高考数学大题

1．（12分）已知向量=（sinθ，cosθ-2sinθ），=（1，2）

（1）若⊥，求tanθ的值；高考资源网

（2）若∥，且θ为第Ⅲ象限角，求sinθ和cosθ的值。

2．(12分) 在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点.

    (I)求证：CM ⊥EM：高考资源网

    (Ⅱ)求DE与平面EMC所成角的正切值.

3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.

(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 高考资源网

4．（12分）

在△ABC中，∠A ．∠B．∠C所对的边分别为a．b．c。

若=且sinC=cosA 高考资源网

（1）求角A．B．C的大小；

（2）设函数f(x)=sin（2x+A）+cos（2x-）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。

5．（13分）已知函数f(x)=x+的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M，N. 高考资源网

（1）求a的值；

（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，

若不是，则说明理由：

（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值。

6．（13分）设函数f(x)=p(x-)-2lnx,g(x)= (p是实数，e为自然对数的底数)

（1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

（2）若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p的值；

（3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求p的取值范围. 高考资源网

7. (12分)设P:函数y =ax2－2x+1在［1,+∞)内单调递减,Q：曲线y=x2－2ax+4a+5与x轴没有交点；如果“﹁P或Q”为真，“﹁P且Q”为假，求a的取值范围. 高考资源网

8.（12分）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个。

(Ⅰ) 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

(Ⅱ) 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E 高考资源网

9. （12分）已知函数word/media/image15_1.png，其中word/media/image16_1.png

word/media/image17_1.png若word/media/image18_1.png在x=1处取得极值，求a的值； word/media/image19_1.png求word/media/image18_1.png的单调区间；高考资源网

（Ⅲ）若word/media/image18_1.png的最小值为1，求a的取值范围。

10.（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距word/media/image20_1.png米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为word/media/image21_1.png米的相邻两墩之间的桥面工程费用为word/media/image22_1.png万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为word/media/image23_1.png万元。

（Ⅰ）试写出word/media/image24_1.png关于word/media/image21_1.png的函数关系式；

（Ⅱ）当word/media/image20_1.png=640米时，需新建多少个桥墩才能使word/media/image24_1.png最小？高考资源网

11. （12分）若是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12；高考资源网

（I）求的解析式；

（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

12. （14分）已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q

（）的等比数列.若

(Ⅰ)求数列，的通项公式； 高考资源网

(Ⅱ)若对，恒有，求的值；

(Ⅲ)试比较与的大小.

答案：

1．解：（1）⊥sin+2cos-4sin=0tan=………6分

（2）∥2sin-(cos-2sin)=0tan= 高考资源网

sin=- cos=-………………………6分

2．解析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力.

  方法一：

  (I)证明：因为AC=BC，M是AB的中点，    所以CM⊥AB.    又EA ⊥平面ABC，

    所以CM⊥EM.

(Ⅱ)解：连结MD,设AE=,

则BD=BC=AC=2,

在直角梯形EABD中,

AB=,M是AB的中点,所以DE=3,EM=,MD=因此DM⊥EM,

因为CM⊥平面EMD,所以CM⊥DM,因此DM⊥平面EMC,

故∠DEM是直线DE和平面EMC所成的角.

在Rt△EMD中,MD=EM=,tan∠DEM=

方法二：

如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，.，.

（I）证明：因为，，高考资源网

所以，

故.（II）解：设向量与平面EMC垂直，则n⊥, n⊥,

即n·=0,n·=0.

因为, ,

所以y0=﹣1,z0=﹣2,

即n=(1, ﹣1, ﹣2).

因为=(), 高考资源网

cos＜n, ＞=

DE与平面EMC所成的角θ是n与夹角的余角，

所以tanθ=.

3．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.75.

（Ⅰ）解法一　任选1名下岗人员，该人没有参加培训的概率是

P1=P(·)＝P()·P()=0.4×0.25＝0.1.

所以该人员参加过培训的概率是1－P1＝1－0.1＝0.9. 高考资源网

解法二　任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

P2=P(A·)＋P（·B）＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45.

