河北省邯郸市2019-2020学年上学期期中试题

高一数学

一、选择题。（12×5分＝60分）

1．已知集合M＝｛1，2，3｝，N＝｛2，3，4｝，则（ ）

A．MN　　　　　　　　B．NM

C．M∩N＝｛2，3｝　　　D．M∪N＝｛1，4｝

2．若f（）＝，则当x≠0且x≠1时，f（x）＝（ ）

A．　　　B．　　　C．　　　D．－1

3．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ）

A．－　　　B．　　　C．　　　D．－

4．函数f（x）＝a（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（ ）

A．y＝ B．y＝｜x－2｜ C．y＝2x－1 D．y＝log2（2x）

5．若f（x）＝则f（－1）的值为（ ）

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

6．幂函数f（x）＝x，若0＜x1＜x2，则f（），大小关系是（ ）

A．f（）＞　　　B．f（）＜

C．f（）＝　　 D．无法确定

7．已知函数f（x）＝－log2x在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）

A．（0，1）　　B．（1，2）　　C．（2，4）　　D．（4，＋∞）

8．已知集合A＝｛x｜y＝，x∈R｝，B＝｛x｜x＝m2， x∈A｝，则（ ）

A．AB B．BA C．A＝B D．A∩B＝

9．已知偶函数f（x）满足当x＞0时，3 f（x）－2 f（）＝，则f（－2）等于（ ）

A． B．　　　C．　　　D．

10．若函数y＝loga（2－ax）在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（ ）

A．（0，1）　　B．（1，2）　　C．（0，2）　　D．（1，＋∞）

11．用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x －1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）

A．5　　　B．6　　　C．7　　　D．8

12．设方程log4x＝（）x，logx＝（）x的根分别x1，x2，则（ ）

A．0＜x1x2＜1　　B．x1x2＝1　　C．1＜x1x2＜2　　D．x1x2≥2

二、填空题。（4×5分＝20分）

13．已知集合A＝{x｜x≤1}，B＝{ x｜≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是 。

14．已知f（x）＝若f（x）＝3，则x的值是 。

15．若loga（）＜1，则a的取值范围是　　　　　　　。

16．用18m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙。若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是 。

三、解答题。（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．设集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－1≤x≤2m＋1}。

（1）若A∩B＝，求m的范围；

（2）若A∪B＝A，求m的范围。

18．已知函数y＝（log2x－2）·（log4x－），2≤x≤8。

（1）令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（2）求该函数的值域。

19．已知函数f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且a≠1）。

（1）若1是函数y＝f（x）－x的零点，求实数a的值；

（2）判断f（x）的奇偶性。

20．已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）。

（1）当a＝0.5时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围。

21．某村电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取。

方案二：不收管理费，每度0.58元。

（1）老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月电多少度？

（2）老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

22．已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）＝－1；②对任意x，y∈（0，＋∞）都有f（xy）＝f（x）＋f（y）；③当x＞1时，f（x）＜0。

（1）求证函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数；

（2）解关于x的不等式f（6x）＜f（x－1）－2。

高一数学答案

1、C2、B3、B4、A5、C6、A7、C8、B9、D10、B11、C12、A

13、因为A∪B＝R，画出数轴（图略）可知，表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1。

14、

15、当a＞1时，函数y＝logx在它的定义域（0，＋∞）上是增函数。由于loga＜1＝loga，故可得a＞1。当0＜a＜1时，函数y＝logax在它的定义域（0，＋∞）上是减函数。由于loga＜1＝loga。故a的取值范围是（0，）∪（0，＋∞）。

16、

17、（1）已知A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－1≤x≤2m＋1}，

A∩B＝。

当B＝时，有m－1＞2m＋1，即m＜－2，满足题意。………2分

当B≠时，有m－1≤2m＋1，即m≥－2，

可得无解。…………………………………………… 4分

综上可知，m的取值范围为m＜－2。……………………………5分

（2）∵A∪B＝A，∴BA。当B＝时，有m－1＞2m＋1，

即m＜－2，满足题意。

当B≠，有m－1≤2m＋1，即m≥―2，………………………7分

可得解得―1≤m＜2。…………………………………9分

综上可知，m的取值范围为m＜―2或―1≤m≤2。………… 10分

18、（1）∵2≤x≤8，t＝log2x，∴1≤t≤3，……………………2分

则log4x＝log2x＝t，故函数y＝（log2x―2）。

（log4x―）＝（t―2）（t―）＝t2－t＋1，1≤t≤3。…6分

（2）由函数y＝t2－t＋1的图像是开口向上，且以直线t＝为对称轴的抛物线。

故1≤t≤3时，函数y＝t2－t＋1在[1，]上为减函数，在[，3]上为增函数。………………………………………………………8分

故当t＝时，函数y取最小值－；

当t＝3时，函数y取最大值1。…………………………………10分

故函数y＝（log2x―2）·（log4x―），

2≤x≤8的值域为[－，1]。……………………………………12分

19、（1）∵1是函数y＝f（x）－x的零点，∴f（1）＝1，

即loga（2＋1）－loga（2－1）＝1，解得a＝3。……………5分

（2）由题意知解得―2＜x＜2，

∴函数f（x）的定义域为（―2，2），关于原点对称。………7分

又∵f（―x）＝loga（2―x）－loga（2＋x）＝―f（x），

∴f（x）为奇函数。……………………………………………12分

20、（1）当a＝0.5时，f（x）＝x＋＋2，x∈[1，＋∞）。

设x2＞x1≥1，则f（x2）－f（x1）＝（x2＋＋2）－（x1＋＋2）＝………………………………………………4分

∵1≤x1＜x2，∴x2－x1＞0，且x1x2＞1，2 x1x2－1＞0，

∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在[1，＋∞）上是增函数，

∴f（x）在[1，＋∞）上的最小值是f（1）＝。……………6分

（2）∵对于x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立，

∴x2＋2x＋a＞0恒成立。………………………………………8分

设g（x）＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋（a－1）在[1，＋∞）上是增函数，

∴当x＝1时，g（x）min＝3＋a。令3＋a＞0，得a＞－3。

∴当a∈（－3，＋∞）时，对于任意x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立。………………………………………………………………12分

21、（1）当0≤x≤30时，令L（x）＝2＋0.5x＝35得x＝66，

舍去；……………………………………………………………2分

当x＞30时，由L（x）＝0.6x－1＝35得x＝60，……………4分

∴老王家该月用电60度。………………………………………6分

（2）设按方案二收费为F（x）元，则F（x）＝0.58x，

当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），得2＋0.5x＜0.58x，

∴x＞25，∴25＜x≤30；…………………………………………8分

当x＞30时，L（x）＜F（x），得0.6x－1＜0.58x，

∴x＜50，∴30＜x＜50。

综上，25＜x＜50。………………………………………………10分

故老王家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，先择方案一比方案二更好。………………………………………12分

22、（1）证明：设0＜x1＜x2，x1，x2∈R＋，

∵f（x2）＝f（·x1）＝f（）＋f（x1）＜f（x1），…………4分

∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R＋上为减函数。………………6分

（2）解：由（1）知f（9）＝－2，……………………………8分

∴原不等式等价于f（6x）＜f（x－1）＋f（9），

∴解得{x｜1＜x＜3}。……………………………12分