历年高考经典真题汇编
专题2:立体几何*文科
姓 名: 年 级: 教 师:李 瑾 瑜
1、基础题型:
1、平行四边形的一个顶点A在平面内,其余顶点在的同侧,已知其中有两个顶点到的距离
分别为1和2 ,那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是:
①1; ②2; 3; ④4;
以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号)
【答案】解:如图,B、D到平面的距离为1、2,则D、B的中点到平面的距离为,所以C到平面的距离为3;
B、C到平面的距离为1、2,D到平面的距离为,则,即,所以D到平面的距离为1;
C、D到平面的距离为1、2,同理可得B到平面的距离为1;所以选①③。
2、已知点在同一个球面上, 若
,则两点间的球面距离是 .
【答案】
3、对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。
相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;
任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。
3、在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________. 【答案】(0,-1, 0)
4、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______.
【解析】表面积是word/media/image23_1.pngword/media/image24_1.png
该几何体是底面是直角梯形,高为word/media/image25_1.png的直四棱柱
几何体的的体积是word/media/image26_1.png
5、若四面体word/media/image27_1.png的三组对棱分别相等,即word/media/image29_1.png,word/media/image30_1.png,word/media/image31_1.png,则________(写出所有正确结论编号)。
①四面体word/media/image27_1.png每组对棱相互垂直
②四面体word/media/image27_1.png每个面的面积相等
③从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于word/media/image32_1.png而小于word/media/image33_1.png
④连接四面体word/media/image27_1.png每组对棱中点的线段互垂直平分[来源:Z*xx*]
⑤从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
【解析】正确的是word/media/image23_1.png②④⑤
②四面体word/media/image27_1.png每个面是全等三角形,面积相等
③从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于word/media/image34_1.png
④连接四面体word/media/image27_1.png每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分
⑤从四面体word/media/image27_1.png每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
6、如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截
该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
word/media/image35_1.png
①当0<CQ<时,S为四边形
②当CQ=时,S为等腰梯形
③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=
④当<CQ<1时,S为六边形
word/media/image39_1.png⑤当CQ=1时,S的面积为
【答案】①②③⑤
word/media/image41_1.png【解析】当CQ=时,D1Q2=D1C12+C1Q2,AP2=AB2+BP2,所以D1Q=AP.又因为AD1∥PQ,AD1=2PQ,所以②正确;当0<CQ<时,截面为APQM,所以为四边形,故①也正确,如图①所示.
图①
如图②,当CQ=时,由△QCN∽△QC1R得
word/media/image42_1.png,即,C1R=,故③正确.
如图③所示,当CQ=1时,截面为APC1E.
可知AC1=,EP=且APC1E为菱形,
=,故⑤正确.
当<CQ<1时,截面为五边形APQMF.
所以④错误. 图③
7、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
(A)word/media/image49_1.png (B)word/media/image50_1.png (C)word/media/image51_1.png (D)word/media/image52_1.png
【答案】C 【考点: 1.几何体的三视图 ; 2.锥体的体积公式.】
8、一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( A ).
(A) (B) (C)6 (D)7
9、一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是( )
(A)372 (C)292
(B)360 (D)280
10、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
(A)48 (B)32+word/media/image59_1.png (C)48+word/media/image60_1.png (D)80
二、提高题型:
1、如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
(Ⅰ)证明⊥;
(Ⅱ)求面与面所成二面角的大小。
【答案】
解:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中,为等腰三角形,
∵P在平面ABC内的射影为O,∴PO⊥平面ABF,∴AO为PA在平面ABF内的射影;∵O为BF中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。
(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF,∴平面PBF⊥平面ABC;而O为BF中点,ABCDEF是正六边形 ,∴A、O、D共线,且直线AD⊥BF,则AD⊥平面PBF;又∵正六边形ABCDEF的边长为1,∴,,。
过O在平面POB内作OH⊥PB于H,连AH、DH,则AH⊥PB,DH⊥PB,所以为所求二面角平面角。
在中,OH=, =。
在中,;
而
(Ⅱ)以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),∴,,
设平面PAB的法向量为,则,,得,;
设平面PDB的法向量为,则,,得,;
【后面答案略,请自己完成】
2、如图,在六面体中,四边形ABCD是边 长为2的
正方形,四边形是边长为1的正方形,
平面,平面ABCD,
(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).
第(2)题图
【答案】 解法1(向量法):
以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,则有.
(Ⅰ)证明:
.
.
与平行,与平行,
于是与共面,与共面.
(Ⅱ)证明:,,
,.
与是平面内的两条相交直线.
平面.
又平面过.
平面平面.
(Ⅲ)解:.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
.
二面角的大小为.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:平面,平面.
,,平面平面.
于是,.
设分别为的中点,连结,
有.
,
于是.
由,得,
故,与共面.
过点作平面于点,
则,连结,
于是,,.
,.
,.
所以点在上,故与共面.
(Ⅱ)证明:平面,,
又(正方形的对角线互相垂直),
与是平面内的两条相交直线,
平面.
又平面过,平面平面.
