2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.

1．设集合M={0，1，2}，则（　　）

A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M

2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2

3．cos150°的值等于（　　）

A． B． C． D．

4．函数f（x）=ln的定义域是（　　）

A．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1]

5．若3x=2，则x=（　　）

A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．

6．设向量=（x，1），=（1，y），若•=0，则（　　）

A．||＞|| B．||＜|| C．||=|| D． =

7．设x0为方程2x+x=8的解．若x0∈（n，n+1）（n∈N*），则n的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（　　）

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

9．已知向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，则向量，的夹角为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

10．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（　　）

A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣

C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1

11．若a＞0且a≠1，则函数y=ax与y=loga（﹣x）的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

12．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0，]恒成立，则实数a的最大值是（　　）

A．2 B． C．2 D．3

14．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（　　）

A．[2+，8] B．[2+，+∞） C．[2，+∞） D．[2+，4]

15．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|的最大值是（　　）

A． +1 B． +2 C． +1 D． +2

二、填空题：本大题共8个小题，每小题6分.共36分.

16．若集合A={x|x2﹣x≥0}，则A=　　　　　　；∁R（A）=　　　　　　．

17．若10x=2，10y=3，则103x﹣y=　　　　　　．

18．若扇形的半径为π，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于　　　　　　；面积等于　　　　　　．

19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为　　　　　　，单调递减区间为　　　　　　．

20．设α、β∈（0，π），sin（α+β）=，tan=，则tanα=　　　　　　，tanβ=　　　　　　．

21．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为　　　　　　．

22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为　　　　　　．

23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为　　　　　　．

三、解答题：本大题共2小题，共719分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24．在△ABC中，||=c，||=b．

（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=，求||；

（Ⅱ）若||=2，与的夹角为，则当||取到最大值时，求△ABC外接圆的面积．

25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0，b，c∈R），若f（1+x）=f（1﹣x），f（x）的最小值为﹣1．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D，是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

2015-2016学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.

1．设集合M={0，1，2}，则（　　）

A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M

【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】根据集合中元素的确定性解答．

【解答】解：由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．

∴A选项1∈M，正确；B选项2∉M，错误；C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；

故选：A．

2．若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2

【考点】不等关系与不等式．

【分析】利用一元一次不等式的解法即可得出．

【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，

∴m＞0，，因此，解得m=1．

故选：C．

3．cos150°的值等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】把所求式子中的角150°变为180°﹣30°，利用诱导公式cos=﹣cosα化简后，再根据特殊角的三角函数值即可求出值．

【解答】解：cos150°

=cos

=﹣cos30°

=﹣．

故选D

4．函数f（x）=ln的定义域是（　　）

A．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，1]

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据二次根式以及对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．

【解答】解：由题意得：1﹣x2＞0，解得：﹣1＜x＜1，

故函数的定义域是（﹣1，1），

故选：A．

5．若3x=2，则x=（　　）

A．lg3﹣1g2 B．lg2﹣1g3 C． D．

【考点】指数式与对数式的互化．

【分析】由 3x=2，根据指数式与对数式的互化关系可得 x=log32，再利用换底公式化为．

【解答】解：∵3x=2，由指数式与对数式的互化关系可得 x=log32=，

故选D．

6．设向量=（x，1），=（1，y），若•=0，则（　　）

A．||＞|| B．||＜|| C．||=|| D． =

【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】根据向量的数量积和向量的模即可判断．

【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），•=0，

∴•=x+y=0，

∴||=，||=，

∴||=||，

故选：C．

7．设x0为方程2x+x=8的解．若x0∈（n，n+1）（n∈N*），则n的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】函数的零点与方程根的关系．

【分析】由题意可得+x0﹣8=0．令f（x）=2x+x﹣8=0，由f（2）＜0，f（3）＞0，可得x0∈（2，3）．再根据x0∈（n，n+1）（n∈N*），可得n的值．

【解答】解：∵x0为方程2x+x=8的解，∴+x0﹣8=0．

令f（x）=2x+x﹣8=0，∵f（2）=﹣2＜0，f（3）=3＞0，∴x0∈（2，3）．

再根据x0∈（n，n+1）（n∈N*），可得n=2，

故选：B．

8．要得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象，只需将函数g（x）=2sin（2x+）的图象（　　）

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，左加右减可得答案．

【解答】解：∵f（x）=2sin（2x﹣）=2sin[2（x﹣）]，

∴g（x）=2sin（2x+）

=2sin[2（x+）]

=2sin[2（x﹣++）]

