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    同济大学线性代数第六版课后答案全

    时间：2020-05-16 16:03:40    下载该word文档

    第一章 行列式

    1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

    (1);

    解

    =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8

    -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)

    =-24+8+16-4=-4.

    (2);

    解

    =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc

    =3abc-a3-b3-c3.

    (3);

    解

    =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2

    =(a-b)(b-c)(c-a).

    (4).

    解

    =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3

    =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3

    =-2(x3+y3).

    2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:

    (1)1 2 3 4;

    解 逆序数为0

    (2)4 1 3 2;

    解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.

    (3)3 4 2 1;

    解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.

    (4)2 4 1 3;

    解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.

    (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n-1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n);

    解 逆序数为:

    3 2 (1个)

    5 2, 5 4(2个)

    7 2, 7 4, 7 6(3个)

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

    (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)

    (6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n-1) (2n) (2n-2) ⋅ ⋅ ⋅ 2.

    解 逆序数为n(n-1) :

    3 2(1个)

    5 2, 5 4 (2个)

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

    (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)

    4 2(1个)

    6 2, 6 4(2个)

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

    (2n)2, (2n)4, (2n)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n)(2n-2) (n-1个)

    3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

    解 含因子a11a23的项的一般形式为

    (-1)ta11a23a3ra4s,

    其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.

    所以含因子a11a23的项分别是

    (-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,

    (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.

    4. 计算下列各行列式:

    (1);

    解

    .

    (2);

    解

    .

    (3);

    解

    .

    (4).

    解

    =abcd+ab+cd+ad+1.

    5. 证明:

    (1)=(a-b)3;

    证明

    =(a-b)3 .

    (2);

    证明

    .

    (3);

    证明

    (c4-c3, c3-c2, c2-c1得)

    (c4-c3, c3-c2得)

    .

    (4)

    =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);

    证明

    =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).

    (5)=xn+a1xn-1+ ⋅ ⋅ ⋅ +an-1x+an .

    证明 用数学归纳法证明.

    当n=2时, , 命题成立.

    假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即

    Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ ⋅ ⋅ ⋅ +an-2x+an-1,

    则Dn按第一列展开, 有

    =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ ⋅ ⋅ ⋅ +an-1x+an .

    因此, 对于n阶行列式命题成立.

    6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得

    , , ,

    证明, D3=D .

    证明　因为D=det(aij), 所以

    .

    同理可证

    .

    .

    7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):

    (1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0;

    解

    (按第n行展开)

    =an-an-2=an-2(a2-1).

    (2);

    解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得

    ,

    再将各列都加到第一列上, 得

    =[x+(n-1)a](x-a)n-1.

    (3);

    解 根据第6题结果, 有

    此行列式为范德蒙德行列式.

    .

    (4);

    解

    (按第1行展开)

    .

    再按最后一行展开得递推公式

    D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2.

    于是 .

    而 ,

    所以 .

    (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;

    解 aij=|i-j|,

    =(-1)n-1(n-1)2n-2.

    (6), 其中a1a2 ⋅ ⋅ ⋅ an≠0.

    解

    .

    8. 用克莱姆法则解下列方程组:

    (1);

    解 因为

    ,

    , ,

    , ,

    所以 , , , .

    (2).

    解 因为

    ,

    , ,

    , ,

    ,

    所以

    , , , , .

    9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组有非零解？

    解 系数行列式为

    .

    令D=0, 得

    μ=0或λ=1.

    于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.

    10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组有非零解？

    解 系数行列式为

    =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)

    =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.

    令D=0, 得

    λ=0, λ=2或λ=3.

    于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.

    第二章　矩阵及其运算

    1. 已知线性变换:

    ,

    求从变量x1, x2, x3到变量y1, y2, y3的线性变换.

    解 由已知:

    ,

    故 ,

    .

    2. 已知两个线性变换

    , ,

    求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换.

    解 由已知

    ,

    所以有.

    3. 设, , 求3AB-2A及ATB.

    解

    ,

    .

    4. 计算下列乘积:

    (1);

    解 .

    (2);

    解 =(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).

    (3);

    解 .

    (4) ;

    解 .

    (5);

    解

    =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3)

    .

    5. 设, , 问:

    (1)AB=BA吗?

    解 AB≠BA.

    因为, , 所以AB≠BA.

    (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?

    解 (A+B)2≠A2+2AB+B2.

    因为,

    ,

    但 ,

    所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.

    (3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?

    解 (A+B)(A-B)≠A2-B2.

    因为, ,

    ,

    而 ,

    故(A+B)(A-B)≠A2-B2.

    6. 举反列说明下列命题是错误的:

    (1)若A2=0, 则A=0;

    解 取, 则A2=0, 但A≠0.

    (2)若A2=A, 则A=0或A=E;

    解 取, 则A2=A, 但A≠0且A≠E.

    (3)若AX=AY, 且A≠0, 则X=Y .

    解 取

    , , ,

    则AX=AY, 且A≠0, 但X≠Y .

    7. 设, 求A2, A3, ⋅ ⋅ ⋅, Ak.

    解 ,

    ,

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,

    .

    8. 设, 求Ak .

    解 首先观察

    ,

    ,

    ,

    ,

    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,

    .

    用数学归纳法证明:

    当k=2时, 显然成立.

    假设k时成立，则k+1时，

    ,

    由数学归纳法原理知:

    .

    9. 设A, B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.

    证明 因为AT=A, 所以

    (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,

    从而BTAB是对称矩阵.

    10. 设A, B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

    证明 充分性: 因为AT=A, BT=B, 且AB=BA, 所以

    (AB)T=(BA)T=ATBT=AB,

    即AB是对称矩阵.

    必要性: 因为AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以

    AB=(AB)T=BTAT=BA.

    11. 求下列矩阵的逆矩阵:

    (1);

    解 . |A|=1, 故A-1存在. 因为

    ,

    故 .

    (2);

    解 . |A|=1≠0, 故A-1存在. 因为

    ,

    所以 .

    (3);

    解 . |A|=2≠0, 故A-1存在. 因为

    ,

    所以 .

    (4)(a1a2⋅ ⋅ ⋅an ≠0) .

    解 , 由对角矩阵的性质知

    .

    12. 解下列矩阵方程:

    (1);

    解 .

    (2);

    解

    .

    (3);

    解

    .

    (4).

    解

    .

    13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:

    (1);

    解 方程组可表示为

    ,

    故 ,

    从而有 .

    (2).

    解 方程组可表示为

    ,

    故 ,

    故有 .

    14. 设Ak=O (k为正整数), 证明(E-A)-1=E+A+A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak-1.

    证明 因为Ak=O , 所以E-Ak=E. 又因为

    E-Ak=(E-A)(E+A+A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak-1),

    所以 (E-A)(E+A+A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak-1)=E,

    由定理2推论知(E-A)可逆, 且

    (E-A)-1=E+A+A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak-1.

    证明 一方面, 有E=(E-A)-1(E-A).

    另一方面, 由Ak=O, 有

    E=(E-A)+(A-A2)+A2-⋅ ⋅ ⋅-Ak-1+(Ak-1-Ak)

    =(E+A+A2+⋅ ⋅ ⋅+A k-1)(E-A),

    故 (E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak-1)(E-A),

    两端同时右乘(E-A)-1, 就有

    (E-A)-1(E-A)=E+A+A2+⋅ ⋅ ⋅+Ak-1.

    15. 设方阵A满足A2-A-2E=O, 证明A及A+2E都可逆, 并求A-1及(A+2E)-1.

