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    人教中考数学专题训练---平行四边形的综合题分类附详细答案

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    一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
    1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．
    （1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

    （2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．

    （3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=
    1
    ，求BE2+DG2的值．2
    【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】
    分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；
    ②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；
    （2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；
    （3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；
    ②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，

    ∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．
    （2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，
    BCCGb
    ，DCCEa又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，
    ∴
    又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．
    根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°
    ∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．

    点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．

    2．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
    （1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；
    （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．


    【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣（2）S的最大值为（3）x=【解析】
    ，或x=
    ，此时x=2．，或x=
    ．
    x）．
    试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．
    （2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．（3）本题要分类讨论：
    ①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；
    ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．
    ③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN的长，联立CN的表达式即可求出x的值．试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，有题意可得：PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴∴解得：QP=∴PM=3﹣

    x，x，

    由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P点坐标为（x，3﹣
    x）．
    （2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC边上的高为∴S==﹣
    （4﹣x）×（x﹣2）2+
    ，其中，0≤x≤4．x=．，此时x=2．
    （﹣x2+4x）
    ∴S的最大值为
    （3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=
    ．
    x，4﹣x=
    x，
    ②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=∴x=
    ；
    ③若CN=NP，则CN=4﹣x．∵PQ=
    x，NQ=4﹣2x，
    ∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（∴x=
    ．
    ，或x=
    ，或x=
    ．
    x）2，
    综上所述，x=


    考点：二次函数综合题．

    3．（1）（问题发现）
    如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）
    在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）
    当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

    【答案】（1）BE=2AF；（2）无变化；（3）AF的长为3﹣1或3+1．【解析】
    试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD=2，再得出BE=AB=2，即可得出结论；
    （2）先利用三角函数得出
    CA2CF2
    ，同理得出，夹角相等即可得出
    CB2CE2
    △ACF∽△BCE，进而得出结论；
    （3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出
    EF=CF=AD=2，BF=6，即可得出BE=6﹣2，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．试题解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=2AB=22，点D为BC的中点，∴AD=
    1
    BC=2，2
    ∵四边形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=2，

    ∵BE=AB=2，∴BE=2AF，故答案为BE=2AF；（2）无变化；
    如图2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=在正方形CDEF中，∠FEC=在Rt△CEF中，sin∠FEC=∴
    CA2
    ，
    CB2
    1
    ∠FED=45°，2
    CF2
    ，
    CE2
    CFCA
    ，CECB
    ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，
    BECB
    =2，∴BE=2AF，AFCA
    ∴线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段AF上时，如图2，
    ∴△ACF∽△BCE，∴
    由（1）知，CF=EF=CD=2，在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，
    根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF﹣EF=6﹣2，由（2）知，BE=2AF，∴AF=3﹣1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
    在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=在正方形CDEF中，∠FEC=在Rt△CEF中，sin∠FEC=
    CA2
    ，
    CB2
    1
    ∠FED=45°，2
    CFCACF2
    ，∴，
    CECBCE2
    ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴
    BECB
    =2，∴BE=2AF，AFCA
    由（1）知，CF=EF=CD=2，在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，
    根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF+EF=6+2，由（2）知，BE=2AF，∴AF=3+1．
    即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为3﹣1或3+1．



    4．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P作PE⊥PC交直线AB于E．（1）求证：PC=PE;
    （2）延长AP交直线CD于点F.
    ①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；②若ΔAPE的面积是
    216
    ，则DF的长为25
    72
    ，则△MNQ的3
    （3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M,作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN=面积是

    【答案】（1）略；（2）①8，②4或9；（3）【解析】【分析】
    56
    （1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证;
    （2）作出△ADP和△DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可;
    （3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.【详解】
    (1证明：∵点P在对角线BD上，

    ∴△ADP≌△CDP,∴AP=CP,∠DAP=∠DCP,
    ∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°,
    ∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC,∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP,∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°,∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°=135°-∠BPC,∴∠PEA=∠PAE,∴PC=PE;
    （2）①如图2，过点P分别作PH⊥AD,PG⊥CD,垂足分别为H、G.延长GP交AB于点
    M.
    ∵四边形ABCD是正方形，P在对角线上，∴四边形HPGD是正方形，∴PH=PG,PM⊥AB,设PH=PG=a,
    ∵F是CD中点，AD＝6，则FD=3,S∵S∴
    ADF
    ADF
    =9,
    =S
    ADP
    S
    DFP
    =
    11
    ADPHDFPG,22
    11
    a6a39,解得a=2,22
    ∴AM=HP=2,MP=MG-PG=6-2=4,又∵PA=PE,∴AM=EM,AE=4,
    11
    ∵SAPE=EAMP448,
    22
    ②设HP＝b,由①可得AE=2b,MP=6-b,
    ∴S
    APE=
    12162b6b,225
    解得b=2.4或3.6,
    11
    ADPHDFPG,22
    111
    ∴6bDFbDF6,222
    ∵S
    ADF
    =S
    ADP
    S
    DFP
    =

    ∴当b=2.4时，DF=4；当b＝3.6时，DF＝9,即DF的长为4或9;（3）如图，

    ∵E、Q关于BP对称，PN∥CD,∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°,∴∠1+∠4=45°,∴∠3=∠4,
    易证△PEM≌△PQM,△PNQ≌△PNC,∴∠5=∠6,∠7=∠8,EM=QM,NQ=NC,∴∠6+∠7=90°,∴△MNQ是直角三角形,设EM=a,NC=b列方程组
    72ab52
    3
    2,
    72a2b23

    可得∴S
    15ab=,26
    MNQ

    5
    ,6
    【点睛】
    本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.要注意运用数形结合思想.