=2sin[2（x﹣+）]=f（x+），

∴将函数g（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象．

故选：C．

9．已知向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，则向量，的夹角为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】首先由已知的等式展开得到两个向量的模压机数量积的等式，求出两个向量的数量积，利用数量积公式求夹角．

【解答】解：因为向量，满足||=4，||=3，且（2﹣3）•（2+）=61，所以4，

即64﹣27﹣4=61，所以=﹣6，所以cosθ=，所以θ=120°；

故选：C．

10．当时，函数f（x）=sinx+cosx的（　　）

A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣

C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．

【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx

=2（sinx+cosx）

=2sin（x+），

∵，

∴f（x）∈[﹣1，2]，

故选D

11．若a＞0且a≠1，则函数y=ax与y=loga（﹣x）的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【分析】直接根据指数和对数函数的图象和性质即可判断．

【解答】解：当a＞1时，由y=loga（﹣x）可知函数的定义域为x＜0，且函数单调递减，y=ax单调递增，

当0＜a＜1时，由y=loga（﹣x）可知函数的定义域为x＜0，且函数单调递增，y=ax单调递减，

故选：B．

12．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（　　）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

【考点】向量的线性运算性质及几何意义．

【分析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法则即可得出．

【解答】解：∵G是△ABC的重心， =﹣×， =， =，

又a+b+c=，

∴（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）=，

∴a﹣b=a﹣c=b﹣c，

∴a=b=c．

∴△ABC的形状是等边三角形．

故选：B．

13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0，]恒成立，则实数a的最大值是（　　）

A．2 B． C．2 D．3

【考点】三角函数的最值．

【分析】利用换元法令t=sinx，不等式可整理为t2﹣at+2≥0恒成立，得，利用分离常数法求出实数a的最大值即可．

【解答】解：设t=sinx，∵x∈（0，]，∴t∈（0，1]，

则不等式即为t2﹣at+2≥0在t∈（0，1]恒成立，

即在t∈（0，1]恒成立，

∴a≤3．

故选：D．

14．函数f（x）=（++2）（+1）的值域是（　　）

A．[2+，8] B．[2+，+∞） C．[2，+∞） D．[2+，4]

【考点】函数的值域．

【分析】容易得出f（x）的定义域为[﹣1，1]，并设，两边平方，根据x的范围即可求出，且得出，从而得出，求导，根据导数在上的符号即可判断函数在上单调递增，从而得出y的范围，即得出函数f（x）的值域．

【解答】解：f（x）的定义域为[﹣1，1]；

设，则；

∵﹣1≤x≤1；

∴0≤1﹣x2≤1，；

∴2≤t2≤4；

∴，且，设y=f（x）；

∴；

∴，令y′=0得，，或0；

∴在上单调递增；

∴时，y取最小值，t=2时，y取最大值8；

∴；

∴原函数的值域为．

故选A．

15．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|的最大值是（　　）

A． +1 B． +2 C． +1 D． +2

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由直角三角形可知O为斜边AC的中点，于是++=2+=3+，所以当和同向时，模长最大．

【解答】解：设直角三角形的斜边为AC，∵直角△ABC内接于单位圆O，

∴O是AC的中点，

∴|++|=|2+|=|3+|，

∴当和同向时，|3+|取得最大值|3|+||=+1．

故选：C．

二、填空题：本大题共8个小题，每小题6分.共36分.

16．若集合A={x|x2﹣x≥0}，则A=　（﹣∞，0]∪[1，+∞）　；∁R（A）=　（0，1）　．

【考点】补集及其运算．

【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R求出A的补集即可．

【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，

解得：x≤0或x≥1，即A=（﹣∞，0]∪[1，+∞），

则∁RA=（0，1），

故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）；（0，1）

17．若10x=2，10y=3，则103x﹣y=　　．

【考点】对数的运算性质．

【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．

【解答】解：∵10x=2，10y=3，

∴103x﹣y=103x÷10y=（10x）3÷10y=23÷3=，

故答案为：

18．若扇形的半径为π，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于　　；面积等于　π3　．

【考点】扇形面积公式；弧长公式．

【分析】利用扇形的弧长公式，面积公式即可直接计算得解．

【解答】解：设扇形的弧长为l，扇形的面积为S，

∵圆心角大小为α=（rad），半径为r=π，

∴则l=rα==，扇形的面积为S=××π=π3．

故答案为：，π3．

19．函数f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx（x∈R）的最小正周期为　π　，单调递减区间为　　．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．

【分析】根据二倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出函数的最小正周期；由正弦函数的减区间、整体思想求出f（x）的单调递减区间．

