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    常用微分公式

    时间：2020-07-18    下载该word文档
    §1-3 微分公式
    (甲基本函数的微分公式
    11dxndnx1nn1x,nN。 (1 =nx，nN 。 (2dxdxndc(3 =0，其中c为常数。(4(sinx/=cosx (5(cosx/=sinx
    dx另一种表示：证明：
    (2设a为f(x=nx定义域中的任意点， 则f /(a=lim (x=nxn/n1 1/1n1nx(x =
    n (c/=0 f(xf(a
    xaxan =limxanxnaxna=limn n1n2nn1nnnnxaxa(xa[(x(xa....(a] =1n(ann1=(a1n1nn= (a1n11n
    (4设a为任意实数，f(x=sinx
     f(xf(asinxsina= = xaxa2sinxaxacos22 xa2sinxaxacos22=cosa。 xa 计算f /(a= lim
    (1(3(5自证

    f(xf(a=lim(xaxaxa(乙导数的四则运算
    (1f(x与g(x为可微分的函数。f(x+g(x为可微分的函数。 且ddd(f(x+g(x= (f(x+ (g(x成立。 dxdxdx
    另一种表示：(f(x+g(x/=f /(x+g/(x
    证明：令h(x=f(x+g(x，设a为h(x定义域中的任一点 h/(a=lim
    xah(xh(af(xg(xf(ag(a =lim
    xaxaxa =lim(xaf(xf(ag(xg(af(xf(ag(xg(a + =lim(+lim(
    xaxaxaxaxaxa =f /(a+g/(a
    例：求d53(xx？
    dx推论：
    dxdf(xdf(xdf2(xn (f1(x+f2(x+...+fn(x = 1
    ddxdxdx(2设f(x为可微分的函数。cf(x为可微分的函数。 且(3ddf(xddf(x(cf(x=c，特别c= 1时，(f(x=。 dxdxdxdxg(x/=f /(xg/(x
    ddf(xdg(x，另一种表示：(f(x(f(xg(xdxdxdxdddd(4 (c1f1(x+c2f2(x+...+cnfn(x= c1(f1(x+c2(f2(x+...+cn(fn(x
    dxdxdxdx

    例如：(1    d (anxn+an1xn1+...+a1x+a0
    dx2x3+45x/ =
    (2(3x5

    (5f(x，g(x为可微分的函数。f(xg(x为可微分的函数。 且 (f(xddxddg(x= (f(xg(x+f(x (g(x
    dxdxg(x/=f /(xg(x+f(xg/(x
    另一种表示：(f(x
    证明：

    例如：试求

    下面我们要推导例2的一般情形： (a(bddf(xdf(xdf(x (f1(xf2(xf3(x=1f(x2f3(xf1(x2f3(xf1(xf2(x3dxdxdxdxddfdf(f1f2fn1f2fnf1f2n(逐次轮流微分 dxdxdxddf(x ((f(xnn(f(xn1dxdxd((x2x3(3x22x1?
    dx(c如果f1f2fnf，则可得例如：试求(x22x35的导数。

    dxrrxr1,rQ。 [例題1] 证明dx
    (6若f(x，g(x在x=a可微分，且g(a0，
    df(xf/(ag(af(ag/(a|xa 则(。
    dxg(x(g(a2f(x/f/(xg(xf(xg/(x 因此可得：(g(x(g(x2 若f(x=1，则(1/1g(x= (g(x2g/(x 例如：试求x21x2x1的导函数。


    例如：求(1x2+x+1/=？

    例如：设r为负有理数，证明dxrdxrxr1。

    结论：若设r为有理数，则dxrrxr1dx。 例題2] 求下列各函数的导函数：
    例題3] (1 (x2+2x(x2+3x+2 (2 (x23(x2 x2+x+1(4x3+x4(x+3 [[1 (3(
    3(x+12[例題4] (33 (4
    x+2x+1(x13[例題5] Ans：[例題6] (3(2[例題7] (4[例題8]

    x3+15x2+16x+4 (2(x22(5x24x3 x+1(4x3+x4(x+3+(x2+x+1(12x2+1(x+3+ (x2+x+1(4x3+x3(3x2+2(x+1(x+5(x3+2x+12 (5(x14
    4 (14
    [例題9]

