6、全等三角形及其应用

【知识精读】

1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

4. 寻找对应元素的方法

（1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折

如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；

②旋转

如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；

③平移

如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理

（2） 推论：角角边定理

6. 注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

【分类解析】全等三角形知识的应用

（1） 证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.

证明：在ΔACD和ΔABE中，

∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)

∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

又 ∵ AD=AE,AB=AC.

∴ AB－AD=AC－AE

即 BD=CE

在ΔDBF和ΔECF中

∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）

∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD

分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.

证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）

∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义）

在ΔABF与ΔCDE中，

∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）

∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)

∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE

分析：

(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F，连接BF

∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)

又∵ AB=AC

∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）

∴ ∠3＝∠2

在ΔCEB与ΔCFB中，

∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)

∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）

即CD=2CE

（ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

在ΔAEC与ΔBEF中，

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)

∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)

∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)

∵ ∠ACB+∠CBF=180o,

∠ABC+∠CBD=180o,

又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）

在ΔCFB与ΔCDB中，

∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)

∴ CF=CD

即CD=2CE

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.

(4)证明线段相互垂直

例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.

证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中

∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)

∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）

∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）

∴ ∠COE+∠OCE=90o

∴ AO⊥BC

5、中考点拨：

例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．

求证：∠F＝∠A．

分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．

证明：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B，

∵EB＝ED，

∴∠ACB＝∠EDB．

∴ED∥AC．

∴∠BED＝∠A．

∵BE＝EA．

∴BD＝CD．

又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF

∴△BDE≌△CDF，

∴∠BED＝∠F．

∴∠F＝∠A．

说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

例2 如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED

分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。

证明：过D点作DF∥AC交BE于F点

∵ △ ABC为等边三角形

∴ △BFD为等边三角形

∴ BF=BD=FD

∵ AE=BD

∴ AE=BF=FD

∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB

∴ EF=AC

在△ ACE和△DFE中，

∴ △AEC≌△FED（SAS）

∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）

题型展示：

例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．

证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．

∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴ △AED≌△ACD，

∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．

∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，

∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．

即 ∠B＝∠EDB．

∴ EB＝ED，即ED＝DC，

∴ AB＝AC＋DC．

剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．

【实战模拟】

1. 下列判断正确的是（ ）

（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

3. 如图，已知C为线段AB上的一点，∆ACM和∆CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：∆CEF是等边三角形。

4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD< (AB+AC)

5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

求证：BD＝CG．

【试题答案】

1. D

2.证明：

∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，

∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。

∴ △BOD≌△COE（ASA）． 

∴ OB＝OC

3. 分析 由∠ACM=∠BCN=60︒，知∠ECF=60︒，欲证∆CEF是等边三角形，只要证明∆CEF是等腰三角形。先证∆CAN≌∆MCB，得∠1=∠2.再证∆CFN≌∆CEB，即可推得∆CEF是等边三角形的结论。

证明：在∆CAN和∆MCB，

∵AC=MC，CN=CB，

∠CAN=∠MCB=120︒，

∴∆ACN≌∆MCB中，

∴ ∠FCB和∆CEB中，

∵∠FCN=∠ECB=60︒，∠1=∠2，CN=CB，

∴∆CFN≌∆CEB，∴CF=CE，

又∵∠ECF=60︒，

∴∆CEF是等边三角形.

4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．

证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE

在∆ACD与∆EBD中

∴ ∆ACD≌∆EBD（SAS）

∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）

在∆ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）

∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）

说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。

5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB

证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，

∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F

∴∠AEC＝∠CFB＝90°

又∠ACB＝90°

∴ ∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF

∴ Rt△AEC≌Rt△CFB

∴CE＝BF

在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，

∴ Rt△BFD≌Rt△CEG

∴ BD＝CG