最短距离小蚂蚁问题

1．如图，一只蚂蚁从点word/media/image2.gif出发沿着水平面的线条爬行到点word/media/image2.gif，再由点word/media/image2.gif沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点word/media/image2.gif，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条

A．40 B．60 C．80 D．120

2．如图，长方体的底面边长分别为8cm和4cm，高为7cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 13cm．（ ）

A. 31 B. 27 C. 25 D. 23

3．一只蚂蚁从长方体word/media/image4.gif的顶点word/media/image5.gif出发，沿着长方体的表面到达顶点word/media/image6.gif的最短距离为6，则长方体体积的最大值为（ ）

A．24 B．word/media/image7.gif C．word/media/image8.gif D．word/media/image9.gif

4．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为word/media/image11.gif和word/media/image12.gif，高为word/media/image13.gif，AD，BC是圆台的两条母线（四边形word/media/image14.gif是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（　 ）

A．word/media/image16.gif B．word/media/image17.gif C．word/media/image18.gif D．word/media/image19.gif

5．如图，圆锥的底面直径word/media/image20.gif，母线长word/media/image21.gif，点word/media/image22.gif在母线word/media/image23.gif上，且word/media/image24.gif，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点word/media/image25.gif到达点word/media/image22.gif，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）

A．word/media/image26.gif B．word/media/image27.gif C．word/media/image28.gif D．word/media/image28.gif

6．一圆台的上底半径为word/media/image29.gif，下底半径为word/media/image30.gif，母线word/media/image2.gif为word/media/image31.gif.现有一蚂蚁从下底面圆周的word/media/image2.gif点，绕圆台侧面（即要求与圆台的每条母线均相交）向上底面圆周的word/media/image2.gif点爬行一圈，则此蚂蚁爬行的最短路线是（ ）

A．word/media/image32.gif B．word/media/image33.gif C．word/media/image34.gif D．word/media/image35.gif

7．已知圆锥的母线长为word/media/image36.gif，圆锥的底面半径为word/media/image37.gif，一只蚂蚁从圆锥的底面word/media/image5.gif点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点word/media/image5.gif,则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ）

A．word/media/image38.gif B．word/media/image39.gif C．word/media/image40.gif D．word/media/image41.gif

word/media/image42.gif8．已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为（ ）

A.8cm B.5word/media/image43.gifcm C.10cm D.5πcm

9． 如图正三棱柱word/media/image45.gif的底面边长为word/media/image43.gif，高为2，

一只蚂蚁要从顶点word/media/image5.gif沿三棱柱的表面爬到顶点word/media/image46.gif，若侧面

word/media/image47.gif紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（ ）

A．word/media/image49.gif B．word/media/image50.gif C． 4 D．word/media/image51.gif

10．如图，正三棱柱word/media/image52.gif的侧棱长为word/media/image53.gif，底面边长为word/media/image54.gif，一只蚂蚁从点word/media/image25.gif出发沿每个侧面爬到word/media/image55.gif，路线为word/media/image56.gif，则蚂蚁爬行的最短路程是（）

A．word/media/image57.gif B．word/media/image58.gif

C．word/media/image59.gif D．word/media/image60.gif

11．如图是放置在桌面的某三棱柱的三视图，其中网格小正方形边长为1.若三棱柱表面上的word/media/image2.gif、word/media/image2.gif两点在三视图中的对应点为word/media/image2.gif、word/media/image2.gif，现一只蚂蚁要沿该三棱柱的表面（不包括下底面）从word/media/image2.gif爬到word/media/image2.gif，则所有路径里最短路径的长度为（ ）

A．word/media/image63.gif B．word/media/image64.gif C．word/media/image65.gif D．word/media/image66.gif

12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为（ ）

A．word/media/image67.gif B．word/media/image68.gif C．word/media/image69.gif D．word/media/image70.gif

word/media/image71.gif13．如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ）

A．word/media/image72_1.png B．word/media/image73.gif C．word/media/image74.gif D．word/media/image75.gif

14．如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，word/media/image2.gif是word/media/image2.gif的中点，现有一只蚂蚁位于外壁word/media/image2.gif处，内壁word/media/image2.gif处有一粒米，则这只蚂蚁按如图路线取得米粒的所经过的最短路程是____________

15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为word/media/image78.gif．则该长方体外接球的表面积为_____．

16．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面爬行一周又回到A点，它爬行的最短路线长是_______ _

17．已知圆锥的母线长度为2，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为2，则此圆锥的底面圆半径为__________．

18．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点word/media/image25.gif出发沿该几何体的侧面环绕一周回到点word/media/image25.gif，则蚂蚁所经过路程的最小值为__________．