    证明 由A2-A-2E=O得

    A2-A=2E, 即A(A-E)=2E,

    或 ,

    由定理2推论知A可逆, 且.

    由A2-A-2E=O得

    A2-A-6E=-4E, 即(A+2E)(A-3E)=-4E,

    或

    由定理2推论知(A+2E)可逆, 且.

    证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 两端同时取行列式得

    |A2-A|=2,

    即 |A||A-E|=2,

    故 |A|≠0,

    所以A可逆, 而A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|2≠0, 故A+2E也可逆.

    由 A2-A-2E=O ⇒A(A-E)=2E

    ⇒A-1A(A-E)=2A-1E⇒,

    又由 A2-A-2E=O⇒(A+2E)A-3(A+2E)=-4E

    ⇒ (A+2E)(A-3E)=-4 E,

    所以 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,

    .

    16. 设A为3阶矩阵, , 求|(2A)-1-5A*|.

    解 因为, 所以

    =|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16.

    17. 设矩阵A可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A-1)*.

    证明 由, 得A*=|A|A-1, 所以当A可逆时, 有

    |A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1≠0,

    从而A*也可逆.

    因为A*=|A|A-1, 所以

    (A*)-1=|A|-1A.

    又, 所以

    (A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.

    18. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*, 证明:

    (1)若|A|=0, 则|A*|=0;

    (2)|A*|=|A|n-1.

    证明

    (1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E, 由此得

    A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,

    所以A*=O, 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.

    (2)由于, 则AA*=|A|E, 取行列式得到

    |A||A*|=|A|n.

    若|A|≠0, 则|A*|=|A|n-1;

    若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立.

    因此|A*|=|A|n-1.

    19. 设, AB=A+2B, 求B.

    解 由AB=A+2E可得(A-2E)B=A, 故

    .

    20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B.

    解 由AB+E=A2+B得

    (A-E)B=A2-E,

    即 (A-E)B=(A-E)(A+E).

    因为, 所以(A-E)可逆, 从而

    .

    21. 设A=diag(1, -2, 1), A*BA=2BA-8E, 求B.

    解 由A*BA=2BA-8E得

    (A*-2E)BA=-8E,

    B=-8(A*-2E)-1A-1

    =-8[A(A*-2E)]-1

    =-8(AA*-2A)-1

    =-8(|A|E-2A)-1

    =-8(-2E-2A)-1

    =4(E+A)-1

    =4[diag(2, -1, 2)]-1

    =2diag(1, -2, 1).

    22. 已知矩阵A的伴随阵,

    且ABA-1=BA-1+3E, 求B.

    解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2.

    由ABA-1=BA-1+3E得

    AB=B+3A,

    B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A

    .

    23. 设P-1AP=Λ, 其中, , 求A11.

    解 由P-1AP=Λ, 得A=PΛP-1, 所以A11= A=PΛ11P-1.

    |P|=3, , ,

    而 ,

    故 .

    24. 设AP=PΛ, 其中, ,

    求ϕ(A)=A8(5E-6A+A2).

    解 ϕ(Λ)=Λ8(5E-6Λ+Λ2)

    =diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]

    =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).

    ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1

    .

    25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵.

    证明 因为

    A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,

    而A-1(A+B)B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1(A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆.

    (A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.

    26. 计算.

    解 设, , , ,

    则 ,

    而 ,

    ,

    所以 ,

    即 .

    27. 取, 验证.

    解 ,

    而 ,

    故 .

    28. 设, 求|A8|及A4.

    解　令, ,

    则 ,

    故 ,

    .

    .

    29. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆, 求

    (1);

    解 设, 则

    .

    由此得 ⇒,

    所以 .

    (2).

    解 设, 则

    .

    由此得 ⇒,

    所以 .

    30. 求下列矩阵的逆阵:

    (1);

    解 设, , 则

    , .

    于是 .

    (2).

    解 设, , , 则

    .

    第三章　矩阵的初等变换与线性方程组

    1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:

    (1);

    解 (下一步: r2+(-2)r1, r3+(-3)r1. )

    ~(下一步: r2÷(-1), r3÷(-2). )

    ~(下一步: r3-r2. )

    ~(下一步: r3÷3. )

    ~(下一步: r2+3r3. )

    ~(下一步: r1+(-2)r2, r1+r3. )

    ~.

    (2);

    解 (下一步: r2⨯2+(-3)r1, r3+(-2)r1. )

    ~(下一步: r3+r2, r1+3r2. )

    ~(下一步: r1÷2. )

    ~.

    (3);

    解 (下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )

    ~(下一步: r2÷(-4), r3÷(-3) , r4÷(-5). )

    ~(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. )

    ~.

    (4).

    解 (下一步: r1-2r2, r3-3r2, r4-2r2. )

    ~(下一步: r2+2r1, r3-8r1, r4-7r1. )

    ~(下一步: r1↔r2, r2⨯(-1), r4-r3. )

    ~(下一步: r2+r3. )

    ~.

    2. 设, 求A.

    解 是初等矩阵E(1, 2), 其逆矩阵就是其本身.

    是初等矩阵E(1, 2(1)), 其逆矩阵是

    E(1, 2(-1)) .

    .

    3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:

    (1);

    解 ~

    ~~

    ~

    故逆矩阵为.

    (2).

    解

    ~

    ~

    ~

    ~

    ~

    故逆矩阵为.

    4. (1)设, , 求X使AX=B;

    解 因为

    ,

    所以 .

    (2)设, , 求X使XA=B.

    解 考虑ATXT=BT. 因为

    ,

    所以 ,

    从而 .

    5. 设, AX =2X+A, 求X.

    解 原方程化为(A-2E)X =A. 因为

    ,

    所以 .

    6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?

    解 在秩是r的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式.

    例如, , R(A)=3.

    是等于0的2阶子式, 是等于0的3阶子式.

    7. 从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问A, B的秩的关系怎样?

    解 R(A)≥R(B).

    这是因为B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不会小于B的秩.

    8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是

    (1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).

    解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:

    ,

    此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.

    9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:

    (1);

    解 (下一步: r1↔r2. )

    ~(下一步: r2-3r1, r3-r1. )

    ~(下一步: r3-r2. )

    ~,

    矩阵的, 是一个最高阶非零子式.

    (2);

    解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )

    ~(下一步: r3-3r2. )

    ~,

    矩阵的秩是2, 是一个最高阶非零子式.

    (3).

    解 (下一步: r1-2r4, r2-2r4, r3-3r4. )

    ~(下一步: r2+3r1, r3+2r1. )

    ~(下一步: r2÷16r4, r3-16r2. )

    ~

    ~,

    矩阵的秩为3, 是一个最高阶非零子式.

    10. 设A、B都是m⨯n矩阵, 证明A~B的充分必要条件是R(A)=R(B).

    证明 根据定理3, 必要性是成立的.

    充分性. 设R(A)=R(B), 则A与B的标准形是相同的. 设A与B的标准形为D, 则有

    A~D, D~B.

    由等价关系的传递性, 有A~B.

    11. 设, 问k为何值, 可使

    (1)R(A)=1; (2)R(A)=2; (3)R(A)=3.

    解 .

    (1)当k=1时, R(A)=1;

    (2)当k=-2且k≠1时, R(A)=2;

    (3)当k≠1且k≠-2时, R(A)=3.

    12. 求解下列齐次线性方程组:

    (1);

    解　对系数矩阵A进行初等行变换, 有

    A=~,

    于是 ,

    故方程组的解为

    (k为任意常数).

