2017清华大学标准学术能力测试题

1、ai a2 L a?是数字1到9的一个排列，则 aia2a3 a4a§a6 a7a8a9的最小值为（

A. 213 B. 214 C. 215 D. 216

【答案】B

M 33 a1?a2L a9 33 9! 3 70

72 214

214

5 2 6 4 3 72 70

M 70 72 72

由题可知9 8 1 7

9! 6! 7 8 9 720 7 8 9 4900 70 703

a1 2a1X L 2016a2°16X2015 1008( x2 x 1)

令 x 1，得 a1 2耳 L 2016a2016 1008

因此所求值为1009。

A

max

B . Amax 7

C.

ai

5 1 3

a2 a3 a4 a5，则

i 1 ai 2

D .若A

a a?

a4 a5，则 丄 2

i 1 a.

4、过椭圆

2

—1的右焦点F2作一条直线交椭圆于

3

A, B，则

F1AB的内切圆面积可

能是（

A. 1

【答案】

分析：△ Fi AB周长C为定值4a

8 , Sa abf1

8焦点弦长公式。

焦半径,

在△ af1f2 中/ af2f1

F1F2

AF1

2c

af2

2c

设af2

x，则由余弦定理 2a

所以x

b2

a ccos

【解析】

x2

2

2c

2gxg2cgsos

由焦点弦| AB |

设直线AB的倾斜角为

因此Sa ABF1

】AB F1F2

2 1 2

sin

因此，设内切圆半径为 r,

因此，内切圆面积为 S

5

求得S的范围为0,—

b2 c2

2ab^

sin

，则 | AB |

2 Sa abf1

C

AB F-! F2 sin

2ab2

l2 C2sin

I2

3 sin2

AB F-|F2 sin

3si n

3 sin2

5、an , bn均为等差数列，已知135 ,

中的项的有（ ）

a2b2 304 , a3b3 529 ,则下列是 anbn

6、 已知函数y x -，过P 1 0作切线交函数图象于点 M和点N，记MN g t ,

x

则下列说法中正确的有（ ）

1

A. t —时，PM PN B. g t在定义域内单调递增

4 a

1

C. t 时，M , N 和 01 共线 D. g 1 6

2 y

【答案】C

分析：共求切点弦。

引理：切点弦定理G x,y Ax2 Bxy Cy2 Px Ey F，过曲线G x, y 0外一点

P x0, y0弓I曲线的切线，切点为 P1P2，则弦RP2就为点P。关于曲线G x, y 0的切点

弦，则对应的直线为 G x, y 0。其中

x）y xyo x0 x y0y

G x, y Ax0x B Cy0y P E F

2 2 2

【解析】题中曲线即H:x2 xy t 0,由引理知MN:1?x "丫 °?x t 0,即

2

2

MN :2x y 2t 0 已知 MN 与 H，得 x 2xt t 0,得

g t | MN | 1 22?、4t2 4t ,即 g t 2,5? -t2 t。

1 uuur uuir 5

当 t —时，PM ?PN 5x1x2 -

4 4

7、 已知数列 xn，其中X1 a , X2 b , Xn 1 Xn x. 1 （ a , b是正整数），若2008为

数列中的某一项，贝U a b可能的取值有（ ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

值范围是（

6的值为（

10、甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿 到球的人再传给其他三人中的一人， 这样的传球共进行了 4次，则第四次球传回甲的概率是

12、 在直角 ABC中，以直角边 AB ,斜边BC为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形

uur uur

ABDE和BCFG，则向量GA和DC的夹角为（ ）

A . 45 B . 60 C . 90 D . 120

13、 正方体ABCD ARCP的棱长为1，底面中心为O, AD , CC1的中点分别为M ,

N，则三棱锥O MB^的体积为（ ）

x y z 1: 2:3 即 a:b:c 10: 21:1 时取

【答案】C

分析：A,B化同名（诱导公式）

对于 Bsin(cosx) cosq cosx) cos(sinx)

对于 C 令 x-i arctan ，贝U tan(tan x1) sin(sin xj 0

对于 D f x tan(sin x) / g x sin(tan x)

作差， h x f x g x tan sinx sin tanx

则 h x cosx cos tan x cos x cos(tanx)cos (sin x)

、h x 2 : 2 2 : 2

cos sin x cos x cos sin x cos x

情况一：当 x 0,arctan 一 时，有 sinx,tanx 2

19、在空间中过点 A作平面n的垂线，垂足为 B，记B

fx A，设

是两个不同的

20、某校共2017名学生，其中每名学生至少要选 A , B中的一门课，也有些学生选了两门

课，已知选修 A的人数占全校人数介于 70 到75 之间，选B的人数占40 到45 之 间，则下列正确的是（ ）

A .同时选 A , B的可能有200人

B .同时选 A, B的可能有300人

21、已知D ,

E是Rt

ABC斜边BC上的三等分点，设AD a ,

AE

b,则实数对a b

可以是（

）

2 x

34

2x，若存在实数

t，当x

时,

x t 3x恒成立,

D. 12

2xy 14x

6y

72的值域为M，则（

【答案】C,D

分析：拉格朗日

【解析】

x,

x2

7 ?x

6y2

6y

72

6y2

6y 72

24、若N的三个子集

A, B , C 满足 Al B

BI

CI

A 1,且 AI BI C

则称ABC为N的"有序子集列”，现有N

2 3 4 5 6，则N有（）个有序子

集列.

A. 540

B . 1280

C. 3240

D. 7680