填空题

1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法．

2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法．

3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______．

4．所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程的非负整数解的个数为_ 6 ___．

6．由初始条件及递推关系确定的数列叫做Fibonacci数列

7．（3x-2y）20 的展开式中x10y10的系数是．

8．求6的4拆分数 2 ．

9．已知在Fibonacci数列中，已知，试求Fibonacci数10946

10．计算

11．（ D ）A．5 B. 8 C. 10 D. 6

12．选择题

1．集合的非空真子集的个数为（ A ） C. 1024

2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ）

A．800 B. 780 C. 900 D. 850

3．设满足条件，则有序正整数对的个数为（ D ）

A. 100 C. 50

4．求中项的系数是（ C ）

B. 60

5．多项式中项的系数是（ C ）

A．78 B. 104 C. 96 D. 48

6．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式

A. 63 B. 126 C. 252

7．递推关系的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解

A． B. C. D.

8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的位数（ ）运用指数生产定理

A. B. .

9．不定方程正整数的解的个数为多少（ A/ C ）不确定

A. B. C. D.

10．的非负整数解个数为（ A ）

D. 50

11．从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除（ A ）

12．期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里

把全部科目复习完，则有多少种不同的安排（ D ）

A. 9 B. 16

13．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。

A．50 B．57 C．43 D．11

14．将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。

A、1 B、2 C、3 D、4

15．组合式与下列哪个式子相等（ B ）

A、 B、+ C、 D、

16．在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。

A、 2 B、 4 C、 9 D、 24

17．若存在一递推关系则 ( A ).

A. B. C. D.

18．递推关系的特解形式是（ B ）（为待定系数）

A. B. C. D.

19．错位排列数 ( C ) 答案：C

A. B. C. D.

20．有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ C ）只小鸟

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

21．10个节目中有6个演唱，4个舞蹈，今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱，问可编写出多少种不同的演出节目单

22．数列的生成函数是（ D ）。

A、 B、 C、 D、

23．6个男孩和4个女孩站成一圈，如果没有两个女孩相邻，有（ C ）种排法。

A、 B、 C、 D、

24．排A，B，C，D，E，F六个字母，使A，B之间恰有2个字母的方式数（ D ）。

A、12 B、72 C、36 D、144

25．求多重集的8-排列数是（ C ）

A. 700 B. 140 C. 1260 D. 1200

26．一糕点店生产8种糕点，如果一盒内装有12块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）（　B　）

Ａ．50000　Ｂ．50388　Ｃ．55000　Ｄ．52788

27．在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ A ）

A． B. C. D.

28．的生成函数是（ D ）

A． B. C. D.

计算题

1．试确定多重集的组合数。

解：把S的r—组合分成两类：

①包含的组合：这种组合数等于

即

②不包含的组合：这种组合数等于组合数

即

由加法法则，所求的组合数为

2．求的6-排列数

解： 根据题意有：

则的全排列数

3．求展开式中的系数

4．求的展开式中的系数,其中。 （）

解： =。 又因为

所以的系数为 （）

5．(1)求的生成成函数。（）

解：设，则

(2)解递归关系：，。

答案：解特征方程x2-4x-4=0 x1=x2=2. 得H(n)=2n{1+n/2}

6．求重集的10-组合数。

答案：C(10+3-1 , 10)

7．的展开式在合并同类项后一共有多少项

答案：C(100+4-1 , 100).

8．解递推关系（）

解：递推关系 （1）

的特征方程为，特征根为故其通解为

因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系

（2）

有特征根，其中A和B是待定常数，代入（2）式得

化简得所以

解之得于是其中是待定常数。由初始条件得

解之得所以

9.解递推关系（）

解：递推关系 （1）

的特征方程为，特征根为故其通解为

因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系

（2）

有特征根，其中A和B是待定常数，代入（2）式得

化简得所以

解之得于是其中是待定常数。由初始条件得

解之得所以

答案：

10．求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数。

解：设A为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C为1至1000的整数中能被8整除的数的个数.

则

所以

即所求为：.

11．在所有的位数中，包含数字3、8、9但不包含数字0、4的数有多少

解：除去0、4，则在1、2、3、5、6、7、8、9这8个数组成的位数中:

令表示由这8个数字组成的所有位数的集合，则；

令表示具有性质：一个位数不包含3；

令表示具有性质：一个位数不包含8；

令表示具有性质：一个位数不包含9；

令表示中具有性质的元素构成的集合

则有容斥原理，

而，

所以

12．求的展开式中的系数。

解：原式==

所以的系数=80

13．请确定在的展开式中项的系数。

试确定多重集的组合数。

解：构造多重集S’={∞*b1, ∞*b2, ∞*b3, ∞*b4}，令S’ 的所有10−组合构成的集合为S，有|S|=C(4+10-1,10)。令B为至少出现4个b2的组合构成的集合， C为至少出现6个b3的组合构成的集合，D为至少出现8个b4的组合构成的集合。