该人参加过两项培训的概率是P1＝P（A·B）＝0.6×0.75＝0.45.

所以该人参加过培训的概率是P2＋P1＝0.45＋0.45＝0.9.

（Ⅱ）解法一　任选3 名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是

P4＝×0.92×0.1＝0.243.

3人都参加过培训的概率是P5＝0.93＝0.729.

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P4+P5=0.243+0.729=0.972.

解法二　任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是

×0.9×0.12＝0.027.

3人都没有参加过培训的概率是0.13＝0.001.

所以3人中至少有2人参加过培训的概率是1－0.027－0.001＝0.972.

4．解：（1）由结合正弦定理得，则sin2A=sin2B,则在三角形中有A=B，或A+B=

当A=B时，由sinC=cosA得cosA=sin2A=2sinAcosA得sinA=或 cosA=0（舍）

∴A=B=，C=

当A+B=时，由sinC=cosA得cosA=1（舍）

综上：∴A=B=，C=……………………………………………………（6分）

（2）由（1）知f(x)=sin(2x+)+cos(2x-)=sin(2x+)+cos(-+2x+)

=2sin(2x+)

由2kπ-≤2x+≤2kπ+得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）

所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+]（k∈Z）……………（6分）

相邻两对称轴间的距离为…………………………………………………（1分）

5．解（1）∵f(2)=2+=2+，∴a=………………………………（3分）

（2）设点P的坐标为（x0,y0），则有y0=x0+,x0＞0 高考资源网

由点到直线的距离公式可知：|PM|==，|PN|=x0,

故有|PM|·|PN|=1，即|PM|·|PN|为定值，这个值为1…………………（5分）

（3）由题意可设M(t,t)，可知N(0,y0).

∵PM与直线y=x垂直，

∴kPM·1=-1，即=-1，

解得t=（x0+y0），又y0=x0+

∴t=x0+.

∴S△OPM=+，S△OPN=+ 高考资源网

∴S△MPN= S△OPM+ S△OPN=（+）+≥1+

当且仅当x0=1时，等号成立。

∴此时四边形OMPN面积有最小值1+……………………………………（5分）

6．（1）∵f’(x)=，要使f(x)为单调增函数，须f’(x)≥0恒成立，即px2-2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，高考资源网

所以当p≥1时，f(x)在(0,+∞)为单调增函数。

要使f(x)为单调减函数，须f’(x) ≤0恒成立，

即px2-2x+0≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，

所以当p≤0时，f(x)在(0,+ ∞)为单调减函数。

综上所述，f(x)在(0,+∞)为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0…（4分）

（2）∵f’(x)=p+,∴f’(1)=2(p-1)，设直线l：y=2(p-1)(x-1)，

y=2(p-1)(x-1)

y= 高考资源网

当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0，

得p=1-4e，综上，p=1-4e……………………………………………………（4分）

（3）因g(x)=在[1，e]上为减函数，所以g(x)∈[2，2e]

①当p≤0时，由（1）知f(x)在[1,e]上递减f(x)max=f(1)=0＜2，不合题意

②当p≥1时，由（1）知f(x)在[1,e]上递增，f(1) ＜2，又g(x)在[1,e]上为减函数，故只需f(x)max＞g(x)min，x∈[1,e]，

即：f(e)=p(e-)-2lne＞2p＞.

③当0＜p＜1时，因x-≥0，x∈[1,e]

所以f(x)=p(x-)-2lnx≤(x-)-2lnx≤e--2lne＜2不合题意

综上，p的取值范围为（,+∞）……………………………………（5分）

7、解：由P知，a=0或解得a≤0.

由Q知,Δ=(－2a)2－4(4a+5)<0,解得－1<a<5.

“﹁P或Q”为真，“﹁P且Q”为假，∴P与Q一真一假；

若P正确，Q不正确，则有∴a≤－1. 高考资源网

若P不正确，Q正确，则有∴0<a<5. 综上可知,a的取值范围为a≤－1或0<a<5.