    (2);

    解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有

    A=~,

    于是 ,

    故方程组的解为

    (k1, k2为任意常数).

    (3);

    解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有

    A=~,

    于是 ,

    故方程组的解为

    .

    (4).

    解 对系数矩阵A进行初等行变换, 有

    A=~,

    于是 ,

    故方程组的解为

    (k1, k2为任意常数).

    13. 求解下列非齐次线性方程组:

    (1);

    解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有

    B=~,

    于是R(A)=2, 而R(B)=3, 故方程组无解.

    (2);

    解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有

    B=~,

    于是 ,

    即 (k为任意常数).

    (3);

    解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有

    B=~,

    于是 ,

    即 (k1, k2为任意常数).

    (4).

    解 对增广矩阵B进行初等行变换, 有

    B=~,

    于是 ,

    即 (k1, k2为任意常数).

    14. 写出一个以

    为通解的齐次线性方程组.

    解 根据已知, 可得

    ,

    与此等价地可以写成

    ,

    或 ,

    或 ,

    这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.

    15. λ取何值时, 非齐次线性方程组

    .

    (1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?

    解

    .

    (1)要使方程组有唯一解, 必须R(A)=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.

    (2)要使方程组无解, 必须R(A)<R(B), 故

    (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0.

    因此λ=-2时, 方程组无解.

    (3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R(A)=R(B)<3, 故

    (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.

    因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.

    16. 非齐次线性方程组

    当λ取何值时有解？并求出它的解.

    解　~.

    要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2.

    当λ=1时,

    ~,

    方程组解为

    或,

    即 (k为任意常数).

    当λ=-2时,

    ~,

    方程组解为

    或,

    即 (k为任意常数).

    17. 设.

    问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.

    解 B=

    ~.

    要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须

    (1-λ)(10-λ)≠0,

    所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解.

    要使方程组无解, 必须R(A)<R(B), 即必须

    (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0,

    所以当λ=10时, 方程组无解.

    要使方程组有无穷多解, 必须R(A)=R(B)<3, 即必须

    (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,

    所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为

    B~,

    方程组的解为

    ,

    或 (k1, k2为任意常数).

    18. 证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT.

    证明 必要性. 由R(A)=1知A的标准形为

    ,

    即存在可逆矩阵P和Q, 使

    , 或.

    令, bT=(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q-1, 则a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT.

    充分性. 因为a与bT是都是非零向量, 所以A是非零矩阵, 从而R(A)≥1.

    因为

    1≤R(A)=R(abT)≤min{R(a), R(bT)}=min{1, 1}=1,

    所以R(A)=1.

    19. 设A为m⨯n矩阵, 证明

    (1)方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m;

    证明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要条件是

    R(A)=R(A, Em),

    而| Em|是矩阵(A, Em)的最高阶非零子式, 故R(A)=R(A, Em)=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m.

    (2)方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=n.

    证明 注意, 方程YA=En有解的充分必要条件是ATYT=En有解. 由(1) ATYT=En有解的充分必要条件是R(AT)=n. 因此，方程YA=En有解的充分必要条件是R(A)=R(AT)=n.

    20. 设A为m⨯n矩阵, 证明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 则X=Y.

    证明 由AX=AY, 得A(X-Y)=O. 因为R(A)=n, 由定理9, 方程A(X-Y)=O只有零解, 即X-Y=O, 也就是X=Y.

    第四章　向量组的线性相关性

    1. 设v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3.

    解 v1-v2=(1, 1, 0)T-(0, 1, 1)T

    =(1-0, 1-1, 0-1)T

    =(1, 0, -1)T.

    3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T

    =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T

    =(0, 1, 2)T.

    2. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T,

    a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T.

    解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得

    =(1, 2, 3, 4)T.

    3. 已知向量组

    A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T;

    B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T,

    证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示.

    证明 由

    知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示.

    由

    知R(B)=2. 因为R(B)≠R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示.

    4. 已知向量组

    A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T;

    B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T,

    证明A组与B组等价.

    证明 由

    ,

    知R(B)=R(B, A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)≥2, 又R(A)≤R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A组与B组等价.

    5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明

    (1) a1能由a2, a3线性表示;

    (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示.

    证明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示.

    (2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示.

    6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:

    (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T;

    (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T.

    解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为

    ,

    所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.

    (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为

    ,

    所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.

    7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？

    a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T.

    解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由

    知, 当a=-1、0、1时, R(A)<3, 此时向量组线性相关.

    8. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式.

    解 因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使

    λ1(a1+b)+λ2(a2+b)=0,

    由此得 ,

    设, 则

    b=ca1-(1+c)a2, c∈R.

    9. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之.

    解 不一定.

    例如, 当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T时, 有

    a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,

    而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的.

    10. 举例说明下列各命题是错误的:

    (1)若向量组a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am是线性相关的, 则a1可由a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性表示.

    解 设a1=e1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a2=a3= ⋅ ⋅ ⋅ =am=0, 则a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性相关, 但a1不能由a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性表示.

    (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm使

    λ1a1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmam+λ1b1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmbm=0

    成立, 则a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性相关, b1, b2, ⋅ ⋅ ⋅, bm亦线性相关.

    解 有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm使

    λ1a1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmam +λ1b1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmbm =0,

    原式可化为

    λ1(a1+b1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm(am+bm)=0.

    取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, ⋅ ⋅ ⋅, am=em=-bm, 其中e1, e2, ⋅ ⋅ ⋅, em为单位坐标向量, 则上式成立, 而a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am和b1, b2, ⋅ ⋅ ⋅, bm均线性无关.

    (3)若只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm全为0时, 等式

    λ1a1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmam+λ1b1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmbm=0

    才能成立, 则a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性无关, b1, b2, ⋅ ⋅ ⋅, bm亦线性无关.

    解 由于只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm全为0时, 等式

    由λ1a1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmam+λ1b1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmbm =0

    成立, 所以只有当λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm全为0时, 等式

    λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm(am+bm)=0

    成立. 因此a1+b1, a2+b2, ⋅ ⋅ ⋅, am+bm线性无关.

    取a1=a2= ⋅ ⋅ ⋅ =am=0, 取b1, ⋅ ⋅ ⋅, bm为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性相关.

    (4)若a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性相关, b1, b2, ⋅ ⋅ ⋅, bm亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm使

    λ1a1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmam=0, λ1b1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmbm=0

    同时成立.

    解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T,

    λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,

    λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,

    ⇒λ1=λ2=0, 与题设矛盾.

    11. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.

    证明 由已知条件得

    a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,

    于是 a1 =b1-b2+a3

    =b1-b2+b3-a4

    =b1-b2+b3-b4+a1,

    从而 b1-b2+b3-b4=0,

    这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.

    12. 设b1=a1, b2=a1+a2, ⋅ ⋅ ⋅, br =a1+a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +ar, 且向量组a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅ , ar线性无关, 证明向量组b1, b2, ⋅ ⋅ ⋅ , br线性无关.

    证明 已知的r个等式可以写成

    ,

    上式记为B=AK. 因为|K|=1≠0, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 从而向量组b1, b2, ⋅ ⋅ ⋅ , br线性无关.

    13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:

    (1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T;

    解　由

    ,

    知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组.

    (2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, -1, -5, -6), a3T=(1, -3, -4, -7).

    解 由

    ,

    知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1T与a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T线性无关, 所以a1T, a2T是一个最大无关组.

