求

(1);

解设, 则

由此得 ⇒,

所以.

(2).

解设, 则

由此得 ⇒,

所以 .

30. 求下列矩阵的逆阵:

(1);

解设,, 则

于是 .

(2).

解设,,, 则

第三章　矩阵的初等变换与线性方程组

1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:

(1);

解 (下一步:r2+(-2)r1,r3+(-3)r1.)

~(下一步:r2÷(-1),r3÷(-2).)

~(下一步:r3-r2.)

~(下一步:r3÷3.)

~(下一步:r2+3r3.)

~(下一步:r1+(-2)r2,r1+r3.)

(2);

解 (下一步:r2⨯2+(-3)r1,r3+(-2)r1. )

~(下一步:r3+r2,r1+3r2. )

~(下一步:r1÷2. )

(3);

解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1. )

~(下一步:r2÷(-4),r3÷(-3) ,r4÷(-5). )

~(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2. )

(4).

解 (下一步:r1-2r2,r3-3r2,r4-2r2. )

~(下一步:r2+2r1,r3-8r1,r4-7r1. )

~(下一步:r1↔r2,r2⨯(-1),r4-r3. )

~(下一步:r2+r3. )

2. 设, 求A.

解是初等矩阵E(1,2), 其逆矩阵就是其本身.

是初等矩阵E(1, 2(1)), 其逆矩阵是

E(1, 2(-1)) .

3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:

(1);

解~

故逆矩阵为.

(2).

解

故逆矩阵为.

4.(1)设,, 求X使AX=B;

解因为

所以 .

(2)设,, 求X使XA=B.

解考虑ATXT=BT. 因为

所以 ,

从而 .

5. 设,AX=2X+A, 求X.

解原方程化为(A-2E)X=A. 因为

所以 .

6. 在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?

解在秩是r的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式.

例如,,R(A)=3.

是等于0的2阶子式,是等于0的3阶子式.

7. 从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问A,B的秩的关系怎样?

解R(A)≥R(B).

这是因为B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不会小于B的秩.

8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是

(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).

解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:

此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.

9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:

(1);

解(下一步:r1↔r2. )

~(下一步:r2-3r1,r3-r1. )

~(下一步:r3-r2. )

矩阵的,是一个最高阶非零子式.

(2);

解 (下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1. )

~(下一步:r3-3r2. )

矩阵的秩是2,是一个最高阶非零子式.

(3).

解 (下一步:r1-2r4,r2-2r4,r3-3r4. )

~(下一步:r2+3r1,r3+2r1. )

~(下一步:r2÷16r4,r3-16r2. )

矩阵的秩为3,是一个最高阶非零子式.

10. 设A、B都是m⨯n矩阵, 证明A~B的充分必要条件是R(A)=R(B).

证明根据定理3, 必要性是成立的.

充分性. 设R(A)=R(B), 则A与B的标准形是相同的. 设A与B的标准形为D, 则有

A~D,D~B.

由等价关系的传递性, 有A~B.

11. 设, 问k为何值, 可使

(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.

解 .

(1)当k=1时,R(A)=1;

(2)当k=-2且k≠1时,R(A)=2;

(3)当k≠1且k≠-2时,R(A)=3.

12. 求解下列齐次线性方程组:

(1);

解　对系数矩阵A进行初等行变换, 有

A=~,

于是 ,

故方程组的解为

(k为任意常数).

(2);

解对系数矩阵A进行初等行变换,有

A=~,

于是 ,

故方程组的解为

(k1,k2为任意常数).

(3);

解对系数矩阵A进行初等行变换,有

A=~,

于是 ,

故方程组的解为

(4).

解对系数矩阵A进行初等行变换,有

A=~,

于是 ,

故方程组的解为

(k1,k2为任意常数).

13. 求解下列非齐次线性方程组:

(1);

解对增广矩阵B进行初等行变换,有

B=~,

于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程组无解.

(2);

解对增广矩阵B进行初等行变换,有

B=~,

于是 ,

即 (k为任意常数).

(3);

解对增广矩阵B进行初等行变换,有

B=~,

于是 ,

即 (k1,k2为任意常数).

(4).

解对增广矩阵B进行初等行变换,有

B=~,

于是 ,

即 (k1,k2为任意常数).

14.写出一个以

为通解的齐次线性方程组.

解根据已知,可得

与此等价地可以写成

或,

这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.

15.λ取何值时, 非齐次线性方程组

(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?

解

(1)要使方程组有唯一解, 必须R(A)=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.

(2)要使方程组无解, 必须R(A)<R(B), 故

(1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2≠0.

因此λ=-2时, 方程组无解.

(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R(A)=R(B)<3, 故

(1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2=0.

因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.

16. 非齐次线性方程组

当λ取何值时有解？并求出它的解.

解　~.

要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1,λ=-2.

当λ=1时,

方程组解为

或,

即 (k为任意常数).

当λ=-2时,

方程组解为

或,

即(k为任意常数).

17. 设.

问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.

解B=

要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须

(1-λ)(10-λ)≠0,

所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解.

要使方程组无解, 必须R(A)<R(B), 即必须

(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0,

所以当λ=10时, 方程组无解.

要使方程组有无穷多解, 必须R(A)=R(B)<3, 即必须

(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,

所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为

B~,

方程组的解为

或 (k1,k2为任意常数).

18. 证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A=abT.

证明必要性. 由R(A)=1知A的标准形为

即存在可逆矩阵P和Q, 使

, 或.

