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    2021-2022学年山东省烟台市莱州市中考一模数学试题含解析-

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    2021-2022学年山东省烟台市莱州市中考一模数学试题
    考生须知：
    1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
    2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
    3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

    一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程x22x40的根的情况是（ ） A．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根
    B．有两个相等的实数根 D．没有实数根
    2．如图，直线y=3x+6与x，y轴分别交于点A，B，以OB为底边在y轴右侧作等腰△OBC，将点C向左平移5个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C的坐标为（ ）

    A．（3，3） B．（4，3） C．（﹣1，3） D．（3，4）
    3．下列计算正确的是（ ） A．a3﹣a2＝a C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
    B．a2•a3＝a6 D．（﹣a2）3＝﹣a6
    4．平面上直线a、c与b相交(数据如图，当直线c绕点O旋转某一角度时与a平行，则旋转的最小度数是(

    A．60° B．50° C．40° D．30°
    5．下列说法正确的是（ ）
    A．某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命采用普查法
    B．已知一组数据1，a，4，4，9，它的平均数是4，则这组数据的方差是7.6 C．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件
    D．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是1
    3
    6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，⊙O的半径为6，则AB的长等于（ ）

    A．π B．2π C．3π D．4π
    7．2017年，山西省经济发展由“疲”转“兴”，经济增长步入合理区间，各项社会事业发展取得显著成绩，全面建成小康社会迈出崭新步伐.2018年经济总体保持平稳，第一季度山西省地区生产总值约为3122亿元，比上年增长6.2%．数据3122亿元用科学记数法表示为（ ） A．3122×10 8元 C．3122×10 11 元
    B．3.122×10 3元 D．3.122×10 11 元
    8．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）

    A． B． C． D．
    9．如图，在平面直角坐标系中，已知点B、C的坐标分别为点B（﹣3，1）、C（0，﹣1），若将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C，则点B对应点B1的坐标是（ ）

    A．（3，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（3，0）

    10．已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）

    A． B．
    C． D．
    二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
    11．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是_____°．
    12．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂足为 G，BG＝42，则△CEF 的周长为____．

    13．若一个多边形每个内角为140°，则这个多边形的边数是________． 14．分解因式：a3－a= 15．函数y=1+x2中，自变量x的取值范围是_____． 1x16．如果2axbx，那么=_____（用向量a，b表示向量x）． 三、解答题（共8题，共72分）
    17．（8分）许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，组想测量位于芙蓉湖两端的A，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结
    果保留一位小数）

    18．（8分）如图，在△ABC中，
    （1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．

    19．（8分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

    （1）求证：四边形ABED是菱形；
    （2）若∠ABC＝60°，CE＝2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．
    20．（8分）老师布置了一个作业，如下：已知：如图1ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O.求证：四边形AECF是菱形.

    某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的.请你解答下列问题：能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；请你给出本题的正确证明过程. 21．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE，求证：∠DAE＝∠ECD．


    22．（10分）现有A、B两种手机上网计费方式，收费标准如下表所示： 计费方式 A B 月使用费/元 30 60 包月上网时间/分 120 320 超时费/(元/分 0.20 0.25 设上网时间为x分钟，
    (1若按方式A和方式B的收费金额相等，求x的值； (2若上网时间x超过320分钟，选择哪一种方式更省钱？
    23．（12分）已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P与正方形ABCD，给出如下定义：如果aPQ，B2a，则称点P为正方形ABCD的“关联点”.在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1）（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）.
    131P,0P,（1）在1，P，230,2中，正方形ABCD的“关联点”有_____； 222（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线y3x上，并且E是正方形ABCD的“关联点”，求m的取值范围； （3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线y3x1与x轴、y轴分别相交于M、N两点.如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围. 24．已知正方形ABCD的边长为2，作正方形AEFG（A，E，F，G四个顶点按逆时针方向排列），连接BE、GD， （1）如图①，当点E在正方形ABCD外时，线段BE与线段DG有何关系？直接写出结论；

    （2）如图②，当点E在线段BD的延长线上，射线BA与线段DG交于点M，且DG＝2DM时，求边AG的长； （3）如图③，当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上，直线AB与直线DG交于点M，且DG＝4DM时，直接写出边AG的长．

