第二节参_数_方_程

1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，6ef29f5ac5a08b836e17511a46796151.png就是曲线的参数方程．

2．常见曲线的参数方程和普通方程

1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程346fc5db90294cf759ad5c1e91fad63e.png(t为参数)

注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．

2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．

『练一练』

1．若直线的参数方程为8450491f9e509ab4fc7a963b61e9227e.png(t为参数)，则直线的斜率为________．

『解析』∵87e346713be9aed0c33f5dab6d1a1c67.png＝1aeabe98e6fc53c118050b7eef79b286.png＝－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，∴tan α＝－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png.

『答案』－003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png

2．参数方程为b28525f7104a9ce380c8e07a27ebd60b.png(0≤t≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)

『解析』化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，

即x－3y－5＝0，

由于x＝3t2＋2∈『2,77』，

故曲线为线段．

『答案』线段

1．化参数方程为普通方程的方法

消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．

2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法

经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为5fcc95eb35c6dc2527c50723f81e1039.png(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

(1)t0＝d42d43f4f8912ec03220357fbd20944b.png；

(2)|PM|＝|t0|＝d42d43f4f8912ec03220357fbd20944b.png；

(3)|AB|＝|t2－t1|；

(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

『练一练』

1．已知P1，P2是直线1159624056339430a6a93d7c945afd47.png(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是________．

『解析』由t的几何意义可知，线段P1P2的中点对应的参数为d42d43f4f8912ec03220357fbd20944b.png，P对应的参数为t＝0，

∴线段P1P2的中点到点P的距离为7d2c3416639379f96e411e4961ef7670.png.

『答案』b97768adbc76e1f57a93fc9c055043b4.png

2．已知直线f0cc081eb6606301865a52f954c5b9c1.png(t为参数)与圆x2＋y2＝4相交于B，C两点，则|BC|的值为________．

『解析』∵3cd0a5c8731d2e7090dd3f21d764381d.png326068c35a5dcb8e944f3dc700732d7f.png代入x2＋y2＝4，得51f8aac1feecbdb480e27147db99ec32.png2＋b2f1e488d36d13c7a5daf3ddc3d2c07b.png2＝4，t′2－35d776145f5d924457a0dc25fe4e4a877.pngt′＋1＝0，∴|BC|＝|t′1－t′2|＝5569cb5b127b88f4390560e4f0577dc0.png＝5c53792d74cc30d942e3cbde1298afa2.png＝2802cc37bb3000b740eee29fdc4b6513.png.

『答案』2802cc37bb3000b740eee29fdc4b6513.png

1.曲线20d4258cbb12b2c9c327f93f5dcdac5a.png(θ为参数)中两焦点间的距离是________．

『解析』曲线化为普通方程为cfbf9e9f7516c8d22f80749c1da07cc1.png＋c3d93f920814a03ef661cdbc62015758.png＝1，∴c＝fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png，故焦距为2fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png.

『答案』2fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png

2．(2014·西安质检)若直线3x＋4y＋m＝0与圆4f30ae797029900790ba3a6cbb366949.png

(θ为参数)相切，则实数m的值是________．

『解析』圆4f30ae797029900790ba3a6cbb366949.png消去参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即671c8ab0a91ed21bacc5cefd3d4749f7.png＝1，解得m＝0或m＝10.

『答案』0或10

3．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线7fcd0afbe8e607d93ad2008826403988.png(t为参数，t∈R)与曲线C1：ρ＝4sin θ异于点O的交点为A，与曲线C2：ρ＝2sin θ异于点O的交点为B，则|AB|＝________.

『解析』由题意可得，直线y＝－9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx，曲线C1：x2＋(y－2)2＝4，曲线C2：x2＋(y－1)2＝1，

画图可得，

|AB|＝4cos 30°×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png＝9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.

『答案』9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png

『备课札记』　　

『类题通法』

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．

『典例』　(2014·郑州模拟)已知直线C1：e745c681e5519527c3a8c040a06fa405.png

(t为参数)，曲线C2：85c6b0d760b59efe9b6ab7a7e87ea6d2.png(θ为参数)．

(1)当α＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png时，求C1与C2的交点坐标；

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

『解』　(1)当α＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png时，C1的普通方程为y＝27d20b09c2e7c517a8a1a74348656b95.png(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，

联立方程f2673ffe799c35115405dd1480517eb6.png解得C1与C2的交点坐标分别为(1,0)，cb26ea9f9742fca7076830a33674cf6d.png.

