一次函数图象平移的探究

我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；

当b＜0时，向上平移)．例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1．需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移．这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移．

以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？

【探究一】函数图像的上下平移

我们先从一些具体的函数关系开始.

问题1　已知直线l：y=2x-3，将直线l向上平移2个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．

分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线l1的解析式为y=2x+ b，由于直线l1的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可．怎样得到这个条件呢？注意到直线l1与两条坐标轴分别交于两点，而直线l1与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线l1的解析式可求．

解：设直线l1的解析式为y=2x+b，直线l1交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)．把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线l1的解析式为y=2x-1．

问题2  已知直线l：y=2x-3，将直线l向下平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．

答案：直线l2的解析式为y=2x-6．(解答过程请同学们自己完成)

对比直线l和直线l1、直线l2的解析式可以发现：

将直线l：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线l1的解析式为：y=2x-3+2；

将直线l：y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=2x-3-3．

(此时你有什么新发现？)

我们再来探究一般情况.

问题3  已知直线l：y=kx+b，将直线l向上平移m个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．

简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交y轴于点(0，b)，向上平移m个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入l1的解析式可得，p=b+m．从而直线l1的解析式为y=kx+b+m．

问题4　已知直线l：y=kx+b，将直线l向下平移m个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．

答案：直线l2的解析式为y=kx+b-m．(解答过程请同学们自己完成)

由此我们得到：

直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，

直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，

这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律．

这个规律可以简记为：函数值：上加下减

以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？

【探究二】函数图像的左右平移

问题5  已知直线l：y=3x-12，将直线l向左平移5个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．

简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数k相等”，可设直线l1的解析式为y=3x+b，直线l交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)．把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线l1的解析式为y=3x+3．

问题6  已知直线l：y=3x-12，将直线l向右平移3个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．

答案：直线l2的解析式为y=3x-21．(解答过程请同学们自己完成)

 直接观察结果，很难发现其中的一般规律，那么我们尝试着探究一般情况.

问题7　已知直线l：y=kx+b，将直线l向左平移n个单位长度得到直线l1，求直线l1的解析式．

简解：设直线l1的解析式为y=kx+p，直线l交x轴于点word/media/image4.gif，向左平移n个单位长度后变为word/media/image5.gif，把word/media/image5.gif坐标代入l1的解析式可得word/media/image6.gif，p=kn+b．从而直线l1的解析式为y=kx+km+b，即y=k(x+m)+b．

问题8　已知直线l：y=kx+b，将直线l向右平移n个单位长度得到直线l2，求直线l2的解析式．

答案：直线l2的解析式为y=k(x-m)+b．(解答过程请同学们自己完成)

通过对于一般情况的研究，我可以发现一些变化的规律，现在我们用刚才的具体的函数关系来验证一下我们得到的规律.

将直线l：y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线l1的解析式为：y=3x+3，这个函数关系可以改写为：y=3(x+5)-12；

将直线l：y=3x-12向右平移3个单位长度得到直线l2的解析式为：y=3x-21，这个函数关系可以改写为：y=3(x-3)-12.

由此我们得到：

直线y=kx+b向左平移n（n为正）个单位长度得到直线y=k(x+n)+b，

直线y=kx+b向右平移n（n为正）个单位长度得到直线y=k(x-n)+b，

这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律．

这个规律可以简记为：自变量：左加右减

总结：一次函数图像平移的规律

函数值：上加下减；自变量：左加右减.

※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律.

下面，我们对直线word/media/image9.gif在平移规律中”左加右减”作一点解释.

我们知道，对于直线word/media/image9.gif上的任意一点的坐标可以表示为word/media/image10.gif，反过来我们可以先将word/media/image11.gif变一下形，得到：word/media/image12.gif ，则此时直线上任意一点的坐标就可以表示为word/media/image13.gif，由左右平移横坐标会发生变化，不改变纵坐标大小(即令y恒定).

由此可知：如果一次函数图象向右移平移了word/media/image14.gif个单位，那么平移后点的坐标就会变成word/media/image15.gif ，即 word/media/image16.gif，化成一般可得word/media/image17.gif，变形可得word/media/image18.gif式   所以“右减”.

同理，如果一次函数的图象向左平移word/media/image14.gif个单位，那么平移后点的坐标就会变成word/media/image19.gif ，即 word/media/image20.gif，化成一般可得word/media/image21.gif，变形可得word/media/image22.gif式   所以“左加”.

如果我们从平移过程中函数图象与坐标轴的截距的变化情况也可以看出，当函数图象向左或向右平移word/media/image14.gif个单位时，函数图象在x轴上的截距减小或增大word/media/image14.gif个单位，而在y轴上的截距并不是简单的作相同的减小或增加n个单位。而是当x轴上的截距每减小n个单位，y轴上的截距反而增加word/media/image23.gif个单位；当x轴上的截距每增大word/media/image14.gif个单位，y轴上的截距反而减小word/media/image23.gif个单位.

例如：函数y=2x-2，

在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为-2.

将函数向左平移3个单位以后，

x轴上的截距减小3个单位变为-2，

y轴上的截距增加了2ⅹ3个单位，变为4.

最终得到的函数为y=2x-2+2ⅹ3，即y=2x+4

最终我们可以得到：

函数图象向左平移n个单位，得到的函数为word/media/image25.gif，

函数图象向右平移n个单位，得到的函数为word/media/image26.gif.