令,bT=(1,0,⋅⋅⋅,0)Q-1, 则a是非零列向量,bT是非零行向量, 且A=abT.

充分性. 因为a与bT是都是非零向量, 所以A是非零矩阵, 从而R(A)≥1.

因为

1≤R(A)=R(abT)≤min{R(a),R(bT)}=min{1, 1}=1,

所以R(A)=1.

19. 设A为m⨯n矩阵, 证明

(1)方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m;

证明由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要条件是

R(A)=R(A,Em),

而| Em|是矩阵(A,Em)的最高阶非零子式, 故R(A)=R(A,Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m.

(2)方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=n.

证明注意, 方程YA=En有解的充分必要条件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要条件是R(AT)=n.因此，方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=R(AT)=n.

20. 设A为m⨯n矩阵, 证明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 则X=Y.

证明由AX=AY, 得A(X-Y)=O. 因为R(A)=n, 由定理9, 方程A(X-Y)=O只有零解, 即X-Y=O,也就是X=Y.

第四章　向量组的线性相关性

1. 设v1=(1,1,0)T,v2=(0,1,1)T,v3=(3,4,0)T,求v1-v2及3v1+2v2-v3.

解v1-v2=(1,1,0)T-(0,1,1)T

=(1-0,1-1,0-1)T

=(1,0,-1)T.

3v1+2v2-v3=3(1,1,0)T+2(0,1,1)T-(3,4,0)T

=(3⨯1+2⨯0-3,3⨯1+2⨯1-4,3⨯0+2⨯1-0)T

=(0,1,2)T.

2. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a),求a, 其中a1=(2,5,1,3)T,

a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T.

解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得

=(1,2,3,4)T.

3. 已知向量组

A:a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T, a3=(2,3,0,1)T;

B:b1=(2,1,1,2)T,b2=(0,-2,1,1)T, b3=(4,4,1,3)T,

证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示.

证明由

知R(A)=R(A,B)=3, 所以B组能由A组线性表示.

由

知R(B)=2. 因为R(B)≠R(B,A), 所以A组不能由B组线性表示.

4. 已知向量组

A:a1=(0, 1, 1)T,a2=(1, 1, 0)T;

B:b1=(-1, 0, 1)T,b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2,-1)T,

证明A组与B组等价.

证明由

知R(B)=R(B,A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)≥2, 又R(A)≤R(B,A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A,B). 因此A组与B组等价.

5. 已知R(a1,a2,a3)=2,R(a2,a3,a4)=3, 证明

(1) a1能由a2,a3线性表示;

(2) a4不能由a1,a2,a3线性表示.

证明 (1)由R(a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关, 故a2,a3也线性无关. 又由R(a1,a2,a3)=2知a1,a2,a3线性相关, 故a1能由a2,a3线性表示.

(2)假如a4能由a1,a2,a3线性表示, 则因为a1能由a2,a3线性表示, 故a4能由a2,a3线性表示, 从而a2,a3,a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1,a2,a3线性表示.

6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:

(1) (-1, 3, 1)T,(2, 1, 0)T,(1, 4, 1)T;

(2) (2, 3, 0)T,(-1, 4, 0)T,(0, 0, 2)T.

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为

所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.

(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为

所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.

7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？

a1=(a,1,1)T,a2=(1,a,-1)T, a3=(1,-1,a)T.

解以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由

知, 当a=-1、0、1时,R(A)<3, 此时向量组线性相关.

8. 设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关, 求向量b用a1,a2线性表示的表示式.

解因为a1+b,a2+b线性相关, 故存在不全为零的数λ1,λ2使

λ1(a1+b)+λ2(a2+b)=0,

由此得 ,

设, 则

b=ca1-(1+c)a2,c∈R.

9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关, 问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之.

解不一定.

例如, 当a1=(1,2)T,a2=(2,4)T, b1=(-1,-1)T,b2=(0,0)T时, 有

a1+b1=(1,2)T+b1=(0,1)T,a2+b2=(2,4)T+(0,0)T=(2,4)T,

而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的.

10. 举例说明下列各命题是错误的:

(1)若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,am是线性相关的, 则a1可由a2,⋅⋅⋅,am线性表示.

解设a1=e1=(1,0,0,⋅⋅⋅,0),a2=a3=⋅⋅⋅=am=0, 则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关, 但a1不能由a2,⋅⋅⋅,am线性表示.

(2)若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

成立, 则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性相关.

解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0,

原式可化为

λ1(a1+b1)+⋅⋅⋅+λm(am+bm)=0.

取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,am=em=-bm, 其中e1,e2,⋅⋅⋅,em为单位坐标向量, 则上式成立, 而a1,a2,⋅⋅⋅,am和b1,b2,⋅⋅⋅,bm均线性无关.

(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时, 等式

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

才能成立, 则a1,a2,⋅⋅⋅,am线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性无关.

解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时, 等式

由λ1a1+⋅⋅⋅+λmam+λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

成立, 所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时, 等式

λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(am+bm)=0

成立. 因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,am+bm线性无关.

取a1=a2=⋅⋅⋅=am=0, 取b1,⋅⋅⋅,bm为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关.

(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,bm亦线性相关, 则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使

λ1a1+⋅⋅⋅+λmam=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λmbm=0

同时成立.

解 a1=(1,0)T,a2=(2,0)T,b1=(0,3)T,b2=(0,4)T,

λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,

λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,

⇒λ1=λ2=0, 与题设矛盾.