    14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:

    (1);

    解 因为

    ,

    所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

    (2).

    解 因为

    ,

    所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

    15. 设向量组

    (a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T

    的秩为2, 求a, b.

    解 设a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T.

    因为

    ,

    而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5.

    16. 设a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1, e2,⋅ ⋅ ⋅, en能由它们线性表示, 证明a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性无关.

    证法一 记A=(a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an), E=(e1, e2,⋅ ⋅ ⋅, en). 由已知条件知, 存在矩阵K, 使

    E=AK.

    两边取行列式, 得

    |E|=|A||K|.

    可见|A|≠0, 所以R(A)=n, 从而a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性无关.

    证法二 因为e1, e2,⋅ ⋅ ⋅, en能由a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性表示, 所以

    R(e1, e2,⋅ ⋅ ⋅, en)≤R(a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an),

    而R(e1, e2,⋅ ⋅ ⋅, en)=n, R(a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an)≤n, 所以R(a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an)=n, 从而a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性无关.

    17. 设a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示.

    证明 必要性: 设a为任一n维向量. 因为a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性无关, 而a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an, a是n+1个n维向量, 是线性相关的, 所以a能由a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性表示, 且表示式是唯一的.

    充分性: 已知任一n维向量都可由a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性表示, 故单位坐标向量组e1, e2, ⋅ ⋅ ⋅, en能由a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性表示, 于是有

    n=R(e1, e2, ⋅ ⋅ ⋅, en)≤R(a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an)≤n,

    即R(a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an)=n, 所以a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an线性无关.

    18. 设向量组a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性相关, 且a1≠0, 证明存在某个向量ak (2≤k≤m), 使ak能由a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, ak-1线性表示.

    证明 因为a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, am线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm, 使

    λ1a1+λ2a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λmam=0,

    而且λ2, λ3,⋅ ⋅ ⋅, λm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a1=0, 由a1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k(2≤k≤m), 使

    λk≠0, λk+1=λk+2= ⋅ ⋅ ⋅ =λm=0,

    于是

    λ1a1+λ2a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λkak=0,

    ak=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λk-1ak-1),

    即ak能由a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, ak-1线性表示.

    19. 设向量组B: b1, ⋅ ⋅ ⋅, br能由向量组A: a1, ⋅ ⋅ ⋅, as线性表示为

    (b1, ⋅ ⋅ ⋅, br)=(a1, ⋅ ⋅ ⋅, as)K, 其中K为s⨯r矩阵, 且A组线性无关. 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.

    证明　令B=(b1, ⋅ ⋅ ⋅, br), A=(a1, ⋅ ⋅ ⋅, as), 则有B=AK.

    必要性: 设向量组B线性无关.

    由向量组B线性无关及矩阵秩的性质, 有

    r=R(B)=R(AK)≤min{R(A), R(K)}≤R(K),

    及 R(K)≤min{r, s}≤r.

    因此R(K)=r.

    充分性: 因为R(K)=r, 所以存在可逆矩阵C, 使为K的标准形. 于是

    (b1, ⋅ ⋅ ⋅, br)C=( a1, ⋅ ⋅ ⋅, as)KC=(a1, ⋅ ⋅ ⋅, ar).

    因为C可逆, 所以R(b1, ⋅ ⋅ ⋅, br)=R(a1, ⋅ ⋅ ⋅, ar)=r, 从而b1, ⋅ ⋅ ⋅, br线性无关.

    20. 设

    ,

    证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn等价.

    证明 将已知关系写成

    ,

    将上式记为B=AK. 因为

    ,

    所以K可逆, 故有A=BK -1. 由B=AK和A=BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn等价.

    21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x, Ax, A2x线性无关.

    (1)记P=(x, Ax, A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB;

    解 因为

    AP=A(x, Ax, A2x)

    =(Ax, A2x, A3x)

    =(Ax, A2x, 3Ax-A2x)

    ,

    所以.

    (2)求|A|.

    解 由A3x=3Ax-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因为x, Ax, A2x线性无关, 故3x-Ax-A2x≠0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)<3, |A|=0.

    22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:

    (1);

    解　对系数矩阵进行初等行变换, 有

    ,

    于是得

    .

    取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(-16, 3)T;

    取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T.

    因此方程组的基础解系为

    ξ1=(-16, 3, 4, 0)T, ξ2=(0, 1, 0, 4)T.

    (2).

    解 对系数矩阵进行初等行变换, 有

    ,

    于是得

    .

    取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(-2, 14)T;

    取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T.

    因此方程组的基础解系为

    ξ1=(-2, 14, 19, 0)T, ξ2=(1, 7, 0, 19)T.

    (3)nx1 +(n-1)x2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2xn-1+xn=0.

    解 原方程组即为

    xn=-nx1-(n-1)x2- ⋅ ⋅ ⋅ -2xn-1.

    取x1=1, x2=x3= ⋅ ⋅ ⋅ =xn-1=0, 得xn=-n;

    取x2=1, x1=x3=x4= ⋅ ⋅ ⋅ =xn-1=0, 得xn=-(n-1)=-n+1;

    ⋅ ⋅ ⋅ ;

    取xn-1=1, x1=x2= ⋅ ⋅ ⋅ =xn-2=0, 得xn=-2.

    因此方程组的基础解系为

    ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n)T,

    ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n+1)T,

    ⋅ ⋅ ⋅,

    ξn-1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T.

    23. 设, 求一个4⨯2矩阵B, 使AB=0, 且

    R(B)=2.

    解 显然B的两个列向量应是方程组AB=0的两个线性无关的解. 因为

    ,

    所以与方程组AB=0同解方程组为

    .

    取(x3, x4)T=(8, 0)T, 得(x1, x2)T=(1, 5)T;

    取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(-1, 11)T.

    方程组AB=0的基础解系为

    ξ1=(1, 5, 8, 0)T, ξ2=(-1, 11, 0, 8)T.

    因此所求矩阵为.

    24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

    ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .

    解 显然原方程组的通解为

    , 即, (k1, k2∈R),

    消去k1, k2得

    ,

    此即所求的齐次线性方程组.

    25. 设四元齐次线性方程组

    I: , II: .

    求: (1)方程I与II的基础解系; (2) I与II的公共解.

    解 (1)由方程I得.

    取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T;

    取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, 1)T.

    因此方程I的基础解系为

    ξ1=(0, 0, 1, 0)T, ξ2=(-1, 1, 0, 1)T.

    由方程II得.

    取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T;

    取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, -1)T.

    因此方程II的基础解系为

    ξ1=(0, 1, 1, 0)T, ξ2=(-1, -1, 0, 1)T.

    (2) I与II的公共解就是方程

    III:

    的解. 因为方程组III的系数矩阵

    ,

    所以与方程组III同解的方程组为

    .

    取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程组III的基础解系为

    ξ=(-1, 1, 2, 1)T.

    因此I与II的公共解为x=c(-1, 1, 2, 1)T, c∈R.

    26. 设n阶矩阵A满足A2=A, E为n阶单位矩阵, 证明

    R(A)+R(A-E)=n.

    证明 因为A(A-E)=A2-A=A-A=0, 所以R(A)+R(A-E)≤n.

    又R(A-E)=R(E-A), 可知

    R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n,

    由此R(A)+R(A-E)=n.

    27. 设A为n阶矩阵(n≥2), A*为A的伴随阵, 证明

    .

    证明 当R(A)=n时, |A|≠0, 故有

    |AA*|=||A|E|=|A|≠0, |A*|≠0,

    所以R(A*)=n.

