工程数学二复习题（教师用）

一、 选择题：

1、下列等式中有一个是微分方程，它是（ D ）

A、 B、

C、 D、

解：选项A和B是求导公式，选项C为恒等式，选项D符合微分方程的定义

2、下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（ C ）

A、 B、

C、 D、

3、若级数与都发散，则（ C ）

A、发散 B、发散

C、发散 D、发散

解：由推知若选项C收敛，则收敛，与题设矛盾，故选C

4、级数的部分和数列有界是该级数收敛的（ A ）

A、必要非充分条件 B、充分非必要条件

C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

5、级数（a为常数）收敛的充分条件是（ A ）

A、|q|>1 B、q=1 C、|q|<1 D、q<1

解：该级数是公比为的几何级数，所以当，即|q|>1时级数收敛

6、若级数收敛，那么下列级数中发散的是（ B ）

A、 B、 C、100+ D、

解：选项B中，因为，所以该级数发散

7、若级数发散，则（ D ）

A、 B、

C、任意加括号后所成的级数必发散

D、任意加括号后所成的级数可能收敛

解：选项A和B均为级数发散的充分条件，但非要条件。若级数发散，则任意加括号后所成级数可能收敛也可能发散

8、若级数收敛，则下述结论中，不正确的是（ C ）

A、收敛 B、收敛

C、收敛 D、

解：选项A中因为所以A正确

选项B中由级数收敛性质知该级数收敛，所以B正确

选项D是级数收敛的必要条件，所以D正确

选项C中原级数收敛，可能收敛也可以发散

9、无穷级数收敛的充分条件是（ C ）

A、 B、

C、，且 D、收敛

解：所给级数为交错级数，选项C为交错级数判断收敛性的莱布尼茨定理中的条件

10、设，则下列级数中必定收敛的是（ D ）

A、 B、 C、 D、

11、在球内部的点是（ C ）

A、（0，0，2） B、（0，0，-2） C、 D、

解：球的标准方程为，是以（0，0，1）为球心，1为半径的球面，经验算选项C中的点到球心的距离为

12、设函数，则下列各结论中不正确的是（ D ）

A、 B、

C、 D、

13、设函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处存在对x，y的偏导数，则f ’x(x0，y0)=（ B ）

A、 B、

C、 D、

解：根据偏导数定义知选项C和D显然错误

选项A中，

=

选项B中，

=

14、二元函数z=f(x,y)的两个偏导数存在，且，则（ D ）

A、当y保持不变时，f(x,y)是随x的减少而单调增加的

B、当x保持不变时，f(x,y)是随y的增加而单调增加的

C、当y保持不变时，f(x,y)是随x的增加而单调减少的

D、当x保持不变时，f(x,y)是随y的增加而单调减少的

解：由知当y保持不变时，f(x,y)是x的单调增加函数；

由知当x保持不变时，f(x,y)是y的单调减少函数；

15、 函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处可微的充分条件是（ D ）

A、f(x,y)在点(x0,y0)处连续

B、f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数

C、

D、，其中

解：二元函数在点（x0,y0）连续或偏导数存在均不能保证在此点可微

由全徽分的定义知选项D正确

16、已知函数，则（ B ）

A、2x-2y B、x+y C、2x+2y D、x-y

解：设u=x+y，v=x-y，则f(u，v)=uv，从而f(x，y)=xy

17、已知函数，则分别为（ A ）

A、-1，2y B、2y，-1 C、2x+2y，2y+x D、2y，2x

解：设u=xy, v=x+y，则f(u，v)=(x+y)2-xy=v2-u

所以f(x，y)=y2-x

18、点使且成立，则（ D ）

A、是的极值点 B、是的最小值点

C、是的最大值点 D、可能是的极值点

解：且是在有极值的必要而非充分条件

19、设区域D是单位圆在第一象限的部分，则二重积分（ C ）

A、 B、

C、 D、

解：在直解坐标系下：

在极坐标系下：

20、（ D ）

A、 B、

C、 D、

解：改变积分次序后，积分区域可记为

21、若，则积分区域D可以是（ C ）

A、由x轴，y轴及x+y-2=0所围成的区域

B、由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域

C、由|x|=1/2，|y|=1/2所围成的区域

D、由|x+y|=1，|x-y|=1所围成的区域

解：由二重积分的几何意义可知D的面积为1，画出草图可知选项A、B、D所给区域面积均为2，选项C所给区域的面积为1

二、 填空题：

1、微分方程满足条件的解是（ ）

2、微分方程的通解是（ ）

解：，于是

8、设，则dz=( )

4、交换二次积分的次序为（）

5、已知，则（ -9 ），与的夹角为（ ）

6、二元函数的定义域是（ ）。

三、计算题

1、求级数的收敛域，并求和函数。

解：

当即时收敛，当即时发散

当x=1时，原级数为发散，当x= —1时，原级数为发散

所收敛域为（—1，1）

令，则S（0）=0

2、将函数展开成x的幂级数。

参考答案：

解：

从而

3、级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

参考答案：

解：因，而发散，故发散。

因此原级数不是绝对收敛，

显然，，且，

故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。

4、 已知，，求在上的投影。

参考答案：

5、设，而， 求。

参考答案：

6、。

参考答案：

所求全微分

7、设，求

参考答案：

8、求的极值

参考答案：

解：由

又

对于（0，0）点，，故（0，0）不是极值点

对于（1，1）点，，且A>0，

所以（1，1）为极小值点，且极小值Z=—1

9、求，D是由所围成的区域

参考答案：

解：

10、计算二重积分，其中D是由所围成的第一象限的闭区域。

参考答案：

积分区域：D

11、欲围一个面积为62平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元。其余三面每米造价5元，求场地长、宽各为多少米时，所和材料费最少

参考答案：

解：设矩形场地正面长为x米，侧面宽为y米

即求函数S=10x+5(x+2y)=15x+10y在xy=60的条件下的最小值

令

则

所以当长为米，宽为米时所需材料费最少

12、求，D是由抛物线和直线围成的区域

参考答案：

解：