第24届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第二试

2013年4月15日 上午8：30至10：30

一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ）

（A）正方形 （B）矩形 C）菱形 （D）梯形

2、设a、b、C是不为零的实数，那么的值有（ ）

（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种

3、的边长分别是，，，则是（ ）

（A）等边三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形

（D）锐角三角形

4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；

甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……

从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）

（A）是2019年， （B）是2031年， （C）是2043年，

（D）没有对应的年号

5、实数 a、b、m、n满足a若，，

则M与N的大小关系是（ ）

（A）M>N (B)M=N (C)M无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是（ ）

（A） （B） （C） （D）

7、已知关于的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）

（A）≤≤ (B)≤≤ (C)＜≤ (D)≤＜

8 、The number of intersection point of the graphs of function

and function is( )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.

9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ）

（A）16小时 （B）小时 （C）小时 （D）17小时

10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）

（A）48人 （B）45人 （C）44人 （D）42人

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

11、已知o 为三边的长，则化简||+的结果是＿＿＿

12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。

13、若不等式组中的未知数的取值范围是，那么（）（）的值等于＿＿＿

14、已知…是彼此互不相等的负数，且，那么与的大小关系是＿＿

15、∣|叫做二阶行列式，它的算法是：，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有＿＿个，其中，数值最大的是＿＿＿。

16、如图4，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0。7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了＿＿米。

17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is ＿＿ now.

(英汉词典：age年龄：add 加上；when 当……时)

18、长方体的长、宽、高分别为正整数，且满足，那么这个长方体的体积为＿＿。

19、已知为实数，且与都是整数，则的值是＿＿。

20、为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文→密文（加密）。现规定英文26个字母的加密规则是：26年字母按顺序分别对应整数0到25，例子如，英文，写出它们的明文（对应整数0，1，2，3），然后将这4个字母对应的整数（分别为）按计算，得到密文，即四个字母对应的密文分别是2.3.8.9.现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到的英文单词为＿＿＿。

三、解答题（本大题共3小题，共40分）要求：写出推算过程

21、（本题满分10分）

如图5，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为，求：

（1） 大六角星形的顶点A到其中心O的距离

（2） 大六角星形的面积

（3） 大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值

（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）

22、（本题满分15分）

甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离（千米）随时间（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答：

（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？

（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？

（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？

23、（本题满分15分）

平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。

（1） 若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？

（2） 若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？

（3） 若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？

答案：

一、 选择题（每小题4分）

二、 填空题（每小题4分，第15小题，每个空2分；第19小题，答对一个答案2分）

三、 解答题

21（1）连接CO，易知△AOC是直角三角形，

所以

（2）如图1，大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍

因为 解得

所以大六角星形的面积是

（3）小六角星形的顶点C到其中心A的距离为，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以，大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3

22．（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为

将代入，解得 所以

由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当千米时，

（小时）。即甲车出发1.5小时后被乙车追上

（2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为

将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得

所以

当乙车到达B地时，千米。代入，得小时

又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为

将（1.8，48）代入，得，解得

所以

当甲车与乙车迎面相遇时，有

解得小时 代入，得千米

即甲车与乙车在距离A地千米处迎面相遇

（3）当乙车返回到A地时，有 解得小时

甲车要比乙车先回到A地，速度应大于（千米/小时）

23．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段（条）

（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段

（条）

（3）设第一组有个点，第二组有个点，第三组有个点，则平面上共有线段

（条）

若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为

与原来线段的条数的差是，即

当时，，此时平面上的线段条数不减少

当时，此时平面上的线段条数一定减少

由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多

设三组中都有个点，则线段条数为 解得

所以 平面上至少有24个点