计算机辅助设计

基于BCEL TP,五轴联动机床加工自由曲面时刀具位置的局部优化

a. 中国 天津大学 精密测量技术和仪器国家重点实验室 微纳米制造技术中心

b. 中国 天津经济技术开发区 天津微纳米制造科技有限公司

c. 中国 大连理工大学 机械工程学院

文章简介：

2009.11.2收到文章，2010.0.19确定发布

关键词：

五轴联动机加工局部车刀定位的基本曲线方程、 包络、 局部最优化、 双参数包络法

摘要：

五轴联动机加工局部车刀定位的基本曲线方程是对刀具第二顺序的近似值，刀具包络线表面与设计表面之间关系的精确描述，这在我们之前的论文中已经提出（计算机辅助设计，单点接触的五轴联动机床刀具包络线表面的第二顺序近似值）。基于这些，对于一个给定的单点接触刀具轨迹，提出了一种新的刀具位置局部优化方法，通过最小化刀具包络线表面和设计表面间的相对曲率来将加工条纹宽度最大化。既然五轴联动机加工局部车刀定位的基本曲线方程是一种准确的分析表述，所以提出的刀具位置最优化方法在计算中是准确的、有效的，另外，基于双参数包络法的刀具位置优化方法也随后被提出，有趣的一点是，这导致基于BCEL TP 的方法是正确的，最后，给出几个例子来证明它的有效性和准确性。

引言：

球端刀具已被广泛应用于3轴和5轴联动的精加工中，因为容易计算它的轨迹和对不同表面形状的适用性，通过在5轴联动机床上使用球端刀具可以有效的避免加工复杂零件，如模子、扇形、叶轮的干涉现象。但是对于给定的刀具半径和公差，因为球面的特殊性质，不可能增加加工条纹的宽度。如果我们想增加加工条纹的宽度，通常采取更大半径的刀具，但这可能会导致严重的干涉或缺少合适尺寸的刀具。因此，5轴联动机床球端刀具的潜能还没有被完全开发出来，为了解决这个问题，非球端刀具，如：平头刀具、圆柱形刀具、平端刀具在5轴联动机加工在学术和工业领域被广泛研究。这些研究的最终目标之一是，在给定公差下，利用非球端刀具的非对称性来增加加工条纹的宽度，换句话说，对于给定的加工条纹宽度减少加工过程中的误差。

关于优化刀具位置来增加加工条纹宽度的论文已经发布了许多，根据误差的分布特性，这些方法可以分为两类：局部优化和全体优化的方法。对于局部优化的方法，切削刀具通常在刀具接触点与设计表面解除，可以通过刀具的姿势来减少接触点周围的误差。通常当测量点与刀具接触点近时误差更小。对于全体优化的方法，在给定的设计表面范围内客减小加工误差，都安居通常不受限与刀具接触点，这些加工方法通常在侧铣中单通加工和少孔型加工中被讨论。对比之下，局部优化的方法更适用于多通加工，它也有更广泛的应用范围。

刀具位置的局部优化方法已在许多论文中被讨论过。TENSEN ET AL 对表面精加工提出“曲率匹配”的方法。此外，基于这种技术提出了一种平端刀具的自动刀具选择方法。RAV ET AL 提出了主轴法，对于加工准线在刀具最小曲率和设计表面最大曲率之间的且进给主方向与设计表面最小曲率方向一致的内凹表面。

通过考虑平端刀具的局部和全体干涉，LEE提出了一种找到允许范围内刀具方向的方法。另外，通过估计加工条纹宽度，他提出了一种非等参数的刀具路径生成方法。CHIOU ET AL 提出了用加工势场（MPF）来发现可行的最大的加工条纹宽度和最优的切削方向。通过使用平端刀具，ANDREW WARKENTIC ET AL 提出了多点加工的方法，这使平端刀具在多个点都相切与设计表面，这种方法只适用于内凹表面，出平端刀具以外，局部优化也适用于圆柱刀具侧铣自由表面。CAO ET AL 使圆柱刀具与设计表面线接触来提高加工精度。通过使用设计表面和刀具表面统一的杜邦指标参数，RADZEVICH 提出了一种应用于所有刀具的刀具路径生成方法。