    [例題10]

    [例題11] 请利用(sinx/=cosx，(cosx/=sinx的结果证明：
    [例題12] (tanx/=sec2x，(secx/=secxtanx
    [例題13]


    (練習1. 试求下列的导函数： (練習2. (1x36x2+7x11 (2(x3+3x2(2x+1 (3 (x+1(2x2+2(3x2+x+1 (4(2x3+x+15
    (練習3. Ans：(13x212x+7 (22(x3+3x(3x2+3(2x+1+2(x3+3x (3x2+x+1+ (x+1(2x2+2(6x+1 (練習4. (3 (2x2+2(3x2+x+1+(x+1(4x(練習5. (4 5(2x3+x+14(練習6.

    (練習7. 求下列各函数的导函数。
    (6x2+1 x3+x+13x11(練習8. (1f(x=2 (2f(x= 2 (3f(x= 3 (4f(x=3
    22x+x+3x+3x+14x+3x+2x+1x+2x+12x4+2x3+7x24x+23x2+3(練習9. Ans：(1 (22 (2x2+x+32(x+3x+121(練習10.
    (3 (4x3+3x2+2x+12(練習11.
    证明
    3x22(12x+6x+2 (43
    (x+2x+122dd(cotxcsc2x，(cscxcscxcotx dxdx(丙连锁法则
    (1合成函数：
    (a设f(xx2x1,g(y3y，则g(f(x3x2x1。 fgx2x13x2x1，(gf(x3x2x1 x 所以(gf(x为x的函数。 (bgffg

    (2连锁法则：既然(gf(x为x的函数，我们就可以讨论d(gf(x?
    dx
    例： 设f(xx22,g(xy3，则(gf(xg(f(x(x223 利用 ddf(x，可得 ((f(xnn(f(xn1dxdxddf(xd ((x2233(x222x=g(y|yx22dydxdx 上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。

    定理：(连锁法则 Chain Rule 若f(x,g(y都是可微分的函数，则合成函数(gf(x亦可微分， 而且

    [例題14] 求(3x2x1/
    ddg(ydf(x((gf(x|yf(x或(gf/(xg/(f(xf/(x。 dxdydx
    一般情形：nN，f(x可微分，求(nf(x/=？

    [例題15] 求f(x=sin2x的导函数。Ans：2sinxcosx
    [例題16] 求下列函数的导函数：
    [例題17] (1f(xtan3x
    [例題18] (2f(xcsc5x
    [例題19] (3f(xtan1x2

    [例題20] Ans：(13tanx2secx (225csc5xcot5x (3xsec21x21x2



    (練習12. 设n为正整数而f(x为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(xn的导函数。 (練習13. Ans：n(f(xn1f /(x
    4d541242(練習14. 求((x3xx5=Ans： (x3xx55 (4x3+6x1
    dx5(練習15. (xx1322/? Ans：2(2x13xx132
    (練習16. 求下列各小题y/ (練習17. (1yxsinx (2ycos3x (3y5cos(2x1 (練習18. (4ysinxcos4x (5y1sin2x (練習19. Ans：(1sinxxcosx (23cos2xsinx (310sin(2x1 (4cosxcos4x4sinxsin4x (5sinxcosx1sinx2
    (練習20. 计算下列各小题： (練習21. (1(x2x1 /= Ans：3x1 2x1233x5(3x6x
    (練習22. (2 (ddx2x+1= Ans：3x525
    x2+1x3(練習23. (3求f(x=的导函数。 Ans：f /(x = 223x+1(3x+1x+1(練習24. 设可微函数f(x满足f(/x1=x，则f /(0= Ans：2 x+1x4[例題21] 试求x1 (練習25. 试求4x1的导函数。 Ans：
    3543x14x(3x1(練習26. 求f(x=2xx1的导函数。 Ans：f(x=2 /x2x2122xx1x122

    (練習27. f(x42x2x132742，求f(3=
    32     /dy10210(練習28. 设y=(x+1+x，试求= Ans：(x+1+x
    dx1+x210(練習29.