11. 设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.

证明由已知条件得

a1=b1-a2,a2=b2-a3,a3=b3-a4,a4=b4-a1,

于是 a1=b1-b2+a3

=b1-b2+b3-a4

=b1-b2+b3-b4+a1,

从而 b1-b2+b3-b4=0,

这说明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.

12. 设b1=a1,b2=a1+a2,⋅⋅⋅,br=a1+a2+⋅⋅⋅+ar,且向量组a1,a2,⋅⋅⋅,ar线性无关, 证明向量组b1,b2,⋅⋅⋅,br线性无关.

证明已知的r个等式可以写成

上式记为B=AK. 因为|K|=1≠0,K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 从而向量组b1,b2,⋅⋅⋅,br线性无关.

13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:

(1)a1=(1, 2,-1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2,-4, 2,-8)T;

解　由

知R(a1,a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1,a2线性无关, 所以a1,a2是一个最大无关组.

(2)a1T=(1,2,1,3),a2T=(4,-1,-5,-6), a3T=(1,-3,-4,-7).

解由

知R(a1T,a2T, a3T)=R(a1,a2, a3)=2.因为向量a1T与a2T的分量不成比例, 故a1T,a2T线性无关, 所以a1T,a2T是一个最大无关组.

14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:

(1);

解因为

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

(2).

解因为

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

15. 设向量组

(a,3,1)T,(2,b,3)T,(1,2,1)T,(2,3,1)T

的秩为2, 求a,b.

解设a1=(a,3,1)T,a2=(2,b,3)T,a3=(1,2,1)T,a4=(2,3,1)T.

因为

而R(a1,a2,a3,a4)=2, 所以a=2,b=5.

16. 设a1,a2,⋅⋅⋅,an是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1,e2,⋅⋅⋅,en能由它们线性表示, 证明a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

证法一记A=(a1,a2,⋅⋅⋅,an),E=(e1,e2,⋅⋅⋅,en). 由已知条件知, 存在矩阵K, 使

E=AK.

两边取行列式, 得

|E|=|A||K|.

可见|A|≠0, 所以R(A)=n, 从而a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

证法二因为e1,e2,⋅⋅⋅,en能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示, 所以

R(e1,e2,⋅⋅⋅,en)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,an),

而R(e1,e2,⋅⋅⋅,en)=n,R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)≤n, 所以R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)=n,从而a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

17. 设a1,a2,⋅⋅⋅,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示.

证明必要性:设a为任一n维向量. 因为a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关, 而a1,a2,⋅⋅⋅,an,a是n+1个n维向量, 是线性相关的, 所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示, 且表示式是唯一的.

充分性: 已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,en能由a1,a2,⋅⋅⋅,an线性表示,于是有

n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,en)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)≤n,

即R(a1,a2,⋅⋅⋅,an)=n, 所以a1,a2,⋅⋅⋅,an线性无关.

18. 设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关, 且a1≠0, 证明存在某个向量ak (2≤k≤m), 使ak能由a1,a2,⋅⋅⋅,ak-1线性表示.

证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,am线性相关, 所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使

λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λmam=0,

而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k(2≤k≤m), 使

λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,

于是

λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λkak=0,

ak=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1ak-1),

即ak能由a1,a2,⋅⋅⋅,ak-1线性表示.

19. 设向量组B:b1,⋅⋅⋅,br能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,as线性表示为

(b1,⋅⋅⋅,br)=(a1,⋅⋅⋅,as)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.

证明　令B=(b1,⋅⋅⋅,br),A=(a1,⋅⋅⋅,as), 则有B=AK.

必要性: 设向量组B线性无关.

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质, 有

r=R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(K)}≤R(K),

及 R(K)≤min{r,s}≤r.

因此R(K)=r.

充分性: 因为R(K)=r, 所以存在可逆矩阵C, 使为K的标准形. 于是

(b1,⋅⋅⋅,br)C=( a1,⋅⋅⋅,as)KC=(a1,⋅⋅⋅,ar).

因为C可逆, 所以R(b1,⋅⋅⋅,br)=R(a1,⋅⋅⋅,ar)=r, 从而b1,⋅⋅⋅,br线性无关.

20. 设

证明向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn等价.

证明将已知关系写成

将上式记为B=AK. 因为

所以K可逆, 故有A=BK-1. 由B=AK和A=BK-1可知向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn可相互线性表示. 因此向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn等价.

21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x,Ax,A2x线性无关.

(1)记P=(x,Ax,A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB;

解因为

AP=A(x,Ax,A2x)

=(Ax,A2x,A3x)

=(Ax,A2x,3Ax-A2x)

所以.

(2)求|A|.

解由A3x=3Ax-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因为x,Ax,A2x线性无关, 故3x-Ax-A2x≠0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)<3,|A|=0.

22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:

(1);

解　对系数矩阵进行初等行变换, 有

于是得

取(x3,x4)T=(4, 0)T, 得(x1,x2)T=(-16, 3)T;

取(x3,x4)T=(0, 4)T, 得(x1,x2)T=(0, 1)T.

因此方程组的基础解系为

ξ1=(-16,3,4,0)T,ξ2=(0,1,0,4)T.

(2).

解对系数矩阵进行初等行变换,有

于是得

取(x3,x4)T=(19, 0)T, 得(x1,x2)T=(-2, 14)T;

取(x3,x4)T=(0, 19)T, 得(x1,x2)T=(1, 7)T.