    参考答案

    一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、D 【解析】
    4=-12<0，故没有实数根； 试题分析：△=22-4×故选D．
    考点：根的判别式． 2、B 【解析】
    令x=0，y=6，∴B（0，6），
    ∵等腰△OBC，∴点C在线段OB的垂直平分线上， ∴设C（a，3），则C '（a－5，3）， ∴3=3（a－5）+6，解得a=4， ∴C（4，3）. 故选B. 点睛：掌握等腰三角形的性质、函数图像的平移. 3、D
    【解析】
    各项计算得到结果，即可作出判断． 解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式=a5，不符合题意；
    C、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意； D、原式=﹣a6，符合题意， 故选D 4、C 【解析】
    先根据平角的定义求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】
    解：∵∠1＝180°﹣100°＝80°，a∥c， ∴∠α＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 故选：C．

    【点睛】
    本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 5、B 【解析】
    分别用方差、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的知识逐一进行判断即可得到答案． 【详解】
    A. 某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命时，检测范围比较大，因此适宜采用抽样调查的方法，故本选项错误； B. 根据平均数是4求得a的值为2，则方差为1 [(1−42+(2−42+(4−42+(4−42+(9−42]=7.6，故本选项正确；
    5C. 12个同学的生日月份可能互不相同，故本事件是随机事件，故错误；
    D. 在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”六个图形中有3个既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是故答案选B. 1，故本选项错误．
    2
    【点睛】
    本题考查的知识点是概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件，解题的关键是熟练的掌握概率公式、全面调查与抽样调查、方差及随机事件. 6、B 【解析】
    根据圆周角得出∠AOB＝60°，进而利用弧长公式解答即可． 【详解】
    解：∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∴AB的长＝故选B． 【点睛】
    此题考查弧长的计算，关键是根据圆周角得出∠AOB＝60°． 7、D 【解析】
    可以用排除法求解. 【详解】
    第一，根据科学记数法的形式可以排除A选项和C选项，B选项明显不对，所以选D. 【点睛】
    牢记科学记数法的规则是解决这一类题的关键. 8、B 【解析】
    解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
    当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小； 当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
    当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小而减小； 故选B． 9、B 【解析】
    作出点A、B绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的对应点，再顺次连接可得△A1B1C，即可得到点B对应点B1的坐606＝2π，
    180
    标． 【详解】
    解：如图所示，△A1B1C即为旋转后的三角形，点B对应点B1的坐标为（2，2）．

    故选：B． 【点睛】
    此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键． 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． 10、D 【解析】
    此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理． 【详解】
    解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，
    又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合． 故选D．
    点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．

    二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、1 【解析】
    由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝1°＝∠B′CB． 【详解】
    解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C'， ∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'
    ∵A'B'⊥AC ∴∠A'+∠ACA'＝90° ∴∠ACA'＝1° ∴∠BCB'＝1° 故答案为：1． 【点睛】
    本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 12、8 【解析】
    试题解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF， ∴∠BAF=∠F， ∴∠F=∠DAF，
    ∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9； ∵AD∥BC，
    ∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE． ∴EC=FC=9-6=3， ∴AB=BE．
    ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=42 可得：AG=2， 又∵BG⊥AE， ∴AE=2AG=4，
    ∴△ABE的周长等于16， 又∵▱ABCD，
    ∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8 13、九 【解析】
    根据多边形的内角和定理：180°•（n-2）进行求解即可． 【详解】

    由题意可得：180°(n−2=140°n， 解得n=9， 故多边形是九边形. 故答案为9. 【点睛】
    本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是熟练的掌握多边形的内角和定理. 14、a(a1(a1 【解析】
    a3－a=a(a2-1=a(a1(a1 15、x≥﹣2且x≠1 【解析】 分析：
    根据使分式和二次根式有意义的要求列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围. 详解： ∵y1x2有意义， 1x1x0∴ ，解得：x2且x1. x20故答案为：x2且x1. 点睛：本题解题的关键是需注意：要使函数y1x2有意义，x的取值需同时满足两个条件：1x0和1xx20，二者缺一不可. 16、b2a 【解析】
    ∵2(a+x=b+x,∴2a+2x=b+x,∴x=b-2a, 故答案为b2a. 点睛:本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.
    三、解答题（共8题，共72分） 17、215.6米．