19．已知侧棱长为2的正三棱锥word/media/image82.gif如图所示，其侧面是顶角为word/media/image83.gif的等腰三角形，一只蚂蚁从点word/media/image5.gif出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点word/media/image5.gif，则蚂蚁爬行的最短路程为_______．

20．已知正方形word/media/image2.gif的边长为2，边word/media/image84.gif分别为圆柱上下底面的直径，若一蚂蚁从点word/media/image2.gif沿圆柱的表面爬到点word/media/image2.gif，则该蚂蚁所走的最短路程为 ．

21．已知棱长为word/media/image86.gif的正方体word/media/image87.gif，word/media/image2.gif为棱word/media/image2.gif中点，现有一只蚂蚁从点word/media/image88.gif出发，在正方体word/media/image87.gif表面上行走一周后再回到点word/media/image89.gif，这只蚂蚁在行走过程中与平面word/media/image90.gif的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为__________．

22．已知长方体word/media/image91.gif的棱长分别为3、4、5，一只蚂蚁由长方体的顶点word/media/image92.gif出发，沿长方体表面爬行到点word/media/image2.gif，则蚂蚁爬行的最短路程长为________．

23．一个正 word/media/image93.gif 的每一个角各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择，则蚂蚁不相撞的概率是__________．

24．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

25．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中），两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求，的值．

26．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8word/media/image101.gif，圆环的圆心word/media/image102.gif距离地面的高度为10word/media/image103.gif，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点word/media/image104.gif处.

（1）试确定在时刻word/media/image105.gif（word/media/image106.gif）时蚂蚁距离地面的高度word/media/image107.gif；

（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14word/media/image103.gif？

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：蚂蚁从word/media/image109.gif到word/media/image109.gif需要走五段路，其中三纵二竖，共有word/media/image110.gif条路径，从word/media/image109.gif到word/media/image109.gif共有word/media/image111.gif条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从word/media/image109.gif到word/media/image109.gif可以爬行的不同的最短路径有word/media/image112.gif条，故选B.

考点：分步计数乘法原理.

2．C

【解析】

试题分析：由侧面展开图可知，最短路径为word/media/image113.gif，故选C.

考点：几何体的侧面展开图.

3．C

【解析】

试题分析：根据蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短，设长、宽、高分别是a、b、c，则word/media/image114.gif，word/media/image115.gif 当且仅当word/media/image116.gif时取等号.

考点：长方体侧面展开图；基本不等式.

4．A

【解析】

沿母线word/media/image118.gif剪开并展开如图，因为圆台容器的上，下底面半径分别为word/media/image119.gif，高为word/media/image120.gif，设展开图的圆心角为word/media/image121.gif经过的最短路为word/media/image16.gif，故选A。

5．B

【解析】

试题分析：在圆锥侧面的展开图中，word/media/image122.gif，所以word/media/image123.gif，所以word/media/image124.gif，由余弦定理得：word/media/image125.gif，所以word/media/image126.gif，所以这只蚂蚁爬行的最短距离是word/media/image127.gif，故选B．

考点：圆锥的侧面展开图．

6．A

【解析】

【详解】

设圆台上，下底面半径分别是word/media/image129.gif，word/media/image109.gif，圆台侧面展开图扇环的圆心角是word/media/image109.gif.易得

word/media/image131.gif，

word/media/image132.gif.

所求最短距离应是切线word/media/image109.gif和弧word/media/image133.gif的长的和.

word/media/image134.gif.

由于word/media/image135.gif，所以word/media/image136.gif，从而word/media/image137.gif.即弧word/media/image138.gif.

所以最短距离是word/media/image139.gif.

故答案为：A

7．B

【解析】word/media/image140.gif母线长为word/media/image36.gif

word/media/image141.gif展开扇形的圆心角为word/media/image142.gif

word/media/image141.gif最短路程为word/media/image143.gif

故答案选word/media/image144.gif

8．B

【解析】

试题分析：最短路程就是展开图中线段word/media/image145.gif的长度，word/media/image146.gif,根据余弦定理word/media/image145.gifword/media/image147.gifcm,故选B.

考点：旋转体

9．A

【解析】

试题分析：正三棱柱word/media/image150.gif的侧面部分展开如图（1）（2）所示：

连结word/media/image151.gif与word/media/image152.gif交于点word/media/image153.gif，则爬行的最短路程是沿着word/media/image154.gif爬行，在三角形word/media/image155.gif中：word/media/image156.gif；

连结word/media/image151.gif，过word/media/image157.gif作word/media/image158.gif的垂线如图所示，则word/media/image159.gif，word/media/image160.gif

所以word/media/image161.gif；综上可知爬行的最短路程是word/media/image162.gif，因此选A．

考点：正三棱柱侧面展开图．

10．A

【解析】

【分析】

画出棱柱的侧面展开图，由图可得最短距离为对角线word/media/image163.gif的长，利用勾股定理即可求.

