数量关系

数学运算

一、行程问题　

1、基本公式

路程=速度×时间 s=vt

速度=路程÷时间 v=s÷t

时间=路程÷速度 t=s÷v

2、相遇问题

　　相遇路程＝速度和×相遇时间

　　相遇时间＝相遇路程÷速度和

　　速度和＝相遇路程÷相遇时间

　　3、追及问题

　　追及距离＝速度差×追及时间

　　追及时间＝追及距离÷速度差

　　速度差＝追及距离÷追及时间

　　4、流水行船问题

　　顺流速度＝静水速度＋水流速度

　　逆流速度＝静水速度－水流速度

　　船速＝（顺流速度＋逆流速度）÷2

水速＝（顺流速度－逆流速度）÷2

5、火车过桥问题

火车过桥的路程=桥的长度+火车长度

6、汽车往返接送问题

汽车空载和载人速度相等，且两组人速度相等时，。

7、等距平均速度问题

平均速度=

8、间隔发车问题

发车间隔时间=

9、多次相遇问题

多次相遇问题包含相遇和追及的几类形式。

（1）AB两车从甲乙两地同时出发，相向而行，在AB间来回行驶。每次相遇时，AB两车行驶的总路程等于甲乙两地路程的奇数倍（1、3、5、7……）。

（2）AB两车从甲乙两地同时出发，相向而行，在AB间来回行驶。每次超过时，快车行驶路程比慢车多甲乙两地路程的奇数倍（1、3、5、7……）。

（3）AB两车从同一地点同时出发，同向而行，在AB间来回行驶。每次相遇时，AB两车行驶总路程等于甲乙路程的偶数倍（2、4、6、8……）。

（4）AB两车从同一地点同时出发，同向而行，在AB间来回行驶。每次超过时，快车行驶路程比慢车行驶距离多甲乙两地路程的偶数倍（2、4、6、8……）。

10、两岸相遇问题

单边型：S＝（3S1＋S2）÷2

双边型：S＝3S1－S2

注意：两次相遇必须是面对面相遇，途中没有发生多追及相遇的情况。

11、环形运动问题

环形周长=（V1＋V2）×异向运动的两人两次相遇间隔时间

环形周长=（V1－V2）×同向运动的两人两次相遇间隔时间

注意：公式中的间隔时间是指从这次相遇到下次相遇的时间。

二、工程问题

工作量=工作效率×工作时间

注意：工程问题中注意使用工作总量特殊值法解题，取工作效率的最小公倍数作为总量特殊值。

三、浓度问题

1、基本公式

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

　　溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

　　溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

2、重复稀释问题

（1）设已有溶液质量为M，每次倒出溶液为M0，再添入清水M0补满，重复n次

（其中C为稀释后的浓度，C0为溶液原来的浓度）

（2）设已有溶液质量为M，每次倒入清水M0，再倒出溶液M0，重复n次

（其中C为稀释后的浓度，C0为溶液原来的浓度）

四、利润与折扣问题

　　利润＝售出价－成本

　　利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%

定价=成本×（1+利润率）

利润=成本×利润率

成本=

　　涨跌金额＝本金×涨跌百分比

　　折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）

　　利息＝本金×利率×时间

五、分段问题（植树问题）

　　1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：

　　⑴如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：

　　株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

　　全长＝株距×（株数－1）

　　株距＝全长÷（株数－1）

　　⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：

　　株数＝段数＝全长÷株距

　　全长＝株距×株数

　　株距＝全长÷株数

　　⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：

　　株数＝段数－1＝全长÷株距－1

　　全长＝株距×（株数＋1）

株距＝全长÷（株数＋1）

　　2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下：

　　株数＝段数＝全长÷株距

　　全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

六、方阵问题

1．方阵总人数=最外层一边人数的平方（方阵问题的核心）

2．方阵一层总人数=（方阵每边人数-1）×4

3．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1

4．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多2