    当R(A)=n-1时, |A|=0, 故有

    AA*=|A|E=0,

    即A*的列向量都是方程组Ax=0的解. 因为R(A)=n-1, 所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R(A*)=1.

    当R(A)≤n-2时, A中每个元素的代数余子式都为0, 故A*=O, 从而R(A*)=0.

    28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:

    (1);

    解 对增广矩阵进行初等行变换, 有

    .

    与所给方程组同解的方程为

    .

    当x3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T.

    与对应的齐次方程组同解的方程为

    .

    当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T.

    (2).

    解 对增广矩阵进行初等行变换, 有

    .

    与所给方程组同解的方程为

    .

    当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解

    η=(1, -2, 0, 0)T.

    与对应的齐次方程组同解的方程为

    .

    分别取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得对应的齐次方程组的基础解系

    ξ1=(-9, 1, 7, 0)T. ξ2=(1, -1, 0, 2)T.

    29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且

    η1=(2, 3, 4, 5)T, η2+η3=(1, 2, 3, 4)T,

    求该方程组的通解.

    解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得

    2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T

    为其基础解系向量, 故此方程组的通解:

    x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (k∈R).

    30. 设有向量组A: a1=(α, 2, 10)T, a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T, 及b=(1, β, -1)T, 问α, β为何值时

    (1)向量b不能由向量组A线性表示;

    (2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一;

    (3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.

    解 .

    (1)当α=-4, β≠0时, R(A)≠R(A, b), 此时向量b不能由向量组A线性表示.

    (2)当α≠-4时, R(A)=R(A, b)=3, 此时向量组a1, a2, a3线性无关, 而向量组a1, a2, a3, b线性相关, 故向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一.

    (3)当α=-4, β=0时, R(A)=R(A, b)=2, 此时向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一.

    当α=-4, β=0时,

    ,

    方程组(a3, a2, a1)x=b的解为

    , c∈R.

    因此 b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1,

    即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, c∈R.

    31. 设a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 证明三直线

    l1: a1x+b1y+c1=0,

    l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2≠0, i=1, 2, 3)

    l3: a3x+b3y+c3=0,

    相交于一点的充分必要条件为: 向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关.

    证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

    , 即

    有唯一解. 上述方程组可写为xa+yb=-c. 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a, b唯一线性表示, 而c能由a, b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关.

    32. 设矩阵A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4线性无关, a1=2a2- a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解.

    解 由b=a1+a2+a3+a4知η=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一个解.

    由a1=2a2- a3得a1-2a2+a3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T是Ax=0的一个解.

    由a2, a3, a4线性无关知R(A)=3, 故方程Ax=b所对应的齐次方程Ax=0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T是方程Ax=0的基础解系.

    方程Ax=b的通解为

    x=c(1, -2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, c∈R.

    33. 设η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:

    (1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性无关;

    (2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn-r线性无关.

    证明 (1)反证法, 假设η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性相关. 因为ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性无关, 而η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性相关, 所以η*可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明η*也是齐次线性方程组的解, 矛盾.

    (2)显然向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn-r与向量组η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性无关, 所以向量组η*, η*+ξ1, η*+ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, η*+ξn-r也线性无关.

    34. 设η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解, k1, k2, ⋅ ⋅ ⋅, ks为实数, 满足k1+k2+ ⋅ ⋅ ⋅ +ks=1. 证明

    x=k1η1+k2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +ksηs

    也是它的解.

    证明 因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηs都是方程组Ax=b的解, 所以

    Aηi=b (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, s),

    从而 A(k1η1+k2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+ ⋅ ⋅ ⋅ +ksAηs

    =(k1+k2+ ⋅ ⋅ ⋅ +ks)b=b.

    因此x=k1η1+k2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +ksηs也是方程的解.

    35. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r, η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为

    x=k1η1+k2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +kn-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+ ⋅ ⋅ ⋅ +kn-r+1=1).

    证明　因为η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn-r+1均为Ax=b的解, 所以ξ1=η2-η1, ξ2=η3-η1, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r=η n-r+1-η1均为Ax=b的解.

    用反证法证: ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性无关.

    设它们线性相关, 则存在不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn-r, 使得

    λ1ξ1+ λ2ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n-r ξ n-r=0,

    即 λ1(η2-η1)+ λ2(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ + λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,

    亦即 -(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +λ n-rηn-r+1=0,

    由η1, η2, ⋅ ⋅ ⋅, ηn-r+1线性无关知

    -(λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn-r)=λ1=λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn-r=0,

    矛盾. 因此ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性无关. ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r为Ax=b的一个基础解系.

    设x为Ax=b的任意解, 则x-η1为Ax=0的解, 故x-η1可由ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn-r线性表出, 设

    x-η1=k2ξ1+k3ξ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +kn-r+1ξn-r

    =k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +kn-r+1(ηn-r+1-η1),

    x=η1(1-k2-k3 ⋅ ⋅ ⋅ -kn-r+1)+k2η2+k3η3+ ⋅ ⋅ ⋅ +k n-r+1ηn-r+1.

    令k1=1-k2-k3 ⋅ ⋅ ⋅ -kn-r+1, 则k1+k2+k3 ⋅ ⋅ ⋅ -kn-r+1=1, 于是

    x=k1η1+k2η2+ ⋅ ⋅ ⋅ +kn-r+1ηn-r+1.

    36. 设

    V1={x=(x1, x2, ⋅⋅⋅, xn)T | x1, ⋅⋅⋅, xn∈R满足x1+x2+ ⋅⋅⋅+xn=0},

    V2={x=(x1, x2, ⋅⋅⋅, xn)T | x1, ⋅⋅⋅, xn∈R满足x1+x2+ ⋅⋅⋅+xn=1},

    问V1, V2是不是向量空间？为什么？

    解 V1是向量空间, 因为任取

    α=(a1, a2, ⋅⋅⋅, an)T ∈V1, β=(b1, b2, ⋅⋅⋅, bn)T ∈V1, λ∈∈R,

    有 a1+a2+ ⋅⋅⋅+an=0,

    b1+b2+ ⋅⋅⋅+bn=0,

    从而 (a1+b1)+(a2+b2)+ ⋅⋅⋅+(an+bn)

    =(a1+a2+ ⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+ ⋅⋅⋅+bn)=0,

    λa1+λa2+ ⋅⋅⋅+λan=λ(a1+a2+ ⋅⋅⋅+an)=0,

    所以 α+β=(a1+b1, a2+b2, ⋅⋅⋅, an+bn)T∈V1,

    λα=(λa1, λa2, ⋅⋅⋅, λan)T ∈V1.

    V2不是向量空间, 因为任取

    α=(a1, a2, ⋅⋅⋅, an)T ∈V1, β=(b1, b2, ⋅⋅⋅, bn)T ∈V1,

    有 a1+a2+ ⋅⋅⋅+an=1,

    b1+b2+ ⋅⋅⋅+bn=1,

    从而 (a1+b1)+(a2+b2)+ ⋅⋅⋅+(an+bn)

    =(a1+a2+ ⋅⋅⋅+an)+(b1+b2+ ⋅⋅⋅+bn)=2,

    所以 α+β=(a1+b1, a2+b2, ⋅⋅⋅, an+bn)T∉V1.

    37. 试证: 由a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 1, 0)T所生成的向量空间就是R3.