    【解析】
    过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点，
    根据Rt△ACM和三角函数tanBDF求出CM、DN，然后根据MNMDDNAB即可求出A、B两点间的距离. 【详解】
    解：过A点做EF的垂线，交EF于M点，过B点做EF的垂线，交EF于N点
    在Rt△ACM中，∵ACF45， ∴AM=CM=200米，
    又∵CD=300米，所以MDCDCM100米， 在Rt△BDN中，∠BDF=60°，BN=200米 ∴DNBN115.6米，
    tan60∴MNMDDNAB215.6米 即A，B两点之间的距离约为215.6米． 【点睛】
    本题主要考查三角函数，正确做辅助线是解题的关键. 18、（1）作图见解析；（2）证明见解析； 【解析】
    （1）①以C为圆心，任意长为半径画弧，交CB、CA于E、F；②以A为圆心，CE长为半径画弧，交AB于G；③EF长为半径画弧，④连接AH并延长交BC于D，以G为圆心，两弧交于H；则∠BAD=∠C；（2）证明△ABD∽△CBA，然后根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】
    （1）如图，∠BAD为所作；

    （2）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B ∴△ABD∽△CBA， ∴AB：BC=BD：AB， ∴AB2=BD•BC．

    【点睛】
    本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质． 19、见解析 【解析】
    试题分析：（1）先证得四边形ABED是平行四边形，又AB=AD， 邻边相等的平行四边形是菱形；
    （2）四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，所以∠DEC=60°，AB=ED，又EC=2BE，EC=2DE，可得△DEC是直角三角形．
    试题解析：梯形ABCD中，AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形， 又AB=AD，
    ∴四边形ABED是菱形；
    （2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°， ∴∠DEC=60°，AB=ED， 又EC=2BE， ∴EC=2DE，

    ∴△DEC是直角三角形，
    考点：1．菱形的判定；2．直角三角形的性质；3．平行四边形的判定 20、（1）能，见解析；（2）见解析. 【解析】
    （1）直接利用菱形的判定方法分析得出答案；
    （2）直接利用全等三角形的判定与性质得出EO=FO，进而得出答案． 【详解】
    解：（1）能；该同学错在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但未证明AC垂直平分EF， 需要通过证明得出；
    （2）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠FAC＝∠ECA． ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC．
    ∵在△AOF与△COE中，

    FAOECO , OAOCAOFCOE∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴EO＝FO． ∴AC垂直平分EF． ∴EF与AC互相垂直平分． ∴四边形AECF是菱形． 【点睛】
    本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，正确得出全等三角形是解题关键． 21、见解析, 【解析】
    要证∠DAE=∠ECD．需先证△ADF≌△CEF，由折叠得BC=EC，∠B=∠AEC，由矩形得BC=AD，∠B=∠ADC=90°，再根据等量代换和对顶角相等可以证出，得出结论． 【详解】
    证明：由折叠得：BC=EC，∠B=∠AEC， ∵矩形ABCD，
    ∴BC=AD，∠B=∠ADC=90°， ∴EC=DA，∠AEC=∠ADC=90°， 又∵∠AFD=∠CFE， ∴△ADF≌△CEF （AAS） ∴∠DAE=∠ECD． 【点睛】
    本题考查折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，借助于三角形全等证明线段相等和角相等是常用的方法．
    22、（1）x=270或x=520；（2）当320时，选择方式B更省钱；当x=520时,两种方式花钱一样多；当x＞520时选择方式A更省钱. 【解析】
    （1）根据收取费用=月使用费+超时单价×超过时间，可找出yA、yB关于x的函数关系式；根据方式A和方式B的收费金额相等，分类讨论，列出方程，求解即可. （2）列不等式，求解即可得出结论．

