3．4～3.5直线与平面的垂直关系__平面的法向量

[读教材·填要点]

1．射影

(1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影．

(2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影．

2．三垂线定理及其逆定理

(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．

3．平面的法向量

与平面α垂直的非零向量称为α的法向量．

[小问题·大思维]

1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？

提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的．

2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？

提示：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，

(1,1,1)·(1，－1，0)＝0，

而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α.

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.

[自主解答]　设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)．

＝(－1，－1,1)，＝(0,2，2)，＝(－2,2,0)．

∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，

·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，

∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，

∴EF⊥平面B1AC.

利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直．

1．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1，AB＝2AD，点E是线段C1D1的中点，求证：DE⊥平面EBC.

证明：建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，设AD＝1，则AA1＝1，AB＝2，则可得D(0,0,0)，E(0,1,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，

＝(0,1,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,1，－1)，

因为·＝1－1＝0，

·＝1－1＝0，

所以DE⊥EB，DE⊥EC，

又EB∩EC＝E，所以DE⊥平面EBC.

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF的法向量．

[自主解答]　以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则G，E，F，

∴＝，

＝.

设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则

即

令y＝z＝1，则x＝1，

∴平面GEF的一个法向量为(1,1,1)．

本例条件不变，求平面A1EFC1的法向量．

解：A1(a,0，a)，E，F，

∴＝，＝.

设平面A1EFC1的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

令y＝2，z＝1，则x＝2.

∴平面A1EFC1的一个法向量为(2,2,1)．

求平面法向量的一般步骤为：

(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)；

(2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；

(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量．

2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面ABC的一个法向量．

解：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．

∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，

∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)，

由题设得：

即解得

取y＝1，则x＝2.

故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)．

如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关系．

[自主解答]　设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D­xyz.

则B(1,1,0)，A1(1,0,1)，

M，N，

∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，

＝.

设平面A1BD的一个法向量为n0＝(x，y，z)，

则

即

取x＝1，则y＝z＝－1，

∴n0＝(1，－1，－1)．

∴n0＝－2，即n0∥.

∴MN⊥平面A1BD.

利用法向量证明线面垂直，即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线面垂直．解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量．

3．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为棱BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?

解：如图，建立空间直角坐标系，则

A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，

M，

假设存在P(0,0，x)满足条件，

则＝(1,0，－x)，＝(－1,1,0)．

设平面PAC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，

则由得

令x1＝1得y1＝1，z1＝，即n＝，

由题意∥n，由＝得x＝2，

∵正方体棱长为1，且2＞1，

∴棱DD1上不存在点P，使MD⊥平面PAC.

解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路

如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．

求证：平面ADE⊥平面A1FG.

[巧思]　利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

[妙解]　法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体棱长为1.

∴D(0,0,0)，E，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，G，F.

∴＝，＝，＝(－1,0,0)．

∴·＝0＋－＝0，·＝0＋0＋0＝0.

∴⊥，⊥，

即AE⊥A1G，AE⊥GF，

又A1G∩GF＝G，

∴AE⊥平面A1GF.

∵AE⊂平面ADE，

∴平面ADE⊥平面A1GF.

法二：建立坐标系如法一．

设平面AED的法向量为n＝(x1，y1，z1)．

平面A1GF的法向量为m＝(x2，y2，z2)．

则n⊥，n⊥，

∴

取z1＝2，则n＝(0，－1,2)．

由m⊥，m⊥得

取z2＝1，则m＝(0,2,1)．

∵m·n＝0－2＋2＝0，∴m⊥n.

∴平面ADE⊥平面A1GF.

1．给定下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．4

解析：①③④正确，②中由α∥β⇒n1∥n2.

答案：C

2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0,4)，则(　　)

A．l∥α B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α斜交

解析：∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，

∴n＝2a，即a∥n.

∴l⊥α.

答案：B

3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为(　　)

A．10 B．－10

C. D．－

解析：∵α⊥β，∴α，β的法向量也垂直，

即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0.

∴－x－2－8＝0.∴x＝－10.

答案：B

4．设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．

解析：由已知，a，b分别是平面α，β的法向量．

∵a·b＝－2＋6－4＝0，

∴a⊥b，∴α⊥β.

答案：垂直

5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．

解析：·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；且是平面ABCD的法向量；∴③正确，④错误．

答案：①②③

6．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．

证明：PC⊥平面BEF.

证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形．

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)．

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0，，0)，F(1，，1)．

∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)．

∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.

∴⊥，⊥.

∴PC⊥BF，PC⊥EF.

又BF∩EF＝F，

∴PC⊥平面BEF.

一、选择题

1．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则(　　)

A．α∥β　　　　　　　　 B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确

解析：∵≠≠且u·v≠0，

∴α，β相交但不垂直．

答案：C

2．若直线l的方向向量为ν＝(2,2,2)，向量m＝(1，－1,0)及n＝(0,1，－1)都与平面α平行，则(　　)

A．l⊥α

B．l∥α

C．l⊂α

D．l与α相交但不垂直

解析：因为ν·m＝2－2＋0＝0，ν·n＝0＋2－2＝0，所以ν⊥m，且ν⊥n，又m与n不平行，所以ν⊥α，即l⊥α.

答案：A

3．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　)

A．圆 B．直线

C．平面 D．线段

解析：M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面．

答案：C

4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．(1，－1,1) B.

C. D.

解析：要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．

对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.同理，选项C、D也不符合要求，故选B.

答案：B

二、填空题

5．若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝________.

解析：∵l⊥α，

∴直线l的方向向量平行于平面α的法向量．

∴＝＝，∴m＝4.

答案：4

6．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．

解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，

a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.

∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．

答案：0

7．平面α，β的法向量分别为m＝(1,2，－2)，n＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于________．

解析：由α⊥β知，m·n＝0.

∴－2－8－2k＝0，解得k＝－5.

答案：－5

8.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则B1(0,0,3a)，

C(0， a,0)，

D，

设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，

则＝，

＝(a,0，z－3a)，

＝.

又·＝a2－a2＋0＝0，

故由题意得2a2＋z2－3az＝0，

解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.

答案：a或2a

三、解答题

9．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．

求证：AB1⊥平面A1BD.

证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2,)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，

∴＝(1,2，－)，＝(－2,1,0)，＝(－1,2，)．

∵·＝－2＋2＋0＝0，

·＝－1＋4－3＝0，

∴⊥，⊥.

即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.

又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.

10.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．

(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；

(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.

解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D­ xyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)．设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则

∴2x1＝0,2x1＋2y1＋z1＝0.

令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．

同理可得平面A1FD1的法向量n2＝(0,2,1)．

因为n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1.

(2)由于点M在AE上，所以可设

＝λ·＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，

可得M(2,2λ，λ)，于是＝(0,2λ，λ－2)．

要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，

所以·＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，

得λ＝.故当AM＝AE时，A1M⊥平面DAE.