    证明　 设A=(a1, a2, a3), 由

    ,

    知R(A)=3, 故a1, a2, a3线性无关, 所以a1, a2, a3是三维空间R3的一组基, 因此由a1, a2, a3所生成的向量空间就是R3.

    38. 由a1=(1, 1, 0, 0)T, a2=(1, 0, 1, 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2, -1, 3, 3)T, b2=(0, 1, -1, -1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1=V2.

    证明 设A=(a1, a2), B=(b1, b2). 显然R(A)=R(B)=2, 又由

    ,

    知R(A, B)=2, 所以R(A)=R(B)=R(A, B), 从而向量组a1, a2与向量组b1, b2等价. 因为向量组a1, a2与向量组b1, b2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V1=V2.

    39. 验证a1=(1, -1, 0)T, a2=(2, 1, 3)T, a3=(3, 1, 2)T为R3的一个基, 并把v1=(5, 0, 7)T, v2=(-9, -8, -13)T用这个基线性表示.

    解 设A=(a1, a2, a3). 由

    ,

    知R(A)=3, 故a1, a2, a3线性无关, 所以a1, a2, a3为R3的一个基.

    设x1a1+x2a2+x3a3=v1, 则

    ,

    解之得x1=2, x2=3, x3=-1, 故线性表示为v1=2a1+3a2-a3.

    设x1a1+x2a2+x3a3=v2, 则

    ,

    解之得x1=3, x2=-3, x3=-2, 故线性表示为v2=3a1-3a2-2a3.

    40. 已知R3的两个基为

    a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, -1)T, a3=(1, 0, 1)T,

    b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T.

    求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵P.

    解 设e1, e2, e3是三维单位坐标向量组, 则

    ,

    ,

    于是

    ,

    由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵为

    .

    第五章 相似矩阵及二次型

    1. 试用施密特法把下列向量组正交化:

    (1);

    解 根据施密特正交化方法,

    ,

    ,

    .

    (2).

    解 根据施密特正交化方法,

    ,

    ,

    .

    2. 下列矩阵是不是正交阵:

    (1);

    解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.

    (2).

    解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.

    3. 设x为n维列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵.

    证明 因为

    HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T

    =E-2(xT)TxT=E-2xxT,

    所以H是对称矩阵.

    因为

    HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)

    =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)

    =E-4xxT+4x(xTx)xT

    =E-4xxT+4xxT

    =E,

    所以H是正交矩阵.

    4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵.

    证明 因为A, B是n阶正交阵, 故A-1=AT, B-1=BT,

    (AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,

    故AB也是正交阵.

    5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

    (1);

    解 ,

    故A的特征值为λ=-1(三重).

    对于特征值λ=-1, 由

    ,

    得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 1, -1)T, 向量p1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.

    (2);

    解 ,

    故A的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9.

    对于特征值λ1=0, 由

    ,

    得方程Ax=0的基础解系p1=(-1, -1, 1)T, 向量p1是对应于特征值λ1=0的特征值向量.

    对于特征值λ2=-1, 由

    ,

    得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1, 1, 0)T, 向量p2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量.

    对于特征值λ3=9, 由

    ,

    得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.

    (3).

    解 ,

    故A的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1.

    对于特征值λ1=λ2=-1, 由

    ,

    得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 0, 0, -1)T, p2=(0, 1, -1, 0)T, 向量p1和p2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.

    对于特征值λ3=λ4=1, 由

    ,

    得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)T, p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.

    6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同.

    证明 因为

    |AT-λE|=|(A-λE)T|=|A-λE|T=|A-λE|,

    所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同.

    7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n, 证明A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量.

    证明 设R(A)=r, R(B)=t, 则r+t<n.

    若a1, a2, ⋅⋅⋅, an-r是齐次方程组Ax=0的基础解系, 显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

    类似地, 设b1, b2, ⋅⋅⋅, bn-t是齐次方程组Bx=0的基础解系, 则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

    由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n, 故a1, a2, ⋅⋅⋅, an-r, b1, b2, ⋅⋅⋅, bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1, k2, ⋅⋅⋅, kn-r, l1, l2, ⋅⋅⋅, ln-t, 使

    k1a1+k2a2+ ⋅⋅⋅ +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ ⋅⋅⋅ +ln-rbn-r=0.

    记 γ=k1a1+k2a2+ ⋅⋅⋅ +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ ⋅⋅⋅ +ln-rbn-r),

    则k1, k2, ⋅⋅⋅, kn-r不全为0, 否则l1, l2, ⋅⋅⋅, ln-t不全为0, 而

    l1b1+l2b2+ ⋅⋅⋅ +ln-rbn-r=0,

    与b1, b2, ⋅⋅⋅, bn-t线性无关相矛盾.

    因此, γ≠0, γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量.

    8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2.

    证明 设λ是A的任意一个特征值, x是A的对应于λ的特征向量, 则

    (A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.

    因为x≠0, 所以λ2-3λ+2=0, 即λ是方程λ2-3λ+2=0的根, 也就是说λ=1或λ=2.

    9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明λ=-1是A的特征值.

    证明 因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为-1或1.

    因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即λ=-1是A的特征值.

    10. 设λ≠0是m阶矩阵Am⨯nBn⨯m的特征值, 证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.

    证明 设x是AB的对应于λ≠0的特征向量, 则有

    (AB)x=λx,

    于是 B(AB)x=B(λx),

    或 BA(B x)=λ(Bx),

    从而λ是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于λ的特征向量.

    11. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3, 求|A3-5A2+7A|.

    解 令ϕ(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则ϕ(1)=3, ϕ(2)=2, ϕ(3)=3是ϕ(A)的特征值, 故

    |A3-5A2+7A|=|ϕ(A)|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(3)=3⨯2⨯3=18.

    12. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|.

    解 因为|A|=1⨯2⨯(-3)=-6≠0, 所以A可逆, 故

    A*=|A|A-1=-6A-1,

    A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.

    令ϕ(λ)=-6λ-1+3λ2+2, 则ϕ(1)=-1, ϕ(2)=5, ϕ(-3)=-5是ϕ(A)的特征值, 故

    |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|ϕ(A)|

    =ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(-3)=-1⨯5⨯(-5)=25.

    13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相

    似.

    证明 取P=A, 则

    P-1ABP=A-1ABA=BA,

    即AB与BA相似.

    14. 设矩阵可相似对角化, 求x.

    解 由

    ,

    得A的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.

    因为A可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解, 因此R(A-E)=1. 由

    知当x=3时R(A-E)=1, 即x=3为所求.

    15. 已知p=(1, 1, -1)T是矩阵的一个特征向量.

    (1)求参数a, b及特征向量p所对应的特征值;

    解 设λ是特征向量p所对应的特征值, 则

    (A-λE)p=0, 即,

    解之得λ=-1, a=-3, b=0.

    (2)问A能不能相似对角化？并说明理由.

    解 由

    ,

    得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1.

    由

    知R(A-E)=2, 所以齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化.

    16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

    (1);

    解 将所给矩阵记为A. 由

    =(1-λ)(λ-4)(λ+2),

    得矩阵A的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4.

    对于λ1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即

    ,

    得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得.

    对于λ2=1, 解方程(A-E)x=0, 即

    ,

    得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得.

    对于λ3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即

    ,

    得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得.

    于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4).

    (2).

    解 将所给矩阵记为A. 由

    =-(λ-1)2(λ-10),

    得矩阵A的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10.

    对于λ1=λ2=1, 解方程(A-E)x=0, 即

    ,

    得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得

    , .

    对于λ3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即

    ,

    得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得.