因此方程组的基础解系为

ξ1=(-2, 14, 19,0)T,ξ2=(1, 7,0, 19)T.

(3)nx1+(n-1)x2+⋅⋅⋅+2xn-1+xn=0.

解原方程组即为

xn=-nx1-(n-1)x2-⋅⋅⋅-2xn-1.

取x1=1,x2=x3=⋅⋅⋅=xn-1=0, 得xn=-n;

取x2=1,x1=x3=x4=⋅⋅⋅=xn-1=0,得xn=-(n-1)=-n+1;

⋅⋅⋅;

取xn-1=1,x1=x2=⋅⋅⋅=xn-2=0,得xn=-2.

因此方程组的基础解系为

ξ1=(1, 0, 0,⋅⋅⋅, 0,-n)T,

ξ2=(0,1,0,⋅⋅⋅,0,-n+1)T,

⋅⋅⋅,

ξn-1=(0,0,0,⋅⋅⋅,1,-2)T.

23. 设,求一个4⨯2矩阵B,使AB=0,且

R(B)=2.

解显然B的两个列向量应是方程组AB=0的两个线性无关的解. 因为

所以与方程组AB=0同解方程组为

取(x3,x4)T=(8, 0)T, 得(x1,x2)T=(1, 5)T;

取(x3,x4)T=(0, 8)T, 得(x1,x2)T=(-1, 11)T.

方程组AB=0的基础解系为

ξ1=(1, 5, 8, 0)T,ξ2=(-1, 11, 0, 8)T.

因此所求矩阵为.

24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

ξ1=(0,1,2,3)T,ξ2=(3,2,1,0)T.

解显然原方程组的通解为

, 即, (k1,k2∈R),

消去k1,k2得

此即所求的齐次线性方程组.

25. 设四元齐次线性方程组

I:, II:.

求:(1)方程I与II的基础解系;(2) I与II的公共解.

解 (1)由方程I得.

取(x3,x4)T=(1, 0)T, 得(x1,x2)T=(0,0)T;

取(x3,x4)T=(0,1)T, 得(x1,x2)T=(-1,1)T.

因此方程I的基础解系为

ξ1=(0, 0,1,0)T,ξ2=(-1, 1, 0, 1)T.

由方程II得.

取(x3,x4)T=(1, 0)T, 得(x1,x2)T=(0,1)T;

取(x3,x4)T=(0,1)T, 得(x1,x2)T=(-1,-1)T.

因此方程II的基础解系为

ξ1=(0,1,1,0)T,ξ2=(-1,-1, 0, 1)T.

(2) I与II的公共解就是方程

III:

的解. 因为方程组III的系数矩阵

所以与方程组III同解的方程组为

取x4=1, 得(x1,x2,x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程组III的基础解系为

ξ=(-1, 1, 2, 1)T.

因此I与II的公共解为x=c(-1, 1, 2, 1)T,c∈R.

26. 设n阶矩阵A满足A2=A,E为n阶单位矩阵, 证明

R(A)+R(A-E)=n.

证明因为A(A-E)=A2-A=A-A=0, 所以R(A)+R(A-E)≤n.

又R(A-E)=R(E-A), 可知

R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n,

由此R(A)+R(A-E)=n.

27. 设A为n阶矩阵(n≥2),A*为A的伴随阵, 证明

证明当R(A)=n时, |A|≠0, 故有

|AA*|=||A|E|=|A|≠0, |A*|≠0,

所以R(A*)=n.

当R(A)=n-1时, |A|=0, 故有

AA*=|A|E=0,

即A*的列向量都是方程组Ax=0的解. 因为R(A)=n-1, 所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R(A*)=1.

当R(A)≤n-2时,A中每个元素的代数余子式都为0, 故A*=O, 从而R(A*)=0.

28.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:

(1);

解对增广矩阵进行初等行变换,有

与所给方程组同解的方程为

当x3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8,13,0,2)T.

与对应的齐次方程组同解的方程为

当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1,1,1,0)T.

(2).

解对增广矩阵进行初等行变换,有

与所给方程组同解的方程为

当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解

η=(1,-2,0, 0)T.

与对应的齐次方程组同解的方程为

分别取(x3,x4)T=(1,0)T,(0,1)T, 得对应的齐次方程组的基础解系

ξ1=(-9,1,7,0)T.ξ2=(1,-1,0,2)T.

29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量.且

η1=(2,3,4,5)T,η2+η3=(1,2,3,4)T,

求该方程组的通解.

解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于η1,η2,η3均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得

2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3,4,5,6)T

为其基础解系向量,故此方程组的通解:

x=k(3,4,5,6)T+(2,3,4,5)T, (k∈R).

30. 设有向量组A:a1=(α,2,10)T,a2=(-2,1,5)T, a3=(-1,1,4)T,及b=(1,β,-1)T,问α,β为何值时

(1)向量b不能由向量组A线性表示;

(2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一;

(3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.

解 .

(1)当α=-4,β≠0时,R(A)≠R(A,b), 此时向量b不能由向量组A线性表示.

(2)当α≠-4时,R(A)=R(A,b)=3, 此时向量组a1,a2,a3线性无关, 而向量组a1,a2,a3,b线性相关, 故向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一.

(3)当α=-4,β=0时,R(A)=R(A,b)=2, 此时向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一.

当α=-4,β=0时,

方程组(a3,a2,a1)x=b的解为

,c∈R.

因此b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1,

即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, c∈R.

