八年级数学下学期四边形知识要点以及典型例题

1.平行四边形的性质以及判定

性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等.

2）平行四边形对角相等，邻角互补.

3）平行四边形对角线互相平分.

4）平行四边形是中心对称图形.

判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。如：“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定理使用.

2.N边形以及四边形

性质：1）N边形的内角和为 ，外角和为 ，对角线条数为 .

2）四边形的内角和为 ，外角和为 ，对角线条数为 .

正多边形的定义：各条边都相等且各内角都相等的多边形叫正多边形.

正多边形能镶嵌平面的条件：1）单一正多边形

2）多种正多边形

结论：

3.中心对称图形

1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形

定义：如果一个图形绕一个点旋转180度后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心。

2）经过对称中心的直线一定把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段一定经过对称中心且被对称中心平分.

性质：对称中心平分连结两个对称点的线段。

中心对称的两个图形成全等形。

4.三角形的中位线以及中位线定理

关注：三角形中位线定理的证明方法以及中位线定理的应用，这是重点.

三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。

5.矩形的性质以及判定

性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质.

2）矩形的四个角都是直角.

3）矩形的对角线相等.

判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2）有三个角是直角的四边形是矩形.

3）对角线相等的平行四边形是矩形.

注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

6.菱形的性质以及判定

性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.

2）菱形的四条边都相等.

3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.

4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）

判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2）四条边都相等的四边形是菱形.

注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.

7.正方形的性质以及判定

性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.

判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.

2）矩形+有一组邻边相等

3）菱形+有一个角是直角

注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用.

8.梯形

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等.

等腰梯形的判定：1）定义

2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形.

3）对角线相等的梯形是等腰梯形.（其证明的方法务必掌握）

关注：梯形中常见的几种辅助线的画法.

补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.

典型例题：

1、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD点E、F为垂足，∠EAF=30°，AE=3cm，AF=2cm，求平行四边形ABCD的周长.

2、如图，已知：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形.

3、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC和∠ADC=，E、F分别是对角线AC、BD的中点。求证：EF⊥BD

4、某地有四个村庄A、B、C、D，它们正好位于一个正方形的四个顶点，正方形边长为a米。计划在四个村庄联合架设一条电话线路，按照如下方案设计，如图中实线部分，求出所需电线长？

5、如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，DE⊥BC于E，试求DE的长．

6、如图，已知四边形ACBD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是矩形．

7、如图，在等腰梯形ABCD中， M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别为BM、CM的中点。

（1）求证：四边形MENF是菱形；

（2）若四边形MENF是正方形，梯形ABCD的高与底边BC有何关系？

8、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。

9、已知：梯形ABCD中，AB∥CD，E为DA的中点，且BC=DC+AB.

求证：BE⊥EC。

10、如图，梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1） 设从出发起运动了x秒，且x﹥2.5时，Q点的坐标；

（2） 当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？

（3） 四边形OPQC能否成为等腰梯形？说明理由。

（4） 设四边形OPQC的面积为y,求出当 x﹥2.5时y与x的函数关系式；并求出y的最大值；

11、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD（对角线），再折叠使AD边落在对角线BD上，得折痕DG。若DC＝2，BC＝1，求AG的长。

12、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，将矩形纸片如图折叠，使点B与点D重合，折痕为GH，求GH的长。