1．圆的极坐标方程

1．曲线的极坐标方程

(1)在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．

(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤：

①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．

②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．

③将列出的关系式整理、化简．

④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．

2．圆的极坐标方程

(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.

(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.

(3)圆心在点处且过极点的圆的方程为ρ＝2asin_θ(0≤θ≤π)．

　求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．

　结合圆的定义求其极坐标方程．

　如图，在圆周上任取一点P，

设其极坐标为(ρ，θ)．

由余弦定理知：

CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，

故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．

几种特殊情形下的圆的极坐标方程

当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．

1．在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的方程是________．

解析：即在直角坐标系中以为圆心，为半径的圆，

∴方程为x2＋2＝.

即：x2＋y2－ay＝0，化为极坐标方程为：ρ＝asin θ.

答案：ρ＝asin θ

2．求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程．

解：设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有OB＝4，OM＝ρ，∠MOB＝θ－π.∠BMO＝，

从而△BOM为直角三角形．

∴|OM|＝|OB|cos∠MOB，

即ρ＝4cos＝－4sin θ.

　进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：

(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0；

(3)ρ＝.

　将方程的互化转化为点的互化：

　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，

得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.

化简，得ρsin2θ＝4cos θ.

(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ

代入x2＋y2－2x－1＝0，

得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0，

化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.

(3)∵ρ＝，

∴2ρ－ρcos θ＝1.

∴2－x＝1.

化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.

在进行两种坐标方程间的互化时，要注意

(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．

(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．

(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．

(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形；否则，不是等价变形．

3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．

(1)y＝x；

(2)x2－y2＝1.

解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x，得

ρsin θ＝ρcos θ，从而θ＝.

(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，得

ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝.

4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．

(1)ρ2cos 2θ＝1；

(2)ρ＝2cos.

解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.

所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.

(2)因为ρ＝2cos θcos＋2sin θsin＝cos θ＋sin θ，

所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ.

所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.

课时跟踪检测(三)

一、选择题

1．极坐标方程ρ＝1表示(　　)

A．直线 B．射线 C．圆 D．半圆

解析：选C　∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．

2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为(　　)

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

解析：选B　由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ，

∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．

3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是(　　)

A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆

B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆

C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆

D．以点为圆心，3为半径的圆

解析：选C　由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，即x2＋y2－6x＝0，

表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．

4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(　　)

A．ρ＝2cos B．ρ＝2sin

C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)

解析：选C　在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：

r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．

二、填空题

5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．

解析：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得

ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.

答案：ρ＝4sin θ

6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ，θ∈，则圆心的极坐标是________．

解析：设圆心为(a，β)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos(θ－β)．

因为ρ＝2cos θ－2sin θ＝4cos

＝4cos＝4cos，

所以此圆的圆心的极坐标为.

答案：

7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.

解析：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，

即x2＋y2＝4x，

即(x－2)2＋y2＝4，

∴圆心C(2,0)，

又由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2,2)，

∴|CP|＝＝2.

答案：2

三、解答题

8．求极坐标方程ρ＝所对应的直角坐标方程．

解：ρ＝可化为ρ＝，

即ρ＝.

化简，得ρ＝2＋ρcos θ.将互化公式代入，

得x2＋y2＝(2＋x)2.

整理可得y2＝4(x＋1)．

9．从极点O引定圆ρ＝2cos θ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形．

解：设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，

则θ＝θ0，＝，

∴ρ0＝ρ.

∵ρ0＝2cos θ0，

∴ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，

它表示一个圆．

10．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.

(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.

所以x2＋y2＝4x.

即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．

同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．

(2)由解得

即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．

则过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.