四格表卡方检验

2*2列联表又称为四格表，该表的自由度为(2-1)*(2-1)=1。因为频数属于离散型数据，而卡方分布属于连续型概率分布，因此卡方检验中用的卡方统计量只能说是近似服从卡方分布，根据下方的卡方分布曲线，可以知道当自由度小于2时，卡方分布曲线呈现L型，与其它自由度的卡方分布曲线有很大差异，因此四格表的卡方检验需要单独拿出来讲，其分析结果与其它类型（R*2、2*C、R*C）的卡方检验有明显不同。

用SPSS输出一个四格表的卡方检验结果，可以发现，与其它类型的卡方检验相比，它的分析结果多了两个：连续型修正和Fisher确切概率。Pearson卡方值就是用上一篇介绍的卡方统计量计算的卡方值，而连续性修正和Fisher确切概率检验则需要根据表格内的频数情况进行选择。假设总频数为n，单元格内的期望频数为E，那么选择规则如下：

#当n大于等于40，且E大于5时，看Pearson卡方值即可；

#当n大于等于40，且E小于5且大于1时，选择连续性修正值；

#当n小于40，或E小于1时，选择Fisher确切概率检验结果；

以上这三个检验结果之间的区别和联系是什么呢？请看下面的内容。

Pearson卡方

卡方检验最基本的就是Pearson卡方，它的计算公式大家都非常熟悉：

当总频数n大于等于40，且所有单元格内的期望频数E都大于等于5时，2*2四格表的卡方检验结果直接选择Pearson卡方值作为检验结果即可。但是，如果最终的Pearson卡方检验的检验概率值p与显著性水平α（0.1、0.05、0.01）非常接近时，应该选择Fisher精确检验值作为检验结果。

连续性修正

对于总频数n>=40，但单元格中有期望频数1≤E<5时，2*2四格表的卡方检验结果应该选择连续型修正的结果，进行修正的原因上面已经解释，这是由卡方检验原理及卡方分布性质决定的。连续型修正公式如下：

当然，这种频数情况也可以直接选择Fisher精确检验结果作为最终结果。

Fisher精确检验

当2*2四格表中，有单元格的期望频数E<1，或总频数n<40时，直接用Pearson卡方值作为检验结果就不够准确和灵敏了。【原因其实很好理解，样本总频数n小于40，频数分布结果有很大的可能性不具有代表性；单元格内的期望频数小于1，这有可能是由于样本频数数据不够多而导致的小概率事件，并没有反应总体的频数分布情况。】

Fisher精确检验能够解决上面这个问题。Fisher精确检验的理论分布不是卡方分布，而是超几何分布（可以到统计基础导航页找到相应文章回顾），是一种直接计算事件发生概率的检验方法。Fisher精确检验的分析逻辑是在四格表周边合计频数不变的条件下，利用超几何分布概率公式直接计算比实际频数分布情况更为极端情形发生的概率，下面用一个生活案例来说明Fisher精确检验的分析逻辑和过程。

为了解某新药联合常规药物治疗疾病的效果，将28例情况相似的患者随机分成两组：实验组采用新药+常规药物的治疗方案；对照组仅采用常规药物治疗；治疗10天后，根据疗效对28名患者进行分组，数据整理如下表：

可以发现，总频数只有28，而期望频数（括号内数据）小于5的单元格有两个，应该用Fisher精确检验来考察实验组和对照组在有效率上是否有显著性差异。

因为考察的是比实际频数分布更极端的情况，所以只对“无效”下方的两个单元格频数进行变化。在保持行和列合计频数不变的条件下，可以列出上面七种频数分布情况。用超几何分布的公式计算每种情况的发生概率，以前4种情况为例介绍结算过程：（忽略不计）

将所有7种情况的概率相加，得到Fisher精确检验的双侧检验的概率值：

如果是单侧检验，检验的目的是证明实验组比对照组的有效率更好，那么只需将实验组好于对照组的情况概率相加，其概率值为：

无论是双侧还是单侧概率，Fisher精确检验的概率值都大于0.05，可以说明实验组和对照组的有效率是不一致的，且实验组的有效率优于对照组。

下面，我们用卡方检验的基本公式和连续性修正公式对上述案例的频数数据进行计算，计算出上面案例的Pearson卡方值和连续性修正值

案例分析

将上面案例的数据输入到SPSS软件中计算，比较软件计算结果和手动计算结果，看看两者是否一致，选择菜单【分析】-【描述统计】-【交叉表】，将数据分组变量选为行变量，将疗效变量选为列变量，点击【统计】按钮，将卡方选中

结果解释：

下表是SPSS的卡方检验结果。可以发现，皮尔逊卡方值、连续性修正值和Fisher精确检验结果与上方手动计算的结果完全相同。可以发现三者的显著性都大于0.05，说明实验组和对照组的治疗效果是没有显著性差异的。

由此可见，多数情况下，皮尔逊卡方、连续性修正和Fisher精确检验的结果是相同的，这样的情况没有问题。如果三者的最终检验结果不同，那么应该根据上面介绍的选择条件选择合适的检验结果作为最终结果。本案例中，因为总频数小于40，而且有两个单元格的期望频数小于5，所以应该以Fisher精确检验的结果为准。

两定类变量的R*C行列表

两个定类型变量，水平数都大于2，那么对它们进行卡方检验的目的往往是两个分类型变量的相关性分析，以及它们之间的相关强度如何。血型分类最常见的“ABO血型系统”，除此之外，还有现在比较规范的“RH血型系统”，最后就是“MN血型系统”。现在对某地的5801人进