从上面的内容我们可以得出,对于刀具位置的局部优化有两个主要方面：1、避免局部干涉。2、找到最大加工条纹宽度。正如我们所知，这两个方面都与刀具包络线表面紧密相关，然而不幸的是在之前这并没有引起人们的注意。为了解决这个问题，一些研究者试图从刀具包络线表面的角度来讨论这个问题。Wangetal提出了用曲率匹配的方法加工自由表面。定位内凹盘形铣刀使它的包络线表面作为设计表面并水平正交于切削方向。通过使用平端刀具，RAO ET AL 提出了刀具包络线表面曲率的数学表达式来确定局部干涉和刀具方向的最佳角度。这两篇文章都认为刀具包络线表面就是实际加工表面，但是不论是平端刀具还是盘形刀具，刀具包络线表面都是由刀鼻的轨迹形成，它不是一个真正存在的表面。并且这种技术不适用于其他类型的道具。

YOON ET AL 利用圆角端面刀具，使用加工条文第二顺序来最优化刀具位置。有趣的一点是他们指出刀具包络线表面的杜邦指数相切于设计表面和刀具表面的杜邦指数，但是他们没给出刀具包络线表面的计算方法。最近，我们改善了CAO的方法，把包络线加工过程转换为刀具轴线表面和设计表面偏移表面第二顺序的线接触问题。但是，这种方法仅适用于圆柱形铣刀。

最近，通过使用微分几何原理，我们提出了局部道具位置的基本曲率方程，用来描述刀具包络线表面的第二顺序近似值与刀具接触点的各参数之间的内在关系（包括切削方向，刀具路径，切削曲线的正切方向，主曲率，刀具表面的主方向和设计表面）。此外，BCELTP—局部刀具位置的基本曲率方程 用来证明现存方法的有效性。引入刀具包络线表面和刀具接触点设计表面之间的相对正常曲率概念来表示加工的准确性，封闭式的解析式使它非常容易计算。在此篇文章中，我们将进一步探索BCELTP的潜力来发明一种新的刀具局部位置优化方法。此篇论文的的纲要如下所示：在第二部分提出了基于BCELTD的刀具位置局部优化方法；第三部分讨论了这种模型的解决方法；3.1部分摘录于第一作者为PH.D的论文；在第四章提出了另一种基于双参数包络线的刀具位置优化方法，用来从不同角度证明基于BCELTP方法的正确性；第六部分展示了几个实例和结论。

2. 基于BCELTPD的刀具位置局部优化的基本方程

2.1 局部刀具位置的基本曲线方程（BCELTP）

由于基本曲线方程有很多参数，为了便于阅读，在这儿我们将简要的介绍一下，更多细节请参考我们之前的文章。根据图一曲线方程可写为如下形式：

2.2两种基于BCELTP的局部刀具位置的优化问题

正如我们所知，刀具位置优化的一个重要目标是减小刀具包络线表面与设计表面的加工误差。通常，在获得所有的刀具位置之前我们不知道刀具包络线表面的确切形状。因此，解决这个问题最大的障碍是不知道单个刀具位置是怎么影响整个刀具包络线表面。为了在一定程度上解决这个问题，提出了刀具局部位置的基本曲线方程来精确的分析表述单个刀具位置、刀具包络线表面和第二顺序近似值设计表面之间的关系。对于数控加工，加工条纹的宽度通常由与切削方向相切的e2方向来衡量，请注意，K仅仅表示刀具包络线表面与设计表面之间的近似值，因此通过减小K,可以把刀具位置局部优化模型写为：

