第09讲 不等式（组）及其应用

一、考点知识梳理

【考点1 不等式的概念及性质】

1．不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做不等式．

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

3．不等式的基本性质：

性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

性质2：不等式两边同乘(或除以)以一个正数，不等号的方向不变；

性质3：不等式两边同乘(或除以)以一个负数，不等号的方向改变．

【考点2 一元一次不等式及其解法】

1．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)．

2．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

3．一元一次不等式的解集在数轴上的表示

解集在数轴上的表示

x

x>a

x≤a

x≥a

【考点3 一元一次不等式组及其解法】

1．一元一次不等式组：含有相同未知数的若干一元一次不等式（一般是两个）所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．

2．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分．

3．解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的解集；(2)再利用数轴找它们的公共部分；(3)写出不等式组的解集．

4.求不等式(组)的特殊解，一方面要先求不等式(组)的解集，然后在解集中找特殊解．

【考点4 一元一次不等式（组）的应用】

列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．

二、考点分析

【考点1 不等式的概念及性质】

【解题技巧】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3——不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：

若a＞b，那么a±m＞b±m；

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；

（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．

【规律方法】

1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．

2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．

【例1】（2019 上海中考）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　）

A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n

【举一反三1-1】（2019 山东淄博中考模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是(　　)

A．x－3＞y－3 B．3x＞3y C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y

【举一反三1-2】（2019辽宁葫芦岛中考模拟）四个小朋友玩 跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示，则他们的体重大小关系是（ ）

A B

C D

【举一反三1-3】（2019•广东佛山中考模拟）现有不等式的性质：

①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；

②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．

请解决以下两个问题：

（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；

（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．

【考点2 一元一次不等式及其解法】

【解题技巧】(1)已知一元一次不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：①逆用不等式(组)的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．

(2)根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．

注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．

【例2】（2019 辽宁大连中考）不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【举一反三2-1】（2019•呼和浩特）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣ B．m＜﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣

【举一反三2-2】（2019•长春）不等式﹣x+2≥0的解集为（　 　）

A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2

【举一反三2-3】（2019吉林中考）不等式3x﹣2＞1的解集是　 　．

【举一反三2-4】（2019 河北保定中考模拟）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．

【举一反三2-5】（2019 江苏南京中考）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．

（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．

（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

【考点3 一元一次不等式组及其解法】

【解题技巧】解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

【例3】（2019 山西中考）不等式组的解集是（　 　）

A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1

【举一反三3-1】（2019 甘肃中考）不等式组的最小整数解是　 　．

【举一反三3-2】（2019 河南中考）不等式组的解集是　 　．

【举一反三3-3】（2019 湖北黄石中考）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．

【举一反三3-4】（2019天津中考）解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　 　；

（Ⅱ）解不等式②，得　 　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．

【举一反三3-5】（2019浙江温州中考）不等式组的解为　 　．

【考点4 一元一次不等式（组）的应用】

【解题技巧】（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．

②根据题中的不等关系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④写出符合题意的解．

【例4】（2019•哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；

（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；

（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？

【举一反三4-1】（2019•台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（　 　）

A．2150 B．2250 C．2300 D．2450

【举一反三4-2】（2015 .河北中考）水平放置的容器内原有210 mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.

(1)只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式；(不必写出x大的范围)

(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．

①求y与x小的函数关系式；(不必写出x小的范围)

②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？

【举一反三4-3】（2019 湖北孝感中考）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．

（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？

（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

【举一反三4-4】（2019 福建中考）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．

（1）求该车间的日废水处理量m；

（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．

三、【达标测试】

（一）选择题

1.（2019 云南中考）若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（　　 ）

A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2

2.（2019•日照）把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

3.（2019•广东佛山中考模拟）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（　　）

A．4 B． 5 C．6 D． 7

4.（2019 安徽中考）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（　　）

A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0

C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0

5.（2019 河北沧州中考模拟）已知点P（a+1，2a﹣3）在第一象限，则a的取值范围是（　　）

A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜ C．﹣＜a＜1 D．a＞

6.（2019 山东淄博中考模拟）数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，给出如下结论：

①[﹣x]＝﹣x；

②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；

③当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2；

④x＝﹣2.75是方程4x﹣2[x]+5＝0的唯一一个解．

其中正确的结论有（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

7.（2019 河北衡水中考模拟）一元一次不等式组的最大整数解是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

8.（2019 重庆中考）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）

A．0 B．1 C．4 D．6

（2）填空题

1.（2019•呼和浩特）对任意实数a，若多项式2b2﹣5ab+3a2的值总大于﹣3，则实数b的取值范围是　 　．

2.（2019•沈阳）二元一次方程组的解是　 　．

3.（2019辽宁绥中中考模拟）一辆公交车每月的支出费用为3000元，乘车平均票价为1.5元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元，当每月乘客量达到　　人以上时，该公交车才不会亏损．

4.（2019 山西大同中考模拟）已知m，n都是正整数，且是整数．若的最大值是a，最小值是b，则a+b＝　 　．

5.（2019 河南安阳中考模拟）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是　 　，小朋友的人数是　 　．

6.（2019 山东青岛中考模拟）某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得5分，答错或不答的题都扣3分．小亮获得二等奖（70～90分），则小亮答对了　 　道题．

7.（2019 河北张家口中考模拟）1月份，A型汽油均价为5.7元/升，B型汽油均价为6元/升，某汽车租赁公司购买这两种型号的汽油共支付40800元；2月份，这两种型号的汽油均价都上调了0.6元/升，该公司要购买与1月份A型汽油和B型汽油数量都相同的汽油就需多支付费用．

（1）若多支付的费用不超过4200元，那么该公司1月或2月最多可购买A型汽油 　升？

（2）3月份，该公司A型汽油的购买量在（1）小题中2月份最多购买量的基础上减少了m%，但A型汽油的均价在2月份的基础上上调了元，因此3月份支付A种型号汽油的费用与（1）小题中2月份支付最多数量A型汽油的费用相同，则m= 　．

8. （2019 山东济南中考模拟）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足

x+y＞2．求k的取值范围 　 ．

（3）解答题

1.（2019•南通）解不等式﹣x＞1，并在数轴上表示解集．

2.（2019•济南）解不等式组，并写出它的所有整数解．

3.（2019 辽宁大连中考）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.5厘米，每个铁环长4.6厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态

（1）填表：

（2）设n个铁环长为y厘米，请用含n的式子表示y；

（3）若要组成2.17米长的链条，至少需要多少个铁环？

4.（2019 河北沧州中考模拟）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：

某居民五月份用电190千瓦时，缴纳电费90元．

(1)求x和超出部分电费单价；

(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．

5.（2019•宁夏）解不等式组：．

6.（2019•青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．

（1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；

（2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？

7.（2019 河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．

（1）求A，B两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

8.（2019 广东中考）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．

（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？

（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？