31. 设a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T, c=(c1,c2,c3)T,证明三直线

l1:a1x+b1y+c1=0,

l2:a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2≠0,i=1,2,3)

l3:a3x+b3y+c3=0,

相交于一点的充分必要条件为: 向量组a,b线性无关, 且向量组a,b,c线性相关.

证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

, 即

有唯一解. 上述方程组可写为xa+yb=-c. 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a,b唯一线性表示, 而c能由a,b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a,b线性无关, 且向量组a,b,c线性相关.

32. 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4), 其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2-a3. 向量b=a1+a2+a3+a4,求方程Ax=b的通解.

解由b=a1+a2+a3+a4知η=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一个解.

由a1=2a2-a3得a1-2a2+a3=0, 知ξ=(1,-2,1,0)T是Ax=0的一个解.

由a2,a3,a4线性无关知R(A)=3, 故方程Ax=b所对应的齐次方程Ax=0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1,-2,1,0)T是方程Ax=0的基础解系.

方程Ax=b的通解为

x=c(1,-2,1,0)T+(1, 1, 1, 1)T,c∈R.

33.设η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:

(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关;

(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.

证明 (1)反证法,假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关. 因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关, 而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关, 所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明η*也是齐次线性方程组的解, 矛盾.

(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关, 所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.

34. 设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解,k1,k2,⋅⋅⋅,ks为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+ks=1.证明

x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+ksηs

也是它的解.

证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组Ax=b的解, 所以

Aηi=b (i=1,2,⋅⋅⋅,s),

从而 A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+ksAηs

=(k1+k2+⋅⋅⋅+ks)b=b.

因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+ksηs也是方程的解.

35. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为

x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+kn-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+kn-r+1=1).

证明　因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为Ax=b的解, 所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为Ax=b的解.

用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.

设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得

λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,

即 λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,

亦即 -(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,

由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知

-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,

矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为Ax=b的一个基础解系.

设x为Ax=b的任意解, 则x-η1为Ax=0的解, 故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出, 设

x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+kn-r+1ξn-r

=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+kn-r+1(ηn-r+1-η1),

x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-kn-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.

令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-kn-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-kn-r+1=1, 于是

x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+kn-r+1ηn-r+1.

36. 设

V1={x=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)T| x1,⋅⋅⋅,xn∈R满足x1+x2+⋅⋅⋅+xn=0},

V2={x=(x1,x2,⋅⋅⋅,xn)T| x1,⋅⋅⋅,xn∈R满足x1+x2+⋅⋅⋅+xn=1},

问V1,V2是不是向量空间？为什么？

解 V1是向量空间,因为任取

α=(a1,a2,⋅⋅⋅,an)T∈V1,β=(b1,b2,⋅⋅⋅,bn)T∈V1,λ∈∈R,

有 a1+a2+⋅⋅⋅+an=0,

b1+b2+⋅⋅⋅+bn=0,

从而 (a1+b1)+(a2+b2)+⋅⋅⋅+(an+bn)

=(a1+a2+⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+⋅⋅⋅+bn)=0,

λa1+λa2+⋅⋅⋅+λan=λ(a1+a2+⋅⋅⋅+an)=0,

所以 α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,an+bn)T∈V1,

λα=(λa1,λa2,⋅⋅⋅,λan)T∈V1.

V2不是向量空间,因为任取

α=(a1,a2,⋅⋅⋅,an)T∈V1,β=(b1,b2,⋅⋅⋅,bn)T∈V1,

有 a1+a2+⋅⋅⋅+an=1,

b1+b2+⋅⋅⋅+bn=1,

从而 (a1+b1)+(a2+b2)+⋅⋅⋅+(an+bn)

=(a1+a2+⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+⋅⋅⋅+bn)=2,

所以 α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,an+bn)T∉V1.

37. 试证:由a1=(0,1,1)T,a2=(1,0,1)T, a3=(1,1,0)T所生成的向量空间就是R3.

证明　设A=(a1, a2,a3), 由

知R(A)=3, 故a1, a2,a3线性无关, 所以a1, a2,a3是三维空间R3的一组基, 因此由a1, a2,a3所生成的向量空间就是R3.

38. 由a1=(1, 1, 0, 0)T,a2=(1, 0, 1, 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1=V2.

证明设A=(a1,a2),B=(b1, b2). 显然R(A)=R(B)=2, 又由

知R(A,B)=2, 所以R(A)=R(B)=R(A,B), 从而向量组a1, a2与向量组b1, b2等价. 因为向量组a1, a2与向量组b1, b2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V1=V2.

39. 验证a1=(1,-1, 0)T,a2=(2, 1, 3)T, a3=(3, 1, 2)T为R3的一个基, 并把v1=(5,0,7)T,v2=(-9,-8,-13)T用这个基线性表示.

解设A=(a1,a2,a3). 由

知R(A)=3, 故a1, a2, a3线性无关,所以a1, a2, a3为R3的一个基.

设x1a1+x2a2+x3a3=v1, 则

解之得x1=2,x2=3,x3=-1, 故线性表示为v1=2a1+3a2-a3.

设x1a1+x2a2+x3a3=v2,则

解之得x1=3,x2=-3,x3=-2, 故线性表示为v2=3a1-3a2-2a3.

40. 已知R3的两个基为

a1=(1,1,1)T,a2=(1,0,-1)T,a3=(1,0,1)T,

b1=(1,2,1)T,b2=(2,3,4)T,b3=(3,4,3)T.

求由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵P.