8、

9、解：（Ⅰ）word/media/image120_1.png 高考资源网

∵word/media/image121_1.png在x=1处取得极值，∴word/media/image122_1.png解得word/media/image123_1.png

（Ⅱ）word/media/image124_1.png ∵word/media/image125_1.png ∴word/media/image126_1.png

①当word/media/image127_1.png时，在区间word/media/image128_1.png∴word/media/image129_1.png的单调增区间为word/media/image130_1.png

②当word/media/image131_1.png时，由word/media/image132_1.png

∴word/media/image133_1.png

（Ⅲ）当word/media/image134_1.png时，由（Ⅱ）①知，word/media/image135_1.png 高考资源网

当word/media/image136_1.png时，由（Ⅱ）②知， word/media/image138_1.png矛盾。

综上可知，若word/media/image139_1.png得最小值为1，则a的取值范围是word/media/image140_1.png

10、解：（Ⅰ）设需要新建word/media/image141_1.png个桥墩，word/media/image142_1.png

所以 word/media/image143_1.png

word/media/image145_1.png

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，word/media/image146_1.png 高考资源网

令word/media/image148_1.png，得word/media/image149_1.png，所以word/media/image21_1.png=64 高考资源网

当0<word/media/image21_1.png<64时word/media/image150_1.png<0， word/media/image151_1.png在区间（0，64）内为减函数；

当word/media/image152_1.png时，word/media/image153_1.png>0. word/media/image154_1.png在区间（64，640）内为增函数，

所以word/media/image155_1.png在word/media/image21_1.png=64处取得最小值，此时，word/media/image156_1.png

故需新建9个桥墩才能使word/media/image24_1.png最小。

11、解：（I）是二次函数，且的解集是

可设在区间上的最大值是

由已知，得 高考资源网

（II）方程等价于方程

设则

当时，是减函数；当时，是增函数。

方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。

12、解：(Ⅰ) ∵ word/media/image180_1.png， ∴ word/media/image181_1.png. 即 word/media/image182_1.png， 解得 d =2.

∴ word/media/image183_1.png. ∴ word/media/image184_1.png. ………………………………… 2分

∵ word/media/image185_1.png, ∴ word/media/image186_1.png. ∵ word/media/image187_1.png, ∴ word/media/image188_1.png. 高考资源网

又word/media/image189_1.png， ∴ word/media/image190_1.png.………………………………………… 4分

(Ⅱ) 由题设知 word/media/image191_1.png， ∴word/media/image192_1.png.

当word/media/image193_1.png时, word/media/image194_1.png, word/media/image195_1.png, 高考资源网

两式相减,得word/media/image196_1.png.

∴ word/media/image197_1.png (word/media/image198_1.png适合).…………………………… 7分

设T=word/media/image199_1.png,

∴ word/media/image200_1.png 高考资源网

word/media/image201_1.png

两式相减 ,得

word/media/image202_1.png

word/media/image203_1.pngword/media/image204_1.png

word/media/image205_1.png.

∴ word/media/image206_1.png.………………………………………………… 9分

(Ⅲ) word/media/image207_1.pngword/media/image208_1.pngword/media/image209_1.png, word/media/image210_1.pngword/media/image211_1.png.

现只须比较word/media/image212_1.png与word/media/image213_1.png的大小. 高考资源网

当n=1时, word/media/image214_1.png；

当n=2时, word/media/image215_1.png；

当n=3时, word/media/image216_1.png；

当n=4时, word/media/image217_1.png. 高考资源网

猜想word/media/image218_1.png时，word/media/image219_1.png.

用数学归纳法证明

(1)当n=2时，左边word/media/image220_1.png，右边word/media/image221_1.png，word/media/image219_1.png成立.

(2)假设当n=k时, 不等式成立，即word/media/image222_1.png.

当n=k+1时, word/media/image223_1.png

word/media/image224_1.pngword/media/image225_1.png.

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（1）（2），可知word/media/image218_1.png时，word/media/image219_1.png都成立. 高考资源网

所以 word/media/image226_1.png（当且仅当n＝1时，等号成立）

所以word/media/image227_1.pngword/media/image228_1.png.即word/media/image207_1.pngword/media/image229_1.png. …………………………… 14分