2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试

数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1．不等式的解集为__________．

2．计算：__________．

3．设集合，，则__________．

4．若复数（是虚数单位），则__________．

5．已知是等差数列，若，则__________．

6．已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹为 __________．

7．如图，在长方形中，，，， 是的 中点，则三棱锥的体积为__________．

第7题图 第12题图

8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________．

9．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则__________．

10．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围

是__________．

11．设，函数，，若函数与 的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________．

12．如图，正方形的边长为20米，圆的半径为1米，圆心是正方形的中心，点 、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲 区”中．已知点以1．5米/秒的速度从出发向移动，同时，点以1米/秒的速度 从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约 为__________秒（精确到0．1）

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）

13．下列函数中，为偶函数的是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

14．如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线

异面的直线条数为（ ）

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

15．记为数列的前项和．“是递增数列”是“为递增数列”的（ ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件

16．已知、为平面上的两个定点，且．该平面上的动线段的端点、， 满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ）

（A）36 （B）60 （C）81 （D）108

三、解答题（本大题共有5题，满分76分，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知．

（1）若，且，求的值；

（2）求函数的最小值．

18． （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知，双曲线．

（1）若点在上，求的焦点坐标；

（2）若，直线与相交于、两点，且线段中点的横坐标为1，求实数的值．

19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点、、在抛物线上，是抛物线的对称轴，于，米，米．

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知平行于圆锥的母线，、是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．

图1 图2 图3

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设，函数．

（1）若，求的反函数；

（2）求函数的最大值（用表示）；

（3）设．若对任意，恒成立，求的取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

若是递增数列，数列满足：对任意，存在，使得，则称是的“分隔数列”．

（1）设，，证明：数列是的“分隔数列”；

（2）设，是的前项和，，判断数列是否是数列的分隔数列，并说明理由；

（3）设，是的前项和，若数列是的分隔数列，求实数、的取值范围．

参考答案

一、填空题

1． 2．3 3． 4．2 5．15

6． 7．5 8．180 9．4 10．

11．

提示：

12．

提示：以为原点建立坐标系，设时刻为，则

则，化简得

点到直线PQ的距离，化简得

即，则

二、选择题

13．A 14．C 15．D

16．B

提示：建系，则的轨迹为线段，扫过的三角形面积为12，则利用相似三角形可知扫过的面积为48，因此和为60

三、解答题

17．（1）；（2）

18．（1）；（2）．

19．（1）；（2）．

20．（1）；（2）（时取最值）；

（3）

提示：

因为-a<0，所以当x=0,t=1时，分母取到最小值从而分式值取到最小值，

此时

21．（1）证明：存在,此时 证毕

（2）不是．反例：时，无解；

（3）．

提示：因为为递增数列，因此或者

①当时，，因此

因此不存在，不合题意。

②当时，

两边同时取对数得：

记

则

下面分析函数的取值范围：

显然时，为减函数，

因此，即

(Ⅰ)当时，，因此总有

此时

因此总存在符合条件，使得成立

(Ⅱ)当时， ， 根据零点存在定理，并结合的单减性可知：

存在唯一正整数使得

此时

即

显然不存在满足条件的正整数

综上：