解设e1,e2,e3是三维单位坐标向量组, 则

于是

由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵为

第五章相似矩阵及二次型

1.试用施密特法把下列向量组正交化:

(1);

解根据施密特正交化方法,

(2).

解根据施密特正交化方法,

2.下列矩阵是不是正交阵:

(1);

解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.

(2).

解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵.

3. 设x为n维列向量,xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵.

证明因为

HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T

=E-2(xT)TxT=E-2xxT,

所以H是对称矩阵.

因为

HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)

=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)

=E-4xxT+4x(xTx)xT

=E-4xxT+4xxT

=E,

所以H是正交矩阵.

4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵.

证明因为A,B是n阶正交阵,故A-1=AT,B-1=BT,

(AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,

故AB也是正交阵.

5.求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1);

解 ,

故A的特征值为λ=-1(三重).

对于特征值λ=-1,由

得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.

(2);

解 ,

故A的特征值为λ1=0,λ2=-1,λ3=9.

对于特征值λ1=0, 由

得方程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T, 向量p1是对应于特征值λ1=0的特征值向量.

对于特征值λ2=-1, 由

得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T, 向量p2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量.

对于特征值λ3=9, 由

得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T, 向量p3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.

(3).

解 ,

故A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=λ4=1.

对于特征值λ1=λ2=-1, 由

得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 0, 0,-1)T,p2=(0, 1,-1, 0)T, 向量p1和p2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.

对于特征值λ3=λ4=1, 由

得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)T,p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.

6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同.

证明因为

|AT-λE|=|(A-λE)T|=|A-λE|T=|A-λE|,

所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同.

7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n, 证明A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量.

证明设R(A)=r,R(B)=t, 则r+t<n.

若a1,a2,⋅⋅⋅,an-r是齐次方程组Ax=0的基础解系, 显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

类似地, 设b1,b2,⋅⋅⋅,bn-t是齐次方程组Bx=0的基础解系, 则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n, 故a1,a2,⋅⋅⋅,an-r,b1,b2,⋅⋅⋅,bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1,k2,⋅⋅⋅,kn-r,l1,l2,⋅⋅⋅,ln-t, 使

k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+kn-ran-r+l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+ln-rbn-r=0.

记γ=k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+ln-rbn-r),

则k1,k2,⋅⋅⋅,kn-r不全为0, 否则l1,l2,⋅⋅⋅,ln-t不全为0, 而

l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+ln-rbn-r=0,

与b1,b2,⋅⋅⋅,bn-t线性无关相矛盾.

因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量.

8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2.

证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量, 则

(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.

因为x≠0, 所以λ2-3λ+2=0, 即λ是方程λ2-3λ+2=0的根, 也就是说λ=1或λ=2.

9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明λ=-1是A的特征值.

证明因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为-1或1.

因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即λ=-1是A的特征值.

10. 设λ≠0是m阶矩阵Am⨯nBn⨯m的特征值, 证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.

证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量, 则有

(AB)x=λx,

于是B(AB)x=B(λx),

或BA(Bx)=λ(Bx),

从而λ是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于λ的特征向量.

11. 已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 求|A3-5A2+7A|.

解令ϕ(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则ϕ(1)=3,ϕ(2)=2,ϕ(3)=3是ϕ(A)的特征值, 故

|A3-5A2+7A|=|ϕ(A)|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(3)=3⨯2⨯3=18.

12.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3, 求|A*+3A+2E|.

解因为|A|=1⨯2⨯(-3)=-6≠0, 所以A可逆, 故

A*=|A|A-1=-6A-1,

A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.

令ϕ(λ)=-6λ-1+3λ2+2, 则ϕ(1)=-1,ϕ(2)=5,ϕ(-3)=-5是ϕ(A)的特征值, 故

|A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|ϕ(A)|

=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(-3)=-1⨯5⨯(-5)=25.

13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相

似.

证明取P=A, 则

P-1ABP=A-1ABA=BA,

即AB与BA相似.

14. 设矩阵可相似对角化, 求x.

解由

得A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=1.

因为A可相似对角化,所以对于λ2=λ3=1,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解,因此R(A-E)=1.由

知当x=3时R(A-E)=1,即x=3为所求.

15.已知p=(1, 1,-1)T是矩阵的一个特征向量.

(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;

解设λ是特征向量p所对应的特征值,则

(A-λE)p=0,即,

解之得λ=-1,a=-3,b=0.

(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.

解由

得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1.

由

知R(A-E)=2, 所以齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化.

16.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵:

(1);

解将所给矩阵记为A. 由

=(1-λ)(λ-4)(λ+2),

得矩阵A的特征值为λ1=-2,λ2=1,λ3=4.

对于λ1=-2,解方程(A+2E)x=0, 即

得特征向量(1,2,2)T, 单位化得.

对于λ2=1, 解方程(A-E)x=0, 即

得特征向量(2,1,-2)T, 单位化得.

对于λ3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即

得特征向量(2,-2,1)T, 单位化得.

于是有正交阵P=(p1,p2,p3), 使P-1AP=diag(-2,1,4).

(2).

解将所给矩阵记为A. 由

=-(λ-1)2(λ-10),

得矩阵A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=10.

对于λ1=λ2=1, 解方程(A-E)x=0, 即

得线性无关特征向量(-2,1,0)T和(2,0,1)T, 将它们正交化、单位化得

对于λ3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即

得特征向量(-1,-2,2)T, 单位化得.

于是有正交阵P=(p1,p2,p3), 使P-1AP=diag(1,1,10).