由于B中的每一个10−组合至少含有4个b2，故这样的一个组合相当于S’ 的一个6−组合，反之， S’ 的一个6−组合加上4个b2就得到了B的一个10−组合。这两种选法是一一对应的。故|B|=C(4+6-1,6)，同理有|C|=C(4+4-1,4)，|D|=C(4+2-1,2)。

类似的分析可得

|B∩C|=C(4+0-1,0)，|B∩D|=0，|C∩D|=0，|B∩C∩D|=0。

根据容斥原理，S的10−组合数为286-(84+35+10)+(1+0+0)-0=158

14．解递推关系：

解：特征方程为，特征根为

所以对应的齐次递推关系式有的通解

原递推式有特解为，代入原递推式得A=1，D=2，因此原递推式有通解，再将代入通解得，所以

14.有红球4个，黄球3个，白球3个，把它们排成一条直线，有多少种排法

解：由定理得：

15．求的5-可重排列数。

解法1：

所以的系数为：

则的系数为：（）=25

的5-排列数有, ,三种情况。

15．求的正整数解的个数

解：

证明题

1．证明：边长为4的正三角形内任意5个点必有两点其距离不超过2。

答案：取个边中点将三角形等分为四个边长为2的三角形。则5个点中必然有两个落在同一个三角形内。

2．设是个正整数，证明其中存在着连续的若干数，其和为的倍数。

3.设是元集，则的子集数是。

4．某学生在37天里共做了60道数学题。已知他每天至少做1道题，求证：必存在连续的若干天，在这些天里该学生恰做了13道数学题。

证明：设该同学从第1天至第天共做了道数学题，则

， 则

则

如果，则

这与矛盾，所以，从而存在使得即这表明该学生从第天到第天共做了13道数学题。

5．证明 ：。这里，表示从个对象中取个的方法数。

答案：等式左边表示从2n个不同的球中取两个球的方法数。我们把2n个球平均分成A，B两组，选球的方法有以下两类：去自同一组的选法数为; 取自不同组的球的方法数为

6．如n, r∈N且n≥r≥2，则P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 。

证明：当r≥2时，把集合A的r−排列分为两大类：一类包含A中的某个固定元素，不妨设为a1，另一类不包含a1 。第一类排列相当于先从A-{a1}中取r-1个元素进行排列，有P(n-1,r-1)种取法，再将a1放入每一个上述排列中，对任一排列，a1都有r种放法。由乘法法则，第一类排列共有r×P(n-1,r-1)个。第二类排列实质上是A-{a1}的r−排列，共有P(n-1,r)个。再由加法法则有P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 证毕。

7．用非降路径法证明：

这里，表示从个对象中取个元素的方法数。

答案：（0,0）到（m,n）的路径数为C(m+n , n); 又，(0,0)到(m,n) 的任一路径必过(m-1,n)或 。故，等式成立；

8．证明：。

解：证明：法1, 设A={am},B={bn},且A∩B=Φ，则A∪B=C有m+n个元素。C的r−组合个数为C(m+n,r)，而C的每个r−组合无非是先从A中取k个元素，再从B中取出r-k个元素组成(k=0,1,…,r)。由乘法法则共有C(m,k)C(n,r-k)种取法，再由加法法则即可得证。

应用题

1．一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有多少种可能使得没有

一位来宾取回的是他自己的帽子

44种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子。

解：属于重排问题，所求为。………（6分）

2. 对夫妻围圆桌就座，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式

2．用17张100元钱买3支股票，不要求每支股票都买，但要求买A股钱数必须

是200的倍数，买B股钱数是400的倍数，求有多少种买法

25种买法。

解：此题等同于求方程的非负整数解的个数。

方程通过换元可变为：，其中为非负整数，为非负偶数，为非负的4的倍数的整数。

由此构造常生函数：所求为常生成函数的的系数，化简生成函数为：

，可求得公式得的系数为25。

3．方程有多少满足，，，的整数解

解 进行变量代换：

，，，

则方程变为

原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为

3．用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器和。规定每台仪器只能用一种颜色并任意两台仪器都不能相同。如果不允许用蓝色和红色，不允许用蓝色和绿色，不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案

5．一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。

证明 设从第一天到第i天她共学习了小时。因为她每天至少学习1小时，所以和都是严格单调递增序列。因为总的学习时间不超过60小时，所以，。,是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相同的整数，有和使得，，从第天到第i天她恰好学习了13小时。

6．8个女孩围坐在旋转木马上。她们可以有多少种方法改变座位，使得每个女孩前面的女孩都与原先的不同

解 令S为的全部个循环排列的集合，为出现模式的循环排列的集合（），为出现模式的循环排列的集合。若且是集合中的不同整数，则。。因此，

她们可以有1625种方法改变座位。

7．把个苹果送给3个孩子，若使得任意两个孩子得到的苹果总数大于另一个孩子的苹果树，问有多少种分法