    1[例題22] 求斜率为2，而与曲线y=f(x=x33121x+ 相切之直线方程式。 23[例題23] Ans：4x2y+3=0，2xy3=0

    132(練習30. 求过曲线y=f(x=x+x34(練習31. Ans：y+=(3(練習32. 求通过y=x31(x+1 3x24x7y2的点，而斜率最小的切线方程式。
    1上x=1处之切线与法线方程式。 50=0
    (練習33. Ans：7x+y=0，xx21(練習34. 函数f(x=2的图形上以(0,1为切点的切线斜率为 。Ans：1
    x+x+1[例題24] 设拋物线y=ax2+bx+c与直线7xy8=0相切于点(2,6，而与直线xy+1=0相切，
    [例題25] 求a,b,c之值。 Ans：a=3,b=5,c=4 (85 日大 自然
    [例題26]

    [例題27]

    [例題28]

    [例題29]


    [例題30]

    [例題31]

    [例題32]

    [例題33] 直角坐标上，给定一曲线：y=x3[例題34] Ans：3x+y1=0，15x4y50=0 [例題35]

    3x2，自点P(2,5向所作的切线方程式。

    [例題36]

    [例題37]

    [例題38]

    [例題39]

    [例題40]


    [例題41]

    [例題42]

    [例題43]

    [例題44]

    [例題45]


    (練習35. 过原点且与曲线y=x33x21相切之直线方程式。Ans：y=153x，y=x。
    4(練習36. 设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1，且与直线x(練習37. Ans：a=3，b=11，c=9
    y=3相切于(2,1。求a,b,c 之值
    [例題46] 设a,b,c为实数，已知二曲线y=x2+ax+b与y=x3+c在点A(1,2处相切，L为两曲线在A点的公切线，试求(1a,b,c (2求L的方程式。
    [例題47] Ans：(1a=5，b=2，c=1 (23[例題48]

    [例題49]

    x+y1=0
    [例題50]

    [例題51]

    [例題52]

    [例題53]

    (練習38. 拋物线：y=p(x的对称轴平行于y轴，且与x轴交于点(2,0，并在x=1时与函数y=x4+1的图形相切，试求p(x= Ans：p(x=6x2+16x8
    (練習39. 求y=x3(練習40.

    3x，y=x33x+32两曲线的公切线方程式。Ans：9xy+16=0
    (練習41. (練習42. (練習43. (練習44. (練習45. (練習46. (練習47. (練習48. (練習49.

    综合练习

    3dy1x3x5 /1f(x1. (1y2，求f(=(3f(x=x3(x3+5x10，求f /(x ，求dx= (221x4x12. Ans：(1 dydx33x512x240x324x214 (2543 (3 x35x933x9565x3
    (2x14x225 (3f(x23. 求下列各函数的导函数：(1f(x(x1 (2f(x(2
    (x15x13210x3(x21210x(x224'4. Ans：(1f(x(2f(x
    3(x216'(2x13(810x12x25. (3f(x 26(x1'6. 试求下列个函数的导函数：(1f(xsinx (2f(xcosx(2x2(3f(xtan1 x(4f(xsin(x21(5f(xsin2(x3 (6f(xtan2xsec2x
    7. (7f(x1cos2x (8f(xsin2xcosx
    8. Ans：(1cosxsinx212x(22cosx(31x2secx(42xcos(x21 9. (56x2sin(x3cos(x3 (60 (7sin2xx21cos2x (8sinxsec2sinx
    (1设f(xax21，若f /(1=2，则a= (2设f(x2x1，则 /1353x5f(2 = Ans：(12 (210 设yu34，ux22x，求dydx= Ans：6x2(x22(x1 求f(x(x212在(1,0的切线方程式与法线方程式。Ans：y=0,x=1
    yx2 曲线x3x1在x= 1处之切线方程式。Ans：2x+y+3=0
    设f(x=x3+ax2+b，a,bR，若y=f(x之图形通过点(1,4且在此点的斜率为a,b 之值为何 Ans:a=3,b=6 若直线y=x与曲线y=x33x2+ax相切，试求a= Ans：a=1或134 过点(2,23，且与曲线y13x3x相切的直线有几条其斜率分别为何？ Ans：(13 (20，323
    3，则求10.11.12.13.14.15.16.17.18.

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