    【详解】 (1当当即时,时,与x之间的函数关系式为：



    与x之间的函数关系式为：
    当当即时,
    时,与x之间的函数关系式为：与x之间的函数关系式为：




    方式A和方式B的收费金额相等， 当当当时，时，时，
    解得： 解得：

    即x=270或x=520时，方式A和方式B的收费金额相等. (2 若上网时间x超过320分钟，
    解得320，
    当320时，选择方式B更省钱；
    解得x=520，
    当x=520时,两种方式花钱一样多；
    解得x＞520，
    当x＞520时选择方式A更省钱. 【点睛】
    考查一次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键.注意分类讨论，不要漏解. 23、（1）正方形ABCD的“关联点”为P2，P3；（2）【解析】
    （1）正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断； （2）因为E是正方形ABCD的“关联点”，所以E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因213312. 或（3）m；n2m223322
    为E在直线y3x上，推出点E在线段FG上，求出点F、G的横坐标，再根据对称性即可解决问题；
    MN与小⊙Q相切于点F，①如图3中，（3）因为线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，分两种情形：求出此时点Q的横坐标；②M如图4中，落在大⊙Q上，求出点Q的横坐标即可解决问题； 【详解】
    （1）由题意正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），

    观察图象可知：正方形ABCD的“关联点”为P2，P3； （2）作正方形ABCD的内切圆和外接圆，

    ∴OF＝1，OG2，. ∵E是正方形ABCD的“关联点”，
    ∴E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点）， ∵点E在直线y3x上， ∴点E在线段FG上. 分别作FF’⊥x轴，GG’⊥x轴， ∵OF＝1，OG∴OF2，
    12. ，OG22∴12. m22
    根据对称性，可以得出21m. 22∴2112或m. m22223（3）∵M， 3,0、N（0，1）∴OM3，ON＝1. 3∴∠OMN＝60°. ∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，
    ①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，

    ∵QF＝1，∠OMN＝60°， ∴QM23. 33， 33. 3∵OM∴OQ∴Q13,0. 3②M落在大⊙Q上，如图4中，


    ∵QM2，OM3， 3∴OQ23. 33Q2,0∴2. 3综上：33. n233【点睛】
    本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题. 24、（1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．理由见解析；（1）AG＝15；（3）满足条件的AG的长为110或126． 【解析】
    （1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．只要证明△BAE≌△DAG（SAS），即可解决问题；
    （1）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．由A，D，E，G四点共圆，推出∠ADO＝∠AEG＝45°，解直角三角形即可解决问题；
    （3）分两种情形分别画出图形即可解决问题； 【详解】
    （1）结论：BE=DG，BE⊥DG．


    理由：如图①中，设BE交DG于点K，AE交DG于点O． ∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAE=∠DAG， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴BE=DG，∴∠AEB=∠AGD， ∵∠AOG=∠EOK， ∴∠OAG=∠OKE=90°， ∴BE⊥DG．
    （1）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．

    ∵∠OAG＝∠ODE＝90°， ∴A，D，E，G四点共圆， ∴∠ADO＝∠AEG＝45°， ∵∠DAM＝90°，
    ∴∠ADM＝∠AMD＝45°， ∴DM 2AD22，∵DG=1DM， ∴DG42，


    ∵∠H＝90°，
    ∴∠HDG＝∠HGD＝45°， ∴GH＝DH＝4， ∴AH＝1，
    在Rt△AHG中，AG224225．（3）①如图③中，当点E在CD的延长线上时．作GH⊥DA交DA的延长线于H．

    易证△AHG≌△EDA，可得GH＝AB＝1， ∵DG＝4DM．AM∥GH，
    ∴DADM1, DHDG4∴DH＝8，
    ∴AH＝DH﹣AD＝6，
    在Rt△AHG中， AG6222210．②如图3﹣1中，当点E在DC的延长线上时，易证：△AKE≌△GHA，可得AH＝EK＝BC＝1．

    ∵AD∥GH，
    ∴ADDM1, GHMG5∵AD＝1，

    ∴HG＝10，
    在Rt△AGH中， AG10222226．综上所述，满足条件的AG的长为210或226． 【点睛】
    本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角 形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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