(2)依题意，C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，则A点的坐标为(sin2α，－sin αcos α)，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为

2fafa3be7ed04ad5e460277fe9000491.png(α为参数)，

∴点P轨迹的普通方程为(x－70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png)2＋y2＝667cefe6962f9126f23b0f37cfd9a2b3.png.

故点P的轨迹是圆心为(70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png，0)，半径为70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png的圆．

『备课札记』　　

解：由(1)知C1的普通方程为y＝27d20b09c2e7c517a8a1a74348656b95.png(x－1)，C2的普通方程为y＝1－ax，由两线垂直得－a×27d20b09c2e7c517a8a1a74348656b95.png＝－1，故a＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png.

『类题通法』

1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．

2．对于形如26615277462f0eb93272426ba7743797.png(t为参数)

当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．

『针对训练』

(2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P，Q在曲线C：3df91519bf141c35abf47cc91f9832de.png

(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α为(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α), 因此M(cos α＋cos2α，sin α＋sin2α)．

M的轨迹的参数方程为c1702d0b5a2ad0c448f84efd6b3abb3a.png(α为参数，0＜α＜2π)．

(2)M点到坐标原点的距离

d＝c2455ad4d5daf00053733eb8b78bf8d9.png＝69761a103e1159661ceed85f48a313ad.png(0＜α＜2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

『典例』　(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为9404a58a318505429a08b8077e5f81e4.png，直线l的极坐标方程为ρcos447153bd0fe0c7b54339e617d9b94beb.png＝a，且点A在直线l上．

(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；

(2)圆C的参数方程为bd1d57fe368d21299ef342028d3ae3cc.png(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．

『解』　(1)由点A9404a58a318505429a08b8077e5f81e4.png在直线ρcos447153bd0fe0c7b54339e617d9b94beb.png＝a上，

可得a＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，

从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，

所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，

因为圆心C到直线l的距离d＝bf28ae6e67befcd7514eb5353b4b6703.png＝193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png<1，

所以直线l与圆C相交．

『备课札记』　　

『类题通法』

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

『针对训练』

(2014·石家庄质检)已知P为半圆C：a5b7ce37eba64b351019ff0f6c3a24f9.png(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与半圆C的弧169664d37403070ef6d4d9bf070790a4.png的长度均为5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png.

(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

(2)求直线AM的参数方程．

解：(1)由已知，点M的极角为5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png，且|OM|＝5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png，

故点M的极坐标为(5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png，5a777e0b4347abb14c3c394ee80f7e68.png)．

(2)由(1)可得点M的直角坐标为(b0d7892a1bcc5ddedd63a3b4fc04cbdf.png，7f7658b450761e2dcfc342d0cea66c14.png)，A(1,0)，

故直线AM的参数方程为3dbe11bbff5835da6af8b9672f90c909.png(t为参数)．

『课堂练通考点』

1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线8acfc7b3cb0011045226544317919913.png(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.

『解析』ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x＝4　　　　　 ①，

3d271dfc66ebaef4e8f8c4507ac18898.png化为普通方程为y2＝x3 ②，

①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.

『答案』16

2．(2013·江西高考)设曲线C的参数方程为dc802a33e0f643f39e16624ba0821d9f.png(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

『解析』消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.

『答案』ρcos2θ－sin θ＝0

3．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为0515080b8efee11c8e091f6ce63c713e.png(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos447153bd0fe0c7b54339e617d9b94beb.png.若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝________.

『解析』首先消去参数t，可得直线方程为9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.pngx－y＋193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为dc20a1534031b440aa592b58eec3de03.png2＋e6a5ea88819aae2acb7996e07b25696d.png2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB|＝27754be2569ad6d2456c2f7027b05cc0c.png＝8f30cd3c586a24d38d3786921d756934.png.

『答案』8f30cd3c586a24d38d3786921d756934.png

4．(2014·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝cos θ.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l的参数方程为1944424b95375f95833beeb860e02d3f.png(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．

解：(1)将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入ρ2sin2θ＝ρcos θ中，得y2＝x，

∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝x.

(2)把d780966132585e4adf84bfe040fa37f1.png代入y2＝x整理得，

t2＋5d776145f5d924457a0dc25fe4e4a877.pngt－4＝0，Δ>0总成立．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

∵t1＋t2＝－b4116f43c515fa18db372c0ff111db43.png，t1t2＝－4，

∴|AB|＝|t1－t2|＝ca550505059581e1e244d70bba00355f.png＝31553867a52c684e18d473467563ea33b.png.