17. 设矩阵与相似, 求x,y; 并求一个正交阵P, 使P-1AP=Λ.

解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5,λ=-4,λ=y是Λ的特征值, 故它们也是A的特征值. 因为λ=-4是A的特征值, 所以

解之得x=4.

已知相似矩阵的行列式相同, 因为

所以-20y=-100,y=5.

对于λ=5, 解方程(A-5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1,0,-1)T,(1,-2, 0)T. 将它们正交化、单位化得

对于λ=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2,1,2)T, 单位化得.

于是有正交矩阵, 使P-1AP=Λ.

18.设3阶方阵A的特征值为λ1=2,λ2=-2,λ3=1;对应的特征向量依次为p1=(0,1,1)T, p2=(1,1,1)T, p3=(1,1, 0)T, 求A.

解令P=(p1,p2,p3),则P-1AP=diag(2,-2,1)=Λ,A=PΛP-1.

因为

所以 .

19. 设3阶对称阵A的特征值为λ1=1,λ2=-1,λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,-2)T,求A.

解设, 则Ap1=2p1,Ap2=-2p2, 即

,---①

.---②

再由特征值的性质, 有

x1+x4+x6=λ1+λ2+λ3=0.---③

由①②③解得

,,,

令x6=0, 得,x2=0,,,.

因此 .

20.设3阶对称矩阵A的特征值λ1=6,λ2=3,λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求A.

解设.

因为λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T, 所以有

,即---①.

λ2=λ3=3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1. 利用①可推出

因为R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得

x2=x3=x5=1,x1=x4=x6=4.

因此 .

21. 设a=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,an)T,a1≠0,A=aaT.

(1)证明λ=0是A的n-1重特征值;

证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量, 则有

Ax=λx,

λ2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=λaTax,

于是可得λ2=λaTa, 从而λ=0或λ=aTa.

设λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn是A的所有特征值,因为A=aaT的主对角线性上的元素为a12,a22,⋅⋅⋅,an2,所以

a12+a22+⋅⋅⋅+an2=aTa=λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn,

这说明在λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn中有且只有一个等于aTa, 而其余n-1个全为0, 即λ=0是A的n-1重特征值.

(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.

解设λ1=aTa,λ2=⋅⋅⋅=λn=0.

因为Aa=aaTa=(aTa)a=λ1a, 所以p1=a是对应于λ1=aTa的特征向量.

对于λ2=⋅⋅⋅=λn=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因为a≠0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+⋅⋅⋅+anxn=0, 其线性无关解为

p2=(-a2,a1, 0,⋅ ⋅ ⋅, 0)T,

p3=(-a3,0,a1,⋅ ⋅ ⋅, 0)T,

⋅⋅⋅,

pn=(-an, 0,0,⋅ ⋅ ⋅,a1)T.

因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为

22. 设, 求A100.

解由

得A的特征值为λ1=1,λ2=5,λ3=-5.

对于λ1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1,0,0)T.

对于λ1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2,1,2)T.

对于λ1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1,-2,1)T.

令P=(p1,p2,p3), 则

P-1AP=diag(1,5,-5)=Λ,

A=PΛP-1,

A100=PΛ100P-1.

因为

Λ100=diag(1,5100,5100),

所以

23. 在某国, 每年有比例为p的农村居民移居城镇, 有比例为q的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1).

(1)求关系式中的矩阵A;

解由题意知

xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn,

yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,

可用矩阵表示为

因此 .

(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即, 求.

解由可知. 由

得A的特征值为λ1=1,λ2=r, 其中r=1-p-q.

对于λ1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q,p)T.

对于λ1=r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1,1)T.

令, 则

P-1AP=diag(1,r)=Λ,

A=PΛP-1,

An=PΛnP-1.

于是

24.(1)设,求ϕ(A)=A10-5A9;

解由

得A的特征值为λ1=1,λ2=5.

对于λ1=1, 解方程(A-E)x=0, 得单位特征向量.

对于λ1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得单位特征向量.

于是有正交矩阵, 使得P-1AP=diag(1,5)=Λ,

从而A=PΛP-1,Ak=PΛkP-1. 因此

ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1=P(Λ10-5Λ9)P-1

=P[diag(1,510)-5diag(1,59)]P-1

=Pdiag(-4,0)P-1

(2)设,求ϕ(A)=A10-6A9+5A8.

解求得正交矩阵为

使得P-1AP=diag(-1, 1,5)=Λ,A=PΛP-1. 于是

ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1=P(Λ10-6Λ9+5Λ8)P-1

=P[Λ8(Λ-E)(Λ-5E)]P-1

=Pdiag(1,1,58)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)P-1

=Pdiag(12,0,0)P-1

25.用矩阵记号表示下列二次型:

(1)f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz;

解.

(2)f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz;

解 .

(3)f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4.

解 .

26. 写出下列二次型的矩阵:

(1);

解二次型的矩阵为.

(2).

解二次型的矩阵为.

27.求一个正交变换将下列二次型化成标准形:

(1)f=2x12+3x22+3x33+4x2x3;

解二次型的矩阵为. 由

得A的特征值为λ1=2,λ2=5,λ3=1.

当λ1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由

得特征向量(1,0,0)T. 取p1=(1,0,0)T.

当λ2=5时,解方程(A-5E)x=0, 由

得特征向量(0,1,1)T.取.

当λ3=1时,解方程(A-E)x=0,由

得特征向量(0,-1,1)T.取.