【详解】

正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为word/media/image164.gif，宽为word/media/image165.gif，则其对角线word/media/image163.gif的长为最短程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为word/media/image166.gif.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用侧面展开图求最短路程，掌握把空间图形展开转化为平面图形的解决方法，是基础题．

11．A

【解析】

【分析】

将所经过的2个表面展开到同一个平面时连结这两点所得线段，分4种情况计算线段长度即可判断。

【详解】

由三视图可得该三棱柱侧棱垂直于底面，底面为等腰直角三角形，且侧棱长为4，底面斜边长为4，word/media/image109.gif为下底面一顶点，word/media/image109.gif为上底面一直角边中点，如图所示.因word/media/image109.gif、word/media/image109.gif不在同一表面，故在表面上从word/media/image109.gif到word/media/image109.gif的所有路径中，至少要经过2个表面，且在每个表面里走直线最短，所以将所经过的2个表面展开到同一个平面时连结这两点的线段最短，共有下列4种情况如图：

图（1）可得最短word/media/image169.gif；图（2）可得最短word/media/image170.gif；图(3)可得word/media/image171.gif，word/media/image172.gif，则最短word/media/image169.gif；图（4）可得最短word/media/image173.gif.显然按图（1）、（3）路径走更短，且最短路径为word/media/image174.gif.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了三视图还原及转化思想，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题。

12．B

【解析】该树枝的树梢有6处，共有2处能找到食物，所以获得食物的概率为word/media/image175.gif.

故选B.

13．D．

【解析】

试题分析：由题意得，阴影部分的面积为word/media/image176.gif，根据几何概型，可知所求概率为

word/media/image177.gif．

考点：几何概型求概率．

14．word/media/image178.gif

【解析】

【分析】

画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．

【详解】

侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，

使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，

令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为word/media/image178.gif．

故答案为：word/media/image178.gif．

【点睛】

本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，考查转化思想，计算能力，是基础题．

15．word/media/image180.gif

【解析】

把长方体的侧面word/media/image181.gif和侧面word/media/image182.gif沿word/media/image181.gif展开，使两个平面共面，连接word/media/image183.gif，小蚂蚁所爬的最短距离为word/media/image184.gif，word/media/image185.gif ，设长方体外接球的半径为word/media/image109.gif，则word/media/image186.gif，该长方体外接球的表面积为word/media/image187.gif.

16．word/media/image188.gif

【解析】

试题分析：根据题意可知，底面半径为1，母线长为4的圆锥，那么一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面爬行一周又回到A点，，那么将圆锥侧面展开，那么它运行的距离的最小值就是展开图中扇形的两个端点的连线段的长度，那么由于展开后的扇形的弧长为word/media/image40.gif，半径为4，圆心角为word/media/image189.gif，则利用勾股定理可知弧端点的连线段就是直角三角形的斜边长为word/media/image188.gif，故答案为word/media/image188.gif。

考点：本试题主要是考查了侧面展开图的运用。

点评：解决该试题的关键是利用已知的圆锥曲线的侧面展开图的扇形，来分析距离的最值问题。利用两点之间线段最短的原理来分析得到，属于基础题。

17．word/media/image68.gif

【解析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即word/media/image191.gif的长是蚂蚁爬行的最短路程，
∵圆锥word/media/image192.gif的母线word/media/image193.gif的长度为2，一只蚂蚁从点word/media/image144.gif绕着圆锥侧面爬回点word/media/image144.gif的最短距离为2， word/media/image194.gif

设圆锥word/media/image192.gif的底面半径为word/media/image195.gif，则word/media/image196.gif

故答案为word/media/image68.gif

18．word/media/image197.gif

【解析】

【分析】

由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，再根据一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，利用余弦定理求出蚂蚁所经过路程的最小值．

【详解】

由题目所给三视图可知该几何体为圆锥的一半，展开图如图所示，依题意，蚂蚁经过的路程的最小值为线段AM的长度，因为PA=PB=2,侧面展开图的半径为2，弧长为π，

∴圆心角为word/media/image198.gif，因为word/media/image199.gif,所以word/media/image200.gif,在word/media/image201.gif中，根据余弦定理知 蚂蚁所经过路程的最小值为word/media/image202.gif．

故答案为：word/media/image203.gif．

【点睛】

本题考查蚂蚁所经过路程的最小值，考查立体图形转为平面图形以及余弦定理的应用，考查学生的计算能力．

19．word/media/image205.gif

【解析】

试题分析：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为word/media/image206.gif，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为word/media/image207.gif。

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题

20．

【解析】

试题分析：最短路程为半个侧面展开图，两点间的距离，半圆周长等于，所以

考点：圆柱的侧面展开图

21．word/media/image212.gif

【解析】分析：由题可知，蚂蚁在正方体word/media/image213.gif表面上行走一周的路线构成与平面word/media/image214.gif平行的平面，且围成的图形为菱形，从而求得答案.

