2.4.1 导数的加法与减法法则

2.4.2 导数的乘法与除法法则

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.下列结论不正确的是(　　)

A.若y＝3，则y′＝0

B.若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C.若y＝－＋x，则y′＝－＋1

D.若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

【解析】　D中，∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.

【答案】　D

2.若对任意实数x，恒有f′(x)＝5x4，f(1)＝－1，则此函数为(　　)

A.f(x)＝－1＋x5 B.f(x)＝x5－2

C.f(x)＝x4－2 D.f(x)＝x5＋1

【解析】　由f(1)＝－1，排除A，D；又对任意实数x，恒有f′(x)＝5x4，则f(x)＝x5＋c ，故排除C，选B.

【答案】　B

3.曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(　　)

A.(1，0)

B.(2，8)

C.(1，0)和(－1，－4)

D.(2，8)和(－1，－4)

【解析】　∵f(x)＝x3＋x－2，∴f′(x)＝3x2＋1，

设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.故P0点坐标为(1，0)或(－1，－4).

【答案】　C

4.设曲线f(x)＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)

A.2 B.

C.－ D.－2

【解析】　∵f(x)＝＝1＋，

∴f′(x)＝－，

∴f′(3)＝－，

∴－a＝2，即a＝－2.

【答案】　D

5.已知函数f(x)＝x2＋4ln x，若存在满足1≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是(　　)

A.[5，＋∞) B.[4，5]

C. D.(－∞，4)

【解析】　f′(x)＝x＋，当1≤x0≤3时，

f′(x0)∈[4，5]，

又k＝f′(x0)＝m，所以m∈[4，5].

【答案】　B

二、填空题

6.函数y＝的导数是________.

【解析】　f′(x)＝＝.

【答案】　

7.已知f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝________.

【解析】　∵f(x)＝x2＋2f′x，

∴f′(x)＝2x＋2f′，

∴f′＝2×＋2f′，

∴f′＝－2×，即f′＝.

【答案】　

8.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________.

【解析】　∵s′＝2t－，

∴v＝s′(4)＝8－＝7 m/s.

【答案】　7 m/s

三、解答题

9.点P是曲线y＝f(x)＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.

【解】　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线f(x)＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图.

则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即

f′(x0)＝1.

∵f′(x)＝(ex)′＝ex，

∴ex＝1，得x0＝0，代入f(x)＝ex，得y0＝1，即P(0，1).

则点P到直线y＝x的最小距离为d＝＝.

10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值.

【解】　因为y＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，

所以a＋b＋c＝1.

y′＝2ax＋b，

曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.

又曲线过点(2，－1)，

所以4a＋2b＋c＝－1.

由解得

所以a，b，c的值分别为3，－11，9.

[能力提升]

1.(2016·宁波高二检测)函数f(x)＝x＋xln x在(1，1)处的切线方程为(　　)

A.2x＋y－1＝0 B.2x－y－1＝0

C.2x＋y＋1＝0 D.2x－y＋1＝0

【解析】　∵f′(x)＝(x＋xln x)′

＝1＋x′ln x＋x(ln x)′

＝1＋ln x＋1＝2＋ln x，

∴f′(1)＝2＋ln 1＝2，

∴函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为

y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

【答案】　B

2.曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1，2)处的切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间的距离是(　　)

A. B.

C. D.

【解析】　因为曲线过点(1，2)，所以b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，由题意得2＋b＝－b，所以b＝－1，c＝2，

所以所求的切线方程为y－2＝x－1，

即x－y＋1＝0.

故两平行直线x－y＋1＝0和x－y－2＝0的距离为d＝＝.

【答案】　C

3.(2016·菏泽高二检测)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.

【解析】　设P(x0，y0).∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.

∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.

∴y0＝eln e＝e，∴点P的坐标是(e，e).

【答案】　(e，e)

4.(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)＝，且f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若P(x0，y0)为f(x)图像上的任意一点，直线l与f(x)的图像相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.

【解】　(1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝.

因为f(x)的图像在x＝1处与直线y＝2相切.

所以

即所以a＝4，b＝1，

所以f(x)＝.

(2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率

k＝f′(x0)＝＝4，令t＝，t∈(0，1]，

则k＝4(2t2－t)＝8－，

所以k∈.