【精品】2019年高考数学复习专题讲座★

第17讲　导数在函数中的应用——极值与最值

1．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(A)

A．2 B．1

C．－1 D．－2

因为y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，

所以当－1<x<1时，y′>0；当x>1时，y′<0，

所以x＝1时，y有极大值2，所以b＝1，c＝2，

又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2.

2．函数f(x)＝在[0,1]上的最大值为(B)

A．0 B.

C．e D.

因为f′(x)＝＝≥0在[0,1]上恒成立，所以f(x)在[0,1]上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最大值.

3．函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－2,0]上的最大值和最小值分别为(C)

A．1，－1 B．3,1

C．3，－1 D．5,1

f′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝－1或x＝1(舍去)．

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

　所以最大值为3，最小值为－1.

4．(2017·鞍山二模)已知函数f(x)＝a－x＋xex，若存在x0>－1，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围为(B)

A．[0，＋∞) B．(－∞，0]

C．[1，＋∞) D．(－∞，1]

由f(x)≤0，得a≤x－xex，

令h(x)＝x－xex(x>－1)，h′(x)＝1－(1＋x)ex，

令g(x)＝h′(x)，g′(x)＝－(x＋2)ex<0，

所以h′(x)在(－1，＋∞)内递减，而h′(0)＝0，

所以h(x)在(－1,0)内递增，在(0，＋∞)内递减，

所以h(x)的最大值为h(0)＝0.故a≤0.

5．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝　32　.

由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，

又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，

所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32.

6．(2016·深圳市第二次调研)函数f(x)＝x2－3x＋ln x在x＝　　处取得极大值．

因为f′(x)＝2x－3＋＝，

x∈(0，)时，f′(x)>0，x∈(，1)时，f′(x)<0，

所以函数f(x)＝x2－3x＋ln x在x＝处取得极大值．

7．设f(x)＝，其中a为正实数.

(1)当a＝时，求f(x)的极值点；