H表示相对平均曲率，可写成：

根据[45],k(21)>=0并且H（21）>=0保证没有局部干涉，这也意味着K（01）>=0.根据解决办法，优化问题可以分为以下两种类型：

局部与化问题A
局部优化问题B

局部优化问题B在之前的文章中讨论过[43-45]，在这儿我们将重点关注局部优化问题A

3.局部优化问题A的解决办法

3.1优化a和刀具局部位置的优化方式

根据EQS 8和10，有6个与K(01)相关的参数，在这一部分，将会讨论一个常见的实例。给定一个切削角度(),调整a来最小化K(01)，局部优化问题可被简化为：

限制条件EQ(12)表示H(21)>0和K(21)>0总是存在 。它的几何含义是让刀具表面绕公法线从0到二π旋转，没有局部干涉发生。把EQS(2)和(9)带入EQ(12)不等式并简化得

为了求得K(01)的最小值，我们需要求出关于a的K(01)的导数，但是目前EQ(1)的表述使用起来比较困难。根据微分几何原理，K(21)和K(21C1)与选择的局部坐标系不相关。为了简化等式的导数，K（01）在局部坐标系中可表示为

K(21，C2)表示S(2)、S(1)、和E(C2)之间的相对法线曲率

3.2用K（01）和它的精确分析来估计加工条纹的宽度

在第一部分我们已经提到，局部优化方法适用于多通道加工，如果我们想生成相邻刀具路径，应当求得加工条纹的宽度来保证给定的加工角度。因此，我们应当提出一种方法来估计加工条纹宽度。根据EQ(A4)有

Err表示在E2方向（垂直于切削方向），刀具包络线表面和设计表面之间偏差的泰勒表达式。在这种情况下，与第二顺序误差相比，第三顺序和更高顺序误差非常小，可以省略。Eq27可以简化为

带入给定的公差E到EQ28，并变化形式，加工条纹宽度可写为

K(01)可通过EQ1简单求得。EQ28也用来计算给定加工条纹宽度的加工误差。请注意，公差E是刀具接触点法线的方向，而不是设计表面的法线方向。

EQ(29)是相对曲率下的加工条纹的宽度，或许我们怀疑它的精度是否足够。为了回答这个问题，让我们做个小测试。如图三所示，假定刀具表面和设计表面在E(C2)方向在有效范围内有足够的第二顺序近似值精度，四种类型的加工条纹的宽度可以通过以下公式准确的计算：

为了知道相对曲率法的精确度，EQ（29）可以用来加工加工条纹的宽度的近似值，公式如下：

根据法向方向，对于a，k2=1/r2>0,k1=-1/r1<0;对于b, k2=1/r2>0,k1=-1/r1>0;对于c, k2=1/r2>0,k1=0;对于d, k2=0,k1=-1/r1<0.相对误差用来估算近似值的精度，可以表述为：

经过多次测试，我们得出相对误差受公差E的影响最大,当E=R1.R2最小值除以4，R_E<7%;当E=R1.R2最小值除以6，R-E<4.5%。正如图四所示，通常，比较R1R2的最小值，E在实际加工中非常小。因此相对曲率法在工程应用中有很高的精确度，与EQ(30)相比，EQ(20)非常简便，并且在CAM系统中非常容易应用。

4.鼓形刀具基于双参数包络线的刀具最优位置确定

4.1基本思想
为了进一步验证所提出思想的正确性，在接下来的两部分，我们将引入两种基于双参数包络线的刀具最优位置确定的两种方法。有趣的是，这两种方法与BCELTP法所得的结果一致。给定一个设计表面，可以通过微分几何原理来计算最大主曲率。对于使用球端刀具的多轴加工，曲率半径对应的最大主曲率等于没有干涉的情况下，球端刀具半径的上限值。显然，如果我们采用球端刀具的上限值，得出的就是给定加工精度下的最大加工条纹宽度。然而，对于平端自由曲面球端刀具半径的上限值非常大，在数控加工中由于各种原因，使用球端刀具非常的困难。例如在加工螺旋桨叶片时，刀具的尺寸会由于球面干涉而受限。在这一部分，我们将找到一种方法，用鼓形刀具来达到大尺寸球端刀具的切削效果。