5．方阵外一层总人数比内一层总人数多8

七、排列组合问题

1、基本公式

排列数公式    规定：0！=1

组合数公式 特别地：

n！叫做n的阶乘。例如5！=5×4×3×2×1

2、比赛中的排列组合问题

（1）淘汰赛所需场次

仅需决出冠亚军，比赛场次=N-1

需决出第1、2、3、4名，比赛场次=N

（2）循环赛所需场次

单循环赛（任意两个球队打一场比赛），比赛场次=

双循环赛（任意两个球队打两场比赛），比赛场次=

（其中N为球队总数）

3、网格路线问题：

在n×m的网格中，只允许向右或向上走，从左下角到右上角的路线总数为。

4、环形排列问题

n个人排成一圈，不同的排列方式有

5、错位重排问题

其基本形式为：

编号为1、2、……、n的n封信，装入编号为1、2、……、n的n个信封，要求每封信的编号不同，问有多少种装法？

n封信的错位重排数为Dn，则：D1=0，D2=1，

八、概率问题

（1）等可能事件概（古典型概率）：如果实验中可能出现的结果有n个，而事件A包含的结果又m个，那么事件A的概率P（A）=。

（2）条件概率：在事件A发生[P（A）＞0]的前提下，事件B发生的条件概率等于事件A、B同时发生的概率与事件A发生的概率之商，即P（B|A）=。

（3）二项分布：重复试验n次，每次试验中只有两种相互对立的可能结果，并且事件的发生概率P在整个试验中保持不变，则n次独立重复试验中发生k次概率为P=

九、年龄问题

年龄问题抓住年龄差不变。

十、抽屉原理

抽屉原理从最坏情况考虑。

抽屉原理（一）：把多于n个的元素放到n个抽屉里，则至少有2个以上的元素在同一个抽屉。

抽屉原则（二）：把多于m×n个元素放到n个抽屉里，则至少有m＋1个元素在同一个抽屉里。

十一、数列问题

（1）等差数列通项公式：＝

（2）等差数列中项求和公式：中位数×项数=（首项+末项）÷2×项数

十二、集合问题基本公式

集合问题通常采用画图法。

1、两个集合的公式：A∪B＝A＋B－A∩B

2、三个集合的公式：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C

十三、“鸡兔同笼”问题

1、兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）

2、鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

十四、“牛吃草”问题

原有草量=（所有牛每天吃草量－每天新增的草量）×天数

注意：为了计算简便，我们设每头牛每天吃草量为“1”，牛每一天的吃草量分成两个部分，一部分是新长出来的草，另一个部分是原有的草。

十五、和差倍问题

　　1、和差问题

大数=（和+差）÷2

小数=（和-差）÷2 （或者：小数=大数-差，小数=和-大数）

　　2、和倍问题

小数=和÷（倍数+1）

大数=和-小数（或者：大数=小数×倍数）

　　3、差倍问题

小数=差÷（倍数-1）

大数=小数+差（或者：大数=小数×倍数）

十六、星期问题

1．每年加1（日期、月份相同时，年份增减1，则星期数在原来的基础上增减1，遇到闰年要多加1。）

注意：每年以365天为标准。

2．每月加2（年份、日期相同时，月份增减1，则星期数在原来基础上增减2。）

注意：每月以30天为标准。遇到有28、29、31天时要调整，比30天增减几，最后还要增减几。

十七、统筹问题

1、装卸工统筹

装卸工统筹是研究装卸工最优分配的问题，其核心法则是：

如果有X个工厂和Y辆汽车，则最少需要的装卸工为Z：

（1）当X＞Y时，Z等于需要装卸工人数最多的Y个工厂所需的装卸工人数之和；

（2）当X≤Y时，Z等于各个工厂所需的装卸工人数之和。

2、过河问题

在这类过河问题中，每次过河都有一个人将船划回来，而最后一次不再需要划回来。这类问题有一个简便公式：

N个人过河，船最多载M个人，每次需要1人划船，那么过河次数为：

×2－1

注意：

（1）⌈⌉表示向上取整，如135.2向上取整为136。

（2）特别注意最后一次往返，只过河，不会再返回来。

3、烙饼问题

如果已知共需烙的饼的个数、饼每个面需要烙的时间（默认每个饼需要烙两个面）、用来烙饼的锅的个数（等同于一个锅里最多同时放饼的个数），则：

最少需要的烙饼时间=饼的个数×2×每个面需要烙的时间÷锅的个数（此公式理论上适用于所有“锅的个数≤饼的个数”的烙饼问题。）

十八、几何问题

1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=（a+b）×2

　　2、正方形的周长=边长×4 C=4a

　　3、长方形的面积=长×宽 S=ab

　　4、正方形的面积=边长×边长 S=a·a= a

　　5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2

　　6、平行四边形的面积=底×高 S=ah

　　7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2