于是有正交矩阵T=(p1,p2,p3)和正交变换x=Ty, 使

f=2y12+5y22+y32.

(2)f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4.

解二次型矩阵为. 由

得A的特征值为λ1=-1,λ2=3,λ3=λ4=1.

当λ1=-1时,可得单位特征向量.

当λ2=3时,可得单位特征向量.

当λ3=λ4=1时,可得线性无关的单位特征向量

于是有正交矩阵T=( p1,p2,p3,p4)和正交变换x=Ty, 使

f=-y12+3y22+y32+y42.

28. 求一个正交变换把二次曲面的方程

3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1

化成标准方程.

解二次型的矩阵为.

由, 得A的特征值为λ1=2,λ2=11,λ3=0,.

对于λ1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向量(4,-1, 1)T, 单位化得.

对于λ2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2,-2)T, 单位化得.

对于λ3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 单位化得.

于是有正交矩阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2,11,0), 从而有正交变换

使原二次方程变为标准方程2u2+11v2=1.

29.明:二次型f=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.

证明A为实对称矩阵,则有一正交矩阵T,使得

TAT-1=diag(λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn)=Λ

成立, 其中λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn为A的特征值,不妨设λ1最大.

作正交变换y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有

f=xTAx=yTTATTy=yTΛy=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λnyn2.

因为y=Tx正交变换, 所以当||x||=1时, 有

||y||=||x||=1, 即y12+y22+⋅⋅⋅+yn2=1.

因此

f=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λnyn2≤λ1,

又当y1=1,y2=y3=⋅⋅⋅=yn=0时f=λ1, 所以f max=λ1.

30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵.

(1) f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3;

解 f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3

=(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32

=(x1+x2-2x3)2-2x22+(2x2+x3)2.

令 , 即,

二次型化为规范形

f=y12-y22+y32,

所用的变换矩阵为

(2) f(x1,x2,x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3;

解 f(x1,x2,x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3

=(x1+x3)2+x32+2x2x3;

=(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2.

令 , 即,

二次型化为规范形

f=y12-y22+y32,

所用的变换矩阵为

(3) f(x1,x2,x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3.

解 f(x1,x2,x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3.

令 , 即,

二次型化为规范形

f=y12+y22+y32,

所用的变换矩阵为

31.设

f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4x2x3

为正定二次型, 求a.

解二次型的矩阵为, 其主子式为

a11=1,,.

因为f为正主二次型, 所以必有1-a2>0且-a(5a+4)>0, 解之得.

32.判别下列二次型的正定性:

(1) f=-2x12-6x22-4x32+2x1x2+2x1x3;

解二次型的矩阵为. 因为

,,,

所以f为负定.

(2) f=x12+3x22+9x32+19x42-2x1x2+4x1x3+2x1x4-6x2x4-12x3x4.

解二次型的矩阵为. 因为

,,,,

所以f为正定.

33. 证明对称阵A为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U, 使A=UTU,即A与单位阵E合同.

证明因为对称阵A为正定的, 所以存在正交矩阵P使

PTAP=diag(λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn)=Λ, 即A=PΛPT,

其中λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn均为正数.

令, 则Λ=Λ1Λ1,A=PΛ1Λ1TPT.

再令U=Λ1TPT, 则U可逆, 且A=UTU.

第六章　线性空间与线性变换

1.验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基.

(1) 2阶矩阵的全体S1;

解设A,B分别为二阶矩阵,则A,B∈S1. 因为

(A+B)∈S1,kA∈S1,

所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.

,,,

是S1的一个基.

(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2;

解设,,A,B∈S2. 因为

所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.

是S2的一个基.

(3) 2阶对称矩阵的全体S3.

解设A,B∈S3,则AT=A,BT=B. 因为

(A+B)T=AT+BT=A+B,(A+B)∈S3,

(kA)T=kAT=kA, kA∈S3,

所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.

是S3的一个基.

2.验证:与向量(0,0,1)T不平行的全体3维数组向量,对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.

解设V={与向量(0,0,1)T不平行的全体三维向量}, 设r1=(1,1,0)T,r2=(-1,0,1)T,则r1,r2∈V,但r1+r2=(0,0,1)T∉V, 即V不是线性空间.

3.设U是线性空间V的一个子空间,试证:若U与V的维数相等,则U=V.

证明　设ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn为U的一组基,它可扩充为整个空间V的一个基,由于dim(U)=dim(V), 从而ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn也为V的一个基,则:对于x∈V可以表示为x=k1ε1+k2ε2+⋅⋅⋅+krεr. 显然,x∈U,故V⊆U,而由已知知U⊆V,有U=V.

4.设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间,a1,a2,⋅⋅⋅,ar是Vr的一个基.试证:Vn中存在元素ar+1,⋅⋅⋅,an,使a1,a2,⋅⋅⋅,ar, ar+1,⋅⋅⋅,an成为Vn的一个基.

证明设r<n,则在Vn中必存在一向量ar+1∉Vr,它不能被a1,a2,⋅⋅⋅,ar线性表示,将ar+1添加进来,则a1,a2,⋅⋅⋅,ar+1是线性无关的.若r+1=n,则命题得证,否则存在ar+2∉L(a1,a2,⋅⋅⋅,ar+1), 则a1,a2,⋅⋅⋅,ar+2线性无关,依此类推,可找到n个线性无关的向量a1,a2,⋅⋅⋅,an,它们是Vn的一个基.