    于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(1, 1, 10).

    17. 设矩阵与相似, 求x, y; 并求一个正交阵P, 使P-1AP=Λ.

    解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y是Λ的特征值, 故它们也是A的特征值. 因为λ=-4是A的特征值, 所以

    ,

    解之得x=4.

    已知相似矩阵的行列式相同, 因为

    , ,

    所以-20y=-100, y=5.

    对于λ=5, 解方程(A-5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T, (1, -2, 0)T. 将它们正交化、单位化得

    , .

    对于λ=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 单位化得.

    于是有正交矩阵, 使P-1AP=Λ.

    18. 设3阶方阵A的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p1=(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求A.

    解 令P=(p1, p2, p3), 则P-1AP=diag(2, -2, 1)=Λ, A=PΛP-1.

    因为

    ,

    所以 .

    19. 设3阶对称阵A的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p1=(1, 2, 2)T, p2=(2, 1, -2)T, 求A.

    解 设, 则Ap1=2p1, Ap2=-2p2, 即

    , ---①

    . ---②

    再由特征值的性质, 有

    x1+x4+x6=λ1+λ2+λ3=0. ---③

    由①②③解得

    , , ,

    , .

    令x6=0, 得, x2=0, , , .

    因此 .

    20. 设3阶对称矩阵A的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 求A.

    解 设.

    因为λ1=6对应的特征向量为p1=(1, 1, 1)T, 所以有

    , 即 ---①.

    λ2=λ3=3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1. 利用①可推出

    .

    因为R(A-3E)=1, 所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3, 解之得

    x2=x3=x5=1, x1=x4=x6=4.

    因此 .

    21. 设a=(a1, a2, ⋅ ⋅ ⋅, an)T , a1≠0, A=aaT.

    (1)证明λ=0是A的n-1重特征值;

    证明 设λ是A的任意一个特征值, x是A的对应于λ的特征向量, 则有

    Ax=λx,

    λ2x=A2x=aaTaaTx=aTaAx=λaTax,

    于是可得λ2=λaTa, 从而λ=0或λ=aTa.

    设λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn是A的所有特征值, 因为A=aaT的主对角线性上的元素为a12, a22, ⋅ ⋅ ⋅, an2, 所以

    a12+a22+ ⋅ ⋅ ⋅ +an2=aTa=λ1+λ2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn,

    这说明在λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn中有且只有一个等于aTa, 而其余n-1个全为0, 即λ=0是A的n-1重特征值.

    (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.

    解 设λ1=aTa, λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn=0.

    因为Aa=aaTa=(aTa)a=λ1a, 所以p1=a是对应于λ1=aTa的特征向量.

    对于λ2= ⋅ ⋅ ⋅ =λn=0, 解方程Ax=0, 即aaTx=0. 因为a≠0, 所以aTx=0, 即a1x1+a2x2+ ⋅ ⋅ ⋅ +anxn=0, 其线性无关解为

    p2=(-a2, a1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0)T,

    p3=(-a3, 0, a1, ⋅ ⋅ ⋅, 0)T,

    ⋅ ⋅ ⋅,

    pn=(-an, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, a1)T.

    因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为

    .

    22. 设, 求A100.

    解 由

    ,

    得A的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.

    对于λ1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T.

    对于λ1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T.

    对于λ1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T.

    令P=(p1, p2, p3), 则

    P-1AP=diag(1, 5, -5)=Λ,

    A=PΛP-1,

    A100=PΛ100P-1.

    因为

    Λ100=diag(1, 5100, 5100),

    ,

    所以

    .

    23. 在某国, 每年有比例为p的农村居民移居城镇, 有比例为q的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1).

    (1)求关系式中的矩阵A;

    解 由题意知

    xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn,

    yn+1=yn+pxn-qyn= pxn+(1-q)yn,

    可用矩阵表示为

    ,

    因此 .

    (2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即, 求.

    解 由可知. 由

    ,

    得A的特征值为λ1=1, λ2=r, 其中r=1-p-q.

    对于λ1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(q, p)T.

    对于λ1=r, 解方程(A-rE)x=0, 得特征向量p2=(-1, 1)T.

    令, 则

    P-1AP=diag(1, r)=Λ,

    A=PΛP-1,

    An=PΛnP-1.

    于是

    ,

    .

    24. (1)设, 求ϕ(A)=A10-5A9;

    解 由

    ,

    得A的特征值为λ1=1, λ2=5.

    对于λ1=1, 解方程(A-E)x=0, 得单位特征向量.

    对于λ1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得单位特征向量.

    于是有正交矩阵, 使得P-1AP=diag(1, 5)=Λ,

    从而A=PΛP-1, Ak=PΛkP-1. 因此

    ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1=P(Λ10-5Λ9)P-1

    =P[diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P-1

    =Pdiag(-4, 0)P-1

    .

    (2)设, 求ϕ(A)=A10-6A9+5A8.

    解 求得正交矩阵为

    ,

    使得P-1AP=diag(-1, 1, 5)=Λ, A=PΛP-1. 于是

    ϕ(A)=Pϕ(Λ)P-1=P(Λ10-6Λ9+5Λ8)P-1

    =P[Λ8(Λ-E)(Λ-5E)]P-1

    =Pdiag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P-1

    =Pdiag(12, 0, 0)P-1

    .

    25. 用矩阵记号表示下列二次型:

    (1) f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz;

    解 .

    (2) f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz;

    解 .

    (3) f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4.

    解 .

    26. 写出下列二次型的矩阵:

    (1);

    解 二次型的矩阵为.

    (2).

    解 二次型的矩阵为.

    27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形:

    (1) f=2x12+3x22+3x33+4x2x3;

    解 二次型的矩阵为. 由

    ,

    得A的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1.

    当λ1=2时, 解方程(A-2E)x=0, 由

    ,

    得特征向量(1, 0, 0)T. 取p1=(1, 0, 0)T.

    当λ2=5时, 解方程(A-5E)x=0, 由

    ,

    得特征向量(0, 1, 1)T. 取.

    当λ3=1时, 解方程(A-E)x=0, 由

    ,

    得特征向量(0, -1, 1)T. 取.

    于是有正交矩阵T=(p1, p2, p3)和正交变换x=Ty, 使

    f=2y12+5y22+y32.

    (2) f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4.

    解 二次型矩阵为. 由

    ,

    得A的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.

    当λ1=-1时, 可得单位特征向量.

    当λ2=3时, 可得单位特征向量.

    当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量

    , .

    于是有正交矩阵T=( p1, p2, p3, p4)和正交变换x=Ty, 使

    f=-y12+3y22+y32+y42.

    28. 求一个正交变换把二次曲面的方程

    3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1

    化成标准方程.

    解 二次型的矩阵为.

    由, 得A的特征值为λ1=2, λ2=11, λ3=0, .

    对于λ1=2, 解方程(A-2E)x=0, 得特征向量(4, -1, 1)T, 单位化得.

    对于λ2=11, 解方程(A-11E)x=0, 得特征向量(1, 2, -2)T, 单位化得.

    对于λ3=0, 解方程Ax=0, 得特征向量(0, 1, 1)T, 单位化得.

    于是有正交矩阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(2, 11, 0), 从而有正交变换

    ,

    使原二次方程变为标准方程2u2+11v2=1.

    29. 明: 二次型f=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.

    证明 A为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T, 使得

    TAT-1=diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn)=Λ

    成立, 其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn为A的特征值, 不妨设λ1最大.