　　8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2

　　9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr

　　10、圆的面积=圆周率×半径×半径 S=πr2

　　11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2

　　12、长方体的体积 =长×宽×高 V=abh

　　13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=6a

　　14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a·a·a=a3

　　15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch

　　16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

　　17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh

　　18、圆锥的体积=底面积×高÷3

19、正方形的外接圆是正方形的π/2倍；正方形是其内接圆的4/π倍

十九、盈亏问题

（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

　　（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

　　（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

附：常用单位换算

　　1、面积，体积换算

　　（1）1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米

　　（2）1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米

　　（3）1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米

　　（4）1公顷＝10000平方米 1亩＝666.666平方米

（5）1升＝1立方分米＝1000毫升 1毫升＝1立方厘米

　　2、重量换算：

　　1吨=1000 千克

　　1千克=1000克

1千克=1公斤

　　3、人民币单位换算

　　1元=10角

　　1角=10分

1元=100分

　　4、时间单位换算：

　　1世纪=100年 1年=12月

　　大月（31天）有：1\3\5\7\8\10\12月

　　小月（30天）的有：4\6\9\11月

　　平年2月28天， 闰年2月29天

　　平年全年365天， 闰年全年366天

　　1日=24小时 1时=60分

　　1分=60秒 1时=3600秒

数字推理

一、数列类型

二、数列特征

（1）等差数列：数列递增或递减；变化幅度比较平缓。

（2）等比数列：数列总是递增或递减（绝对值）；步长变化一般较大，而且越向后越大；数值变化越大，越容易找出比值。

（3）幂数列：题面数字是幂数字，或者与幂数字接近。幂数列中包含平方数变形、立方数变形、升幂降幂数列等。

（4）因果数列：

包含和的因果数列、积的因果数列，采用列算式法解题。

（5）多重数列：给出的数列需要对其进行划分才能找出规律，或原数列是由两个或两个以上的数列构成。常见的有：①隔项数列②分组数列③小数数列④分数数列。

（6）特殊数列：常见的特殊数列包括①奇（偶）数型数列；②质（合）数型数列；③无理数型数列；④数字和；⑤数字积；⑥数字排列

（7）图形类数字推理特征：

①只是简单的四则运算；

②从小数出发，从加减出发。

三、解题方法

（1）观察法

（2）邻项算法

采用邻项相减、邻项相除两种方法，如果不能解题，再考虑邻项相加、邻项相乘。

（3）特殊值法

立方数列特殊值：1、7、19、37、61、91

（4）列算式法

解答复杂数列的方法，基本步骤：①纵向写出题面数字；②根据数字特征写出怀疑数列；③将怀疑数列与原数列比较找出规律。

四、常用数列

（1）20以内的平方数

102=100；112=121；122=144；132=169；142=196；

152=225；162=256；172=289；182=324；192=361；

（2）10以内的立方数

23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；

（3）常见的多次方幂数字

16=24=42 64=26=43=82 81=34=92

256=28=44=162 512=29=83 1024=210=45=322

注意：分数、根式的幂指数表示方法

（a≠0），例如：，

（a≠0），例如：，

（4）100以内的质数

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

（5）常用的因式分解