【解答】解：由题意得，f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx

=cos2x+sin2x=，

∴最小正周期T==π，

由得，

，

∴函数f（x）的单调递减区间是，

故答案为：π；．

20．设α、β∈（0，π），sin（α+β）=，tan=，则tanα=　　，tanβ=　﹣　．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】解：∵tan=，α∈（0，π），

∴tanα==＞1，

∴α∈（，），

∴cosα==，sinα==，

∵sin（α+β）=＜，

∴α+β∈（，π），

∴cos（α+β）=﹣，

则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣，

∴sin=，tan=﹣．

故答案为：，﹣．

21．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则•﹣的最小值为　1　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】建立平面直角坐标系，求出各向量的坐标，代入向量的数量积公式得出关于P点横坐标a的函数，利用二次函数的性质求出最小值．

【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：

则A（0，0），B（2，0），C（2，1），设P（a，1）（0≤a≤2）．

=（﹣a，﹣1），=（2﹣a，﹣1），=（0，1），

∴•﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．

∴当a=1时， •﹣取得最小值1．

故答案为：1．

22．不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为　（﹣∞，2）　．

【考点】函数恒成立问题．

【分析】问题转化为2a≤lg（x2+100）﹣siny，令z=lg（x2+100）﹣siny，根据对数函数和三角函数的性质求出z的最小值，从而求出a的范围即可．

【解答】解：不等式lg（x2+100）≥2a+siny对一切非零实数x，y均成立，

∴2a≤lg（x2+100）﹣siny，

令z=lg（x2+100）﹣siny，则z≥lg100﹣1=9，

∴2a≤9，解得：a≤2

则实数a的取值范围为（﹣∞，2）．

23．函数f（x）=（x2﹣ax+2a）ln（x+1）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为　（﹣，0）　．

【考点】函数的图象．

【分析】讨论当x＞0，和x＜0时，函数g（x）=x2﹣ax+2a的取值情况，利用参数分离法进行求解即可．

【解答】解：函数的定义域为（﹣1，+∞），设g（x）=x2﹣ax+2a，

若﹣1＜x＜0，ln（x+1）＜0，此时要求g（x）在﹣1＜x＜0经过二、三，

即此时，即，此时﹣＜a＜0，

当x=0时，f（0）=0，此时函数图象过原点，

当x＞0时，ln（x+1）＞0，此时要求g（x）经过一四象限，

即x＞0时，x2﹣ax+2a＜0，有解，

即a（x﹣2）＜x2有解，

当x=2时，不等式等价为0＜4，成立，

当0＜x＜2时，a＞，∵此时＜0，∴此时a＜0，

当x＞2时，不等式等价为a＜，

∵==（x﹣2）++4

≥4+2=4+2×2=4+4=8，

∴若a＜有解，则a＞8，

即当x＞0时，a＜0或a＞8，

综上{a|﹣＜a＜0}∩{a|a＜0或a＞8}={a|﹣＜a＜0}=（﹣，0），

故答案为：（﹣，0）．

三、解答题：本大题共2小题，共719分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

24．在△ABC中，||=c，||=b．

（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=，求||；

（Ⅱ）若||=2，与的夹角为，则当||取到最大值时，求△ABC外接圆的面积．

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．

【分析】（1）求出cosA，利用余弦定理得出a；

（2）利用正弦定理得出外接圆半径，从而得出外接圆的面积．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinA=，∴cosA=．

由余弦定理得：||2=a2=b2+c2﹣2bccosA=9+25±18．

∴a2=16或52．

∴||=4或2．

（2）由题意可知A=，a=2．

由正弦定理得，∴R=．

∴△ABC的外接圆的面积S==．

25．设函数f（x）=x2+bx+c（a≠0，b，c∈R），若f（1+x）=f（1﹣x），f（x）的最小值为﹣1．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D，是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

【考点】二次函数的性质．

【分析】（Ⅰ）根据函数的对称轴求出b的值，根据函数的最小值求出c的值，从而求出函数的解析式即可；

（Ⅱ）分别求出|AB|﹣|CD|，|CB|，得到不等式（2+）＜，解出即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（1+x）=f（1﹣x），

∴函数的对称轴是x=1，即﹣=1，解得：b=﹣2；

∵f（x）的最小值是﹣1，∴=﹣1，解得：c=0，

∴f（x）=x2﹣2x；

（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，则0＜t＜1，

易知xA=1﹣，xB=1﹣，xC=1+，xD=1+，

∴|AB|﹣|CD|=﹣，|CB|=2，

∴线段|AB|，|BC|，|CD|能构成等腰锐角三角形，

∴|BC|≤|AB|，即2＜（﹣），

即（2+）＜•，

解得：＜t＜1．

2016年8月26日