    5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC与A′B′的交点D的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；
    （3）若P为线段BC′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．


    【答案】（1）(662,6；（2）(333,333；（3）323AP323.【解析】【分析】
    （1）当α＝45°时，延长OA′经过点B，在Rt△BA′D中，∠OBC＝45°，A′B＝626，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；
    （2）过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝
    1
    OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．2
    【详解】
    解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，
    如图①，延长OA′经过点B，
    ∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626，
    ∴BD＝（626）×21262，∴CD＝6﹣（1262）=626，
    ∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662，6）；

    （2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，

    ∵∠OC′B′＝90°，
    ∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，
    ∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，
    ∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为333,333
    ；

    （3）如图③，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，∵P为线段BC′的中点，∴PK＝
    1
    2
    OC′＝3，∴P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK＝32，
    ∴AP最大值为323，AP的最小值为323，∴AP长的取值范围为323AP323.

    【点睛】
    本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（利用中位线定理得出点P的轨迹．

    3）问解题的关键是
    6．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的关系是___；
    （2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
    （3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

    【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立.【解析】
    试题分析：（1）只要证明四边形CDGF是平行四边形即可得出FG=CE，FG∥CE；（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=C，FG∥CE；
    （3）证明△CBF≌△DCE后，即可证明四边形CEGF是平行四边形．试题解析：解：（1）FG=CE，FG∥CE；
    （2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H．∵EG⊥DE，
    ∴∠GEH+∠DEC=90°．∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HE．在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD．∵CE=BF，∴GH=BF．∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；
    （3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°．在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE．∵EG=DE，∴CF=EG．∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°．∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．


    7．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．


    （1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系；
    （2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；
    （3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明．
    【答案】（1）OE＝OF．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE．【解析】【分析】
    （1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定AOECOF(AAS，得出OE=OF；（2）先延长EO交CF于点G，通过判定AOECOG(ASA，得出OG=OE，再根据
    RtEFG中，OF
    1
    EG，即可得到OE=OF；2
    （3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可．【详解】
    （1）OE=OF．理由如下：如图1．
    ∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC．
    ∵AEBP，CFBP，∴AEOCFO90．
    AEOCFO
    ∵在AOE和COF中，AOECOF，∴AOECOF(AAS，∴OE=OF；
    OAOC
    （2）补全图形如图2，OE=OF仍然成立．证明如下：延长EO交CF于点G．
    ∵AEBP，CFBP，∴AE//CF，∴EAOGCO．又∵点O为AC的中点，∴AO=CO．
    EAOGCO
    在AOE和COG中，AOCO，∴AOECOG(ASA，∴OG=OE，
    AOECOG

    1
    EG，∴OE=OF；2
    （3）CF=OE+AE或CF=OE-AE．
    ∴RtEFG中，OF
    证明如下：①如图2，当点P在线段OA上时．
    ∵OEF30，EFG90，∴OGF60，由（2）可得：OF=OG，∴OGF是等边三角形，∴FG=OF=OE，由（2）可得：AOECOG，∴CG=AE．又∵CF=GF+CG，∴CF=OE+AE；
    ②如图3，当点P在线段OA延长线上时．
    ∵OEF30，EFG90，∴OGF60，同理可得：OGF是等边三角形，∴FG=OF=OE，同理可得：AOECOG，∴CG=AE．又∵CF=GF-CG，∴CF=OE-AE．

    【点睛】
    本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决．

    8．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是⊙O的切线；
    （2）连接EF，当∠D=°时，四边形FOBE是菱形．

    【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】
    （1）由等角的转换证明出OCA≌OCE，根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线.（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证OBE为等边三角形，而得出

    BOE60，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】
    （1）证明：∵CD与⊙O相切于点E，∴OECD，∴CEO90，
    又∵OCBE，
    ∴COEOEB，∠OBE=∠COA∵OE=OB，
    ∴OEBOBE，∴COECOA，又∵OC=OC，OA=OE，∴OCA≌OCE，（SAS）∴CAOCEO90，又∵AB为⊙O的直径，∴AC为⊙O的切线；
    （2）解：∵四边形FOBE是菱形，∴OF=OB=BF=EF，∴OE=OB=BE，
    ∴OBE为等边三角形，∴BOE60，而OECD，∴D30．故答案为30．【点睛】
    本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

    9．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．

    （1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=
    BC；

    （2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；
    （3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．
    【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=【解析】
    试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=
    BC，即可；
    BC
    （2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=
    BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；
    （3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=试题解析：（1）连接AH，如图1，
    BC，即可．

    ∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，
    在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，
    BC，
    ∴AH=
    ∵OA=AE，OH=HF，
    =
    ∴AH是△OEF的中位线，

    ∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，
    BC=EF，BC；
    ∴EF⊥BC，EF=
    （2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，

    ∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=
    BC，AH⊥BC，
    BH）2﹣BH2=BH2，
    在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如图3，

    ∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，

    ∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，
    在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC2=（k2-）BC2，
    ）
    ∴AH=BH=
    BC，
    ∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，∴EF=
    BC．
    BC=EF，
    考点：四边形综合题．

    10．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

    （1）求证：∠APB=∠BPH；
    （2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．
    【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】
    试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
    （2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
    （3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，


    ∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．
    （2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

    由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，在△ABP和△QBP中，
    ，
    ∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．
    又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，在△BCH和△BQH中，
    ，
    ∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．

    ∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周长是定值．
    （3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．

    又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．
    ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM和△BPA中，
    ，
    ∴△EFM≌△BPA（AAS）．∴EM=AP．设AP=x
    在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BE-EM=2+-x，∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．当x=2时，BE+CF取最小值，∴AP=2．
    考点：几何变换综合题．


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