(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,,
根据三垂线定理,有.
过点在平面内作于,连结,
则平面,
于是,
所以,是二面角的一个平面角.
根据勾股定理,有.
,有,,,.
,,
二面角的大小为.
word/media/image207_1.png3、如图,在四棱锥中,底面四边长为1的 菱形,, , ,为的中点。
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。
【答案】 方法一(综合法)
(1)
为异面直线与所成的角(或其补角)
作连接
word/media/image221_1.png
,
所以与所成角的大小为
(2)点A和点B到平面OCD的距离相等,
连接OP,过点A作于点Q,
又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
,
,所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
word/media/image237_1.png,
(1)设与所成的角为,
,
与所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
,.
所以点B到平面OCD的距离为
4、如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且
EA=ED,FB=FC,和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,
证明:(1)直线垂直且平分线段AD:
(2)若∠EAD=∠EAB=,EF=2,求多面体ABCDEF的体积。
【答案】
5、如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积?
6、如图,word/media/image260_1.png为多面体,平面word/media/image261_1.png与平面word/media/image262_1.png垂直,
点word/media/image263_1.png在线段word/media/image264_1.png 上,word/media/image265_1.png,word/media/image266_1.png,word/media/image267_1.png,word/media/image268_1.png,word/media/image269_1.png,word/media/image270_1.png都是正三角形.
(Ⅰ)证明直线word/media/image271_1.png;
(Ⅱ)求棱锥word/media/image272_1.png的体积.
7、如图,长方体word/media/image276_1.png中,底面word/media/image277_1.png是正方形,word/media/image278_1.png是word/media/image279_1.png的中点,word/media/image280_1.png是棱word/media/image281_1.png上任意一点。
(Ⅰ)证明:word/media/image283_1.pngword/media/image284_1.png ;
(Ⅱ)如果word/media/image285_1.png=2,word/media/image286_1.png=word/media/image287_1.png,word/media/image288_1.png,,求word/media/image289_1.png 的长。
【解析】(I)连接word/media/image290_1.png,word/media/image291_1.png共面
长方体word/media/image276_1.png中,底面word/media/image277_1.png是正方形
word/media/image292_1.png面word/media/image293_1.pngword/media/image294_1.png
(Ⅱ)在矩形word/media/image295_1.png中,word/media/image296_1.png
得:word/media/image297_1.png
8、如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.
已知PB=PD=2,PA=.
word/media/image299_1.png(1)证明:PC⊥BD;
(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.
【答案】
(1)证明:连接AC,交BD于O点,连接PO.
因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.
由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC,因此BD⊥PC.
word/media/image300_1.png(2)解:因为E是PA的中点,所以VP-BCE=VC-PEB=VC-PAB=VB-APC.
由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.
因为∠BAD=60°,
所以PO=AO=,AC=,BO=1.
又PA=,PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC,
故S△APC=PO·AC=3.
由(1)知,BO⊥面APC,因此VP-BCE=VB-APC=··BO·S△APC=.
word/media/image302_1.png9、 如图,四棱锥的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点,平面⊥平面,∥平面.
()证明:;
()若,求四边形的面积.
【答案】()证:∵,且平面,
∴. 同理可证.
因此.
()解:连接交于点,交于点,连接.
word/media/image326_1.png ∵,是的中点,∴,
同理可得.
又,且都在地面内,
∴底面.
又∵平面⊥平面,
且平面,∴∥平面.
∵平面平面,
∴,且⊥底面,
从而.
∴是梯形的高.
由得,
∴,即为的中点.
再由得,即是的中点,且,
由已知可得,∴.
故四边形的面积.
10、如图,三棱锥P-ABC中,PAword/media/image353_1.png平面ABC,word/media/image354_1.png.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACword/media/image353_1.pngBM,并求word/media/image355_1.png的值。
【答案】(1)word/media/image357_1.png (2)word/media/image358_1.png
【解析】考点:1.锥体的体积公式;2.线面垂直的判定定理及性质定理.
【试题分析】(Ⅰ)在word/media/image359_1.png中word/media/image360_1.png=word/media/image361_1.png.又∵PA⊥面ABC ∴PA是三棱锥P-ABC的高,根据锥体的体积公式即可求出结果;(Ⅱ)过点B作BN垂直AC于点N,过N作NM∥PA交PC于M,根据线面垂直的判定定理和性质定理,可知此M点即为所求,根据相似三角形的性质即可求出结果.
【试题解析】(Ⅰ)在word/media/image359_1.png中,word/media/image362_1.png=1,word/media/image363_1.png∠word/media/image364_1.png
word/media/image360_1.png=word/media/image365_1.png=word/media/image366_1.png.[]
又∵PA⊥面ABC
∴PA是三棱锥P-ABC的高
∴word/media/image367_1.png
(Ⅱ)过点B作BN垂直AC于点N,过N作NM∥PA交PC于M,则
word/media/image368_1.pngword/media/image369_1.png
此时M即为所找点,在word/media/image370_1.pngword/media/image371_1.pngword/media/image372_1.png.
¥29.8
¥9.9
¥59.8