章末分层突破

[自我校对]

①相切

②相交

③抛物能

④双曲线

平面截球所得的交线是圆，连接球心与截面圆的圆心′所得直线与截面垂直，设球的半径为，圆的半径为，则有＋′＝.

　已知过球面上，，三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且＝＝＝，求球面面积.

【精彩点拨】设过，，三点截面圆的圆心为′，则′⊥平面，且′＝，由△为等边三角形，易知′为△的中心，在′＝＝.在△′中，由勾股定理得出，从而求出球面面积.

【规范解答】如图，过，，三点截面圆的圆心为′，连接′，′，，则′⊥平面，

∴′⊥′.在△中，∵＝＝＝，

∴△为边长是的正三角形，

∴′＝＝.

设球的半径为，则＝，′＝.

在△′中，由勾股定理得

＝′＋′，

即＝＋，∴＝，

从而球面的面积为＝π＝π＝π.

[再练一题]

.(全国卷Ⅱ)已知，是球的球面上两点，∠＝°，为该球面上的动点.若三棱锥­体积的最大值为，则球的表面积为(　　)

π π

π π

【解析】　如图，设球的半径为，∵∠＝°，∴△＝.

∵­＝­，而△面积为定值，

∴当点到平面的距离最大时，­最大，

∴当为与球的大圆面垂直的直径的端点时，体积­最大为××＝，

∴＝，∴球的表面积为π＝π×＝π.故选.

【答案】

平面与圆柱面或圆锥面的交线问题，常常考虑作出恰当的轴截面，建立有关量的关系.

　设圆锥的底面半径为，高为，求：

()内接正方体的棱长；

()内切球的表面积.

【精彩点拨】作出圆锥的轴截面，利用平面几何的知识求解.

【规范解答】()过正方体的一顶点作圆锥的一个轴截面，如图所示.设正方体的棱长为，

则′′＝，′＝.

由△′′∽△，

∴′∶＝′′∶，

即(－)∶＝∶，∴＝－.

()作圆锥的一个轴截面，如图，设内切球的半径为，则＝＝.

∵为∠的平分线，

∴∶＝∶，

即(－)∶＝∶，

解得＝(－)，

∴球＝π＝π×(－)

＝(－)π.

[再练一题]

.如图­，一个圆柱被一个平面所截，截面椭圆的长轴长为，短轴长为，被截后的几何体的最短母线长为，则这个几何体的体积为(　　)

图­

π π

π π

【解析】由已知圆柱底面半径＝.

即直径为.设截面与圆柱母线成α角，

则 α＝，∴α＝.

∴几何体的最长母线长为＋ α＝＋×＝.用一个同样的几何体补在上面，可得一个底半径＝，高为的圆柱，其体积为＝π××＝π.∴所求几何体的体积为＝π.

【答案】

圆锥曲线的统一定义和几何性质是研究圆锥曲线的重要方法和途径.

　如图­，设动点到点(－)和()的距离分别为和，∠＝θ，且存在常数λ(＜λ＜)，使得θ＝λ.证明：动点的轨迹为双曲线.

图­

【精彩点拨】在△中由余弦定理可得－＝

∵<λ<，－λ<<<，∴－<＝，由双曲线的定义知动点的轨迹是，为焦点的双曲线.

【规范解答】在△中，＝，

则＝＋－ θ，

＝(－)＋θ，

即－＝

＝＜(常数)，

∴点的轨迹是以，为焦点，实轴长为＝的双曲线.

[再练一题]

.已知椭圆两准线间的距离为，离心率为，则球的半径是.

【解析】由题意知：，解得.

∴＝＝，∴球的半径为.

【答案】

在研究平面与圆柱面或圆锥面的截线性质时，往往借助双球——内切于圆柱面的球.此时，几何体的结构较为复杂.因此在处理这类问题时，可作圆柱面或圆锥面的轴截面(过轴的截面)，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决.即立体问题平面化.

　在底面半径为的圆柱内有两个半径也为的球，两球的球心距离为，若作一个平面这两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆.求此椭圆的长轴长.

【精彩点拨】作出圆柱面的轴截面，借助双球的性质，转化为平面几何知识求解.

【规范解答】　如图为圆柱面的轴截面图.

为与两球和相切的平面与轴截面的交线，由对称性知过圆柱的几何中心.

∵⊥，⊥，

∴∠＝∠，

且＝＝，

∴△≌△，∴＝，

∴＝＝＝＝.

∵即为椭圆的长轴，

∴椭圆的长轴长为.

[再练一题]

.如图­所示，圆柱的轴截面是边长为 的正方形，则圆柱侧面上从到的最短距离为(　　)

图­

【解析】如图是圆柱的侧面展开图，则长为圆柱面上从到的最短距离.

设圆柱的底面半径为，

则＝.

∴底面圆周长＝π＝π，

∴＝π＝＝，

∴＝

＝

＝().

【答案】

.(全国卷Ⅱ)已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，△为等腰三角形，且顶角为°，则的离心率为(　　)

【解析】　不妨取点在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝(>，>)，则＝＝，∠＝°－°＝°，

∴点的坐标为.

∵点在双曲线上，∴－＝，＝，

∴＝，＝＝.故选.

【答案】

.(全国卷Ⅰ)直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)

【解析】不妨设直线经过椭圆的一个顶点(，)和一个焦点()，则直线的方程为＋＝，即＋－＝.由题意知＝×，解得＝，即＝.故选.

【答案】

.(浙江高考)设双曲线－＝的左、右焦点分别为，.若点在双曲线上，且△为锐角三角形，则＋的取值范围是.

【解析】∵双曲线－＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，∴＝，－＝.若△为锐角三角形，则由余弦定理知＋－>，可化为(＋)－·>①.由－＝，得(＋)－＝.故＝，代入不等式①可得(＋)>，解得＋>.不妨设在左支上，∵＋－>，即(＋)·(－)>－，又－＝－，∴＋<.故<＋<.

【答案】(，)

.(江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为、高为的圆锥和底面半径为，高为的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为.

【解析】设新的底面半径为，由题意得

×π××＋π××＝×π××＋π××，

∴＝，∴＝.

【答案】

学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。