    作正交变换y=Tx, 即x=TTy, 注意到T-1=TT, 有

    f=xTAx=yTTATTy=yTΛy=λ1y12+λ2y22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λnyn2.

    因为y=Tx正交变换, 所以当||x||=1时, 有

    ||y||=||x||=1, 即y12+y22+ ⋅ ⋅ ⋅ +yn2=1.

    因此

    f =λ1y12+λ2y22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λnyn2≤λ1,

    又当y1=1, y2=y3=⋅ ⋅ ⋅=yn=0时f =λ1, 所以f max =λ1.

    30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵.

    (1) f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3;

    解 f(x1, x2, x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3

    =(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32

    =(x1+x2-2x3)2-2x22+(2x2+x3)2.

    令 , 即,

    二次型化为规范形

    f=y12-y22+y32,

    所用的变换矩阵为

    .

    (2) f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3;

    解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3

    =(x1+x3)2+x32+2x2x3;

    =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2.

    令 , 即,

    二次型化为规范形

    f=y12-y22+y32,

    所用的变换矩阵为

    .

    (3) f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3.

    解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3.

    .

    令 , 即,

    二次型化为规范形

    f=y12+y22+y32,

    所用的变换矩阵为

    .

    31. 设

    f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4x2x3

    为正定二次型, 求a.

    解 二次型的矩阵为, 其主子式为

    a11=1, , .

    因为f为正主二次型, 所以必有1-a2>0且-a(5a+4)>0, 解之得.

    32. 判别下列二次型的正定性:

    (1) f=-2x12-6x22-4x32+2x1x2+2x1x3;

    解 二次型的矩阵为. 因为

    , , ,

    所以f为负定.

    (2) f=x12+3x22+9x32+19x42-2x1x2+4x1x3+2x1x4-6x2x4-12x3x4.

    解 二次型的矩阵为. 因为

    , , , ,

    所以f为正定.

    33. 证明对称阵A为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U, 使A=U TU, 即A与单位阵E合同.

    证明 因为对称阵A为正定的, 所以存在正交矩阵P使

    PTAP=diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn)=Λ, 即A=PΛPT,

    其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn均为正数.

    令, 则Λ=Λ1Λ1, A=PΛ1Λ1TPT.

    再令U=Λ1TPT, 则U可逆, 且A=UTU.

    第六章　线性空间与线性变换

    1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.

    (1) 2阶矩阵的全体S1;

    解 设A, B分别为二阶矩阵, 则A, B∈S1. 因为

    (A+B)∈S1, kA∈S1,

    所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.

    , , ,

    是S1的一个基.

    (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2;

    解 设, , A, B∈S2. 因为

    ,

    ,

    所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.

    , ,

    是S2的一个基.

    (3) 2阶对称矩阵的全体S3.

    解 设A, B∈S3, 则AT=A, BT=B. 因为

    (A+B)T=AT+BT=A+B, (A+B)∈S3,

    (kA)T=kAT=kA, kA∈S3,

    所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.

    , ,

    是S3的一个基.

    2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.

    解 设V={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r1=(1, 1, 0)T, r2=(-1, 0, 1)T, 则r1, r2∈V, 但r1+r2=(0, 0, 1)T∉V, 即V不是线性空间.

    3. 设U是线性空间V的一个子空间, 试证: 若U与V的维数相等, 则U=V.

    证明　设ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn为U的一组基, 它可扩充为整个空间V的一个基, 由于dim(U)=dim(V), 从而ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn也为V的一个基, 则: 对于x∈V可以表示为x=k1ε1+k2ε2+ ⋅⋅⋅ +krεr. 显然, x∈U, 故V⊆U, 而由已知知U⊆V, 有U=V.

    4. 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间, a1, a2, ⋅⋅⋅, ar是Vr的一个基. 试证: Vn中存在元素ar+1, ⋅⋅⋅, an, 使a1, a2, ⋅⋅⋅, ar, ar+1, ⋅⋅⋅, an成为Vn的一个基.

    证明 设r<n, 则在Vn中必存在一向量ar+1∉Vr, 它不能被a1, a2, ⋅⋅⋅, ar线性表示, 将ar+1添加进来, 则a1, a2, ⋅⋅⋅, ar+1是线性无关的. 若r+1=n, 则命题得证, 否则存在ar+2∉L(a1, a2, ⋅⋅⋅, ar+1), 则a1, a2, ⋅⋅⋅, ar+2线性无关, 依此类推, 可找到n个线性无关的向量a1, a2, ⋅⋅⋅, an, 它们是Vn的一个基.

    5. 在R3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T, α3=(3, 1, 0)T下的坐标.

    解 设ε1, ε2, ε3是R3的自然基, 则

    (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A,

    (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A-1,

    其中, .

    因为

    ,

    所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T.

    6. 在R3取两个基

    α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T;

    β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1, -6)T.

    试求坐标变换公式.

    解 设ε1, ε2, ε3是R3的自然基, 则

    (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B,

    (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B-1,

    (α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A=(β1, β2, β1)B-1A,

    其中 , .

    设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x1, x2, x3)T, 则

    ,

    故α在基β1, β2, β3下的坐标为

    .

    7. 在R4中取两个基

    e1=(1,0,0,0)T, e2=(0,1,0,0)T, e3=(0,0,1,0)T, e4=(0,0,0,1)T;

    α1=(2,1,-1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T.

    (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;

    解 由题意知

    ,

    从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为

    .

    (2)求向量(x1, x2, x3, x4)T在后一个基下的坐标;

    解 因为

    ,

    向量α在后一个基下的坐标为

    .

    (3)求在两个基下有相同坐标的向量.

    解 令

    ,

    解方程组得(k为常数).

    8. 说明xOy平面上变换的几何意义, 其中

    (1);

    解 因为

    ,

    所以在此变换下T(α)与α关于y轴对称.

    (2);

    解 因为

    ,

    所以在此变换下T(α)是α在y轴上的投影.

    (3);

    解 因为

    ,

    所以在此变换下T(α)与α关于直线y=x对称.

    (4).

    解 因为

    ,

    所以在此变换下T(α)是将α顺时针旋转.

    9. n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间. 给出n阶矩阵P, 以A表示V中的任一元素, 变换T(A)=PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换.

    证明 设A, B∈V, 则AT=A, BT=B.

    T(A+B)=PT(A+B)P=PT(A+B)TP

    =[(A+B)P]TP=(AP+BP)TP

    =(PTA+PTB)P=PTAP+PTBP=T(A)+T(B),

    T(kA)=PT(kA)P=kPTAP=kT(A),

    从而, 合同变换T是V中的线性变换.

    10. 函数集合

    V3={α=(a2x2+a1x+a0)ex | a2, a1, a0 ∈R}

    对于函数的线性运算构成3维线性空间, 在V3中取一个基

    α1=x2ex, α2=xex, α3=ex.

    求微分运算D在这个基下的矩阵.

    解 设

    β1=D(α1)=2xex+x2ex=2α2+α1,

    β2=D(α2)=ex+xex=α3+α2,

    β3=D(α3)=ex=α3.

    易知β1, β2, β3线性无关, 故为一个基.

    由 ,

    知即D在基α1, α2, α3下的矩阵为.

    11. 2阶对称矩阵的全体

    对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V3中取一个基

    , , .

    在V3中定义合同变换

    ,

    求T在基A1, A2, A3下的矩阵.

    解 因为

    ,

    ,

    ,

    故 ,

    从而, T在基A1, A2, A3下的矩阵.

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