详解：由题可知，蚂蚁在正方体word/media/image213.gif表面上行走一周的路线构成与平面word/media/image214.gif平行的平面，

设word/media/image109.gif、word/media/image109.gif分别为word/media/image109.gif、word/media/image181.gif中点，连接word/media/image215.gif，word/media/image109.gif，word/media/image109.gif和word/media/image183.gif，

则word/media/image216.gif为蚂蚁的行走轨迹.

word/media/image217.gif正方体word/media/image213.gif的棱长为2，

易得word/media/image218.gif，word/media/image219.gif，word/media/image220.gif，

word/media/image221.gif四边形word/media/image222.gif为菱形，word/media/image223.gif

故答案为word/media/image212.gif.

点睛：本题考查面面平行和正方体截面问题的应用，正确理解与平面的距离保持不变的含义是解题关键.

22．word/media/image225.gif

【解析】

【分析】

展开侧面，利用两点距离，直线最短，计算长度，即可。

【详解】

第一种情况:将长方体侧面展开，如图：

结合最短路程，两点间直线最短，即为word/media/image227.gif

则最短路程word/media/image228.gif

第二种情况:将长方体侧面展开,如图:

结合最短路程,两点间直线最短,即为word/media/image227.gif

则最短路程word/media/image230.gif

第三种情况:将长方体侧面展开,如图:

结合最短路程,两点间直线最短,即为word/media/image227.gif

则最短路程word/media/image232.gif

比较以上三种情况可知最短距离为word/media/image225.gif.

【点睛】

本道题考查了立体几何计算最短路程问题，关键展开侧面，计算距离，难度中等。

23．word/media/image233.gif

【解析】如图：

设三只蚂蚁分别为A、B、C，每只蚂蚁只能爬向另一只蚂蚁，列树状图得：

共8种情况，蚂蚁不相撞的情况数有2种，所以概率

为word/media/image233.gif.

24．word/media/image236.gif

【解析】试题分析：将圆柱侧面展开得到一个矩形，根据两点之间线段最短，求出对角线长即可．

试题解析：

把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．

因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.

所以AB′＝＝＝2，

所以蚂蚁爬行的最短距离为2.

点睛：本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，需要掌握圆柱的结构特征，要有一定的空间思维能力．

25．word/media/image241.gif，word/media/image242.gif

【解析】根据题意可知：word/media/image243.gif均为word/media/image244.gif的整数倍，故可设word/media/image245.gif，word/media/image246.gif，从而可知word/media/image247.gif，word/media/image248.gif，word/media/image249.gif．

又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则word/media/image250.gif为第二象限角．

又word/media/image251.gif，从而可得word/media/image252.gif，

因此word/media/image250.gif均为钝角，即word/media/image253.gif．

于是word/media/image254.gif．

∴word/media/image255.gif，word/media/image256.gif，

即word/media/image257.gif．又∵word/media/image258.gif，∴word/media/image259.gif，从而可得word/media/image260.gif．

即word/media/image241.gif，word/media/image242.gif.

考点：象限角及其应用.

26．（1）word/media/image261.gif（2）有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．

【解析】试题分析：

（1）先确定点P咋t分钟内所转过的角，从而可得到点P的纵坐标，由此可得在时刻word/media/image105.gif时蚂蚁距离地面的高度word/media/image262.gif，（2）根据（1）中的关系式解三角不等式可得word/media/image105.gif的取值范围，进而可得所求时间．

试题解析：

（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，

则点P在t分钟内所转过的角为=，

所以以Ox为始边，OP为终边的角为的大小为+，

故P点的纵坐标为8sin（+），

则h=8sin（+）+10=10﹣8cos，

∴在时刻word/media/image105.gif时蚂蚁距离地面的高度word/media/image262.gif=10﹣8cos（t≥0）．

（2）由（1）知h=10﹣8cos

令10﹣8cos≥14，可得cos≤﹣，

∴（k∈Z），

解得word/media/image270.gif，

又word/media/image271.gif，

∴4≤t≤8．

即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．