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    江苏自考27173工程数学复习资料new

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    第一章随机事件与随机事件的概率
    本章考核内容小结
    （一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式

    计算简单的古典概型的概率（不返回抽样、返回抽样）（二）知道事件的四种关系
    （1）包含：表示事件A发生则事件B必发生
    （2）相等：

    （3）互不相容：与B互不相容（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω（三）知道事件的四种运算
    （1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）（2）事件积（交）AB表示A与B都发生
    性质：（1）若（2）
    且

    ，则AB=B，A+B=A∴ΩB=B且

    （3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生∴（4）性质
    表示A不发生

    ，且A-B=A-AB
    （四）运算关系的规律
    （1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）（AB）C=A（BC）叫结合律（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律
    （4）
    叫对偶律
    （五）掌握概率的计算公式
    （1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
    特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）
    ②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）
    ③

    推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
    （2）
    推广：




    当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）性质若A与B独立
    与B，A与
    ，
    与
    均独立
    （六）熟记全概率公式的条件和结论
    若A1，A2，A3是Ω的划分，则有

    简单情形
    熟记贝叶斯公式

    若已知，则
    （七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式


    第二章随机变量及其变量分布
    （一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率
    （1）若X是离散型随机变量，则P（a≤b）=F（b）-F（a）（2）若X是连续型随机变量，则P（a≤b）=F（b）-F（a）
    P（a≤x≤b）=F（b）-F（a）P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）P（a＜b）=F（b）-F（a）（二）知道离散型随机变量的分布律
    会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若

    则
    （三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律（1）X～（0,1）（2）X～B（n,p）
    P（x=k）=


    （3）X～P（λ）P（x=k）=
    （四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。

    （1）概率密度f（x）的性质①f（x）≥0②
    （2）分布函数和概率密度的关系
    （3）分布函数的性质①F（x）右连续②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1③F（x）是不减函数。（4）概率计算公式：①P（a）=F（b）－F（a）②P（a）=（五）掌握连续型随机变量的三种分布

    （1）X～U（a,b）X～f（x）=X～F（x）=
    （2）X～E（λ）①X～f（x）=②X～F（x）=
    （3）X～N（0,1）①X～②X～
    性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a≤b）=Φ（b）－Φ（a）

    （4）X～N（μ,σ2）①X～②P（a＜b）=（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数
    （1）离散型
    若
    且g（x1）,g（x2）,…g（xn）不相同时，有

    *（2）连续型
    若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变
    量X的函数Y=g（x）的概率密度为
    当α=－∞β=+∞时，则有


    简单情形，若Y＝ax+b则有Y～fY（y）=在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。（3）重要结论
    （i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时Y～N（aμ+b,a2σ2）
    （ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝
    叫X的标准化随机变量。

    第三章多维随机变量及概率分布
    （一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质
    （ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0F（-∞，-∞）=0

    （3）X～FX（X）=F（X,+∞）Y～FY（Y）=F（+∞,Y）（二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律

    （2）X的边缘分布
    性质
    证明P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，…pm·=pm1+pm2+…pmn（3）Y的分布律

    证P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，…P·N=P1N+P2N+…+pmn（4）X，Y独立的充要条件是：
    X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。（5）会求Z=X+Y的分布律（三）二维连续型随机变量
    （1）若
    已知f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）性质（2）（3）会用公式

    已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）
    求（X，Y）在区域D上取值的概率。

    （4）会用公式分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立判断连续型随机变量X，Y的独立性。（6）知道两个重要的二维连续随机变量
    ①（X，Y）在D上服从均匀分布
    则X，Y独立
    （7）若X，Y独立，且


    S是D的面积

    第四章随机变量的数字特征

    本章的考核内容是
    （一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。
    （1）离散型：（2）连续型：（3）（4）





    期望的性质：（1）EC=C
    （2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY
    （4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY）
    （二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质

    ∴X是离散型随机变量时


    X是连续型随机变量时（2）计算公式（3）性质①DC＝0②③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX(Y-EY]=DX+DY±2Cov(X,Y∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y=DX+DYCov(X,Y=E[(X-EX(Y-EY]
    计算公式Cov(X,Y=E(XY－(EX(EY相关系数定理X，Y独立

    X，Y不相关（
    ）

    第五章大数定律及中心极限定理
    （一）知道切比雪夫不等式
    或
    并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。（二）知道贝努利大数定律

    其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。
    （三）知道切比雪夫不等式大数定律


    取值稳定在期望附近。
    它说明在大量试验中，随机变量
    （四）知道独立同分布中心极限定理

    若
    记Yn～Fn（x），则有

    它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，
    无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.
    （五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
    若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即Zn～B（n,p）,则有

    2
    即Zn近似正态N（np,np（1-p））。并会用中心极限定理计算简单应用问题。

    第六章统计量及其抽样分布
    本章的基本要求是
    （一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念（二）知道统计量和s2的下列性质。

    22
    E（s）=σ
    （三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…xn）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（xn）样本（x1,x2,…xn）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f（xn），样本（x1,x2,…xn）的概率函数，p（x1,x2,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而顺序统计量x（1），…x（n）中
    X（1）的分布函数为1-（1-F（x））nX（n）的分布函数为[F（x）]n
    （四）掌握正态总体的抽样分布若X～N（μ，σ2）则有
    （1）
    （2）
    （3）（五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念


    第七章参数估计
    （一）点估计
    （1）知道点估计的概念
    （2）会用矩法求总体参数的矩估计值，主要依据是


    （3）会用最大似然估计法求总体参数的估计值。
    基本方法是由样本x1，x2，x3，…，xn构造一个似然函数或似然函数的对数L（x1，x2，x3，…，xn，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）L（x1，x2，x3，…，xn，）=f（x1）f（x2）…f（xn）
    然后由lnL（x1，x2，x3，…，xn，）取最大的值时的值为的值，即L的最大值点。
    （二）点估计量的评价标准
    （1）若（2）若（3）若就说是
    的相合估计
    ，则是的无偏估计。都是的无偏估计，且
    。
    就说
    有效。
    。是
    以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计（三）区间估计
    （1）知道区间估计的概念（2）会求一个正态总体
    的参数
    的置信区间。公式见表7-1


    第八章假设检验
    （一）理解假设检验的基本思想，知道假设检验的步骤。（二）知道两类错误（三）掌握单个正态总体的均值和方差的检验方法，并会简单应用，这是本章主要重点。
    P166表8.3

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