如果刀具的发生线是圆弧，我们称它为鼓形刀具，如图5a所示，沿着刀具路径的刀具接触点处鼓形刀具表面相切与设计表面。在一个刀具位置O点，使鼓形刀具绕公共法线从0旋转到360°，就会产生一个刀具包络线表面，这个球面的一部分被称作接触球面。假设接触球面和设计表面之间没有干涉，那它可以看作所有刀具位置与设计表面的边界。同理，接触球面可以通过刀具路径求得。正如我们在附录A中所提到的，球面包络线的切线弧是一个大的圆，正如图5B所示 ，最优刀具位置为鼓形刀具相切于接触球面的位置。鼓形刀具的包络线就等于有效范围内接触球面的包络线。显然，在某种意义上，这就是鼓形刀具单点接触的最优刀具位置。

如果鼓形刀具的圆弧半径为无穷大，刀具产生的曲线变为一条直线。刀具可以是圆柱形铣刀也可以是圆锥形铣刀。同理，如图6a所示，使圆锥铣刀在刀具接触点位置o绕法线方向从0°旋转到360°，产生的包络线表面是平面的一部分，被称作接触平面。它也可以看作为所有刀具位置再点0与设计表面的边界。因此可以得到一类接触平面和它的包络线。根据附录B，平面包络线的接触线是直线。如图6B所示，最优刀具位置位于圆锥刀具与接触平面相切的位置。

显然，圆锥刀具可以看做圆锥鼓形刀具的特殊形式，但是鼓形刀具比圆锥刀具、圆柱刀具更加灵活。如图7所示，在某些情况下，它可以调整位置以避免干涉。

4.2 计算刀具局部最优位置

尽管在上一部分已经介绍了基于双参数包络线的刀具位置最优化的基本思想。但是对于这些刀具依然没有一个特定的计算过程，在这一部分我们会依然讨论这个问题。如图8所示，使鼓形刀具相切于设计表面的刀具接触点O，参考图1，在刀具接触点O建立三维直角坐标系：(o;e1,e2,n),(o;e12,e22,n)(o;e1c,e2c,n),e12对应于主曲率看2=1/R.R表示鼓形刀具接触球面的半径。在附录A中已经证明，接触曲线是平面曲线，如果我们能计算刀具接触点o处接触球面的切线方向，总的接触曲线就能够得到，这意味着最优刀具位置就能够对应的计算出来。

让接触球面的中心轨迹表述为：r(s)=r0(s)+Rn(s),s表示刀具轨迹的圆弧长度，r0表示设计表面刀具轨迹的矢量，求EQ（33）关于S的微分，我们可以得到接触球面中心轨迹的单位正切矢量：

根据最后一部分，对于最优刀具位置，e2应当平行于dr/ds,最优a为：

将EQS（35）（36）和R=1/K1代入EQ(37)得到：

考虑到鼓形刀具k2>k1,比较EQ（38）与EQ(22)，我们可以得出，EQ（38）=EQ（22）、这一结果进一步证明了基于BCELTP方法的正确性。当K1=0时，刀具为圆柱铣刀或圆锥铣刀。从计算过程我们可以得到EQ(38)给出了刀具位置的局部优化。值得注意的是：对于鼓形刀具、圆柱形铣刀和圆锥铣刀的接触曲线一定位于平面e1，这种结论可能不适用于一般铣刀，因为接触曲线一般为空间曲线。对于一般刀具，刀具表面的第二顺序近似值看做鼓形铣刀的依然可行。

5、案例研究

提出的方法可以用于给定切削方向下各种刀具的刀具位置优化。它们有类似的计算方法：

输入：设计表面s1，刀具表面S2，刀具路径C，公差E

输出：刀具位置局部优化数据

根据上面的过程，下面给出几个示例。

案例1：为了便于比较加工条纹宽度，将会用不同的刀具加工一个圆柱体。圆柱体半径30，公差0.1，两个刀具轨迹为螺旋线：

如图9所示，在设计表面的刀具接触点建立局部坐标系，对应的主曲率为k1=0,k2=1/30.两个平端铣刀和鼓形铣刀被用来生成局部最优刀具位置。。刀具的定义如图10所示，它们都相切于圆柱的螺旋线。它们的参数和刀具在刀具接触点的主曲率如表一所示，对于刀具路径1，进给方向是一个定值16.6992°。对于刀具路径2，进给方向为30.6992°。图二所示为最优和最大加工宽度。

为了得到加工条纹宽度估计值的准确度，我们将会与UG的模拟结果进行详细的对比。考虑到UG模拟结果的精度，让公差E=1。如图11所示，加工条纹宽度在UG的3D动态加工模拟后，用距离测量工具进行测量，采用刀具4和轨迹2，用EQ29和UG模拟的结果如图12所示。显然，加工条纹宽度是& 的周期函数，周期为π。在这个案例中-π/2<=&<=π/2。虽然刀具轨迹和工件形状是不同的，加工条纹宽度是定值并且在UG中容易测量出来。比较图12中的a和b可以得出，基于BCELTP的方法有较高的精度，最优&与通过UG模拟得出的最优结果非常接近。

案例2：在这个案例中，会用圆柱铣刀应用提出的方法侧铣凸起表面。圆柱铣刀的半径为8mm，设计表面为：

使*为定值，如图13a所示，可以得到几个刀具路径的参数曲线。应用这种方法得出的最优刀具位置如图13b所示。这个例子表明提出的刀具最优位置方法适用于加工圆柱铣刀加工突起的自由表面。

案例3：在这个案例中，我们将使用小尺寸的鼓形铣刀获得与大尺寸球形铣刀相同的加工效果。设计表面的公式和EQ(39)相同，但是有不同的范围。

刀具路径&=-1.597，球端铣刀半径为40.另一个刀具为鼓形铣刀，定义如图14所示。显然，鼓形铣刀的发生线是半径为40的圆弧，等于球形铣刀的半径，计算所得的最优刀具位置如图15所示。如图16所示，通过利用47中的方法，能够计算接触点和加工误差。对于鼓形刀具最大底切为0.1277，球形铣刀为0.1279。如果我们忽略数控运算误差，认为它们有相同的加工精度。如图17所示，通过UG模拟，我们可以得到，鼓形铣刀远小于球形铣刀。

6.结论

在这篇文章中，提出了一种基于BCELTP的刀具位置局部优化方法。对于给定的单个刀具接触点的刀具路径。增加加工条纹宽度时，这种方法减小了刀具包络线表面和设计表面之间的法向曲率。由于BCELTP是一组精确地分析表述刀具局部最优化位置也可以在没有复杂运算的情况下精确求得。另外，基于BCELTP，通过比较设计表面和刀具包络线表面之间的相对法向曲率又提出了估算加工条纹宽度的新方法。此外，讨论了一种基于双参数包络线的刀具位置优化方法，有趣的是，它与基于BCELTP的方法所得的结果相同。这也从另一个角度证明了BCELTP法的正确性。通过几个实例，所提出方法的正确性和有效性被得到了很好的证实。这一方法可广泛应用于不同刀具下增加加工条纹宽度。然而，在这篇文章中，我们只讨论了最普通&的最优化。在BCELTP中，还有五个其他的参数，在实际加工中，它们可以通过其他条件来约束，例如球面干涉、加工动态和刀具形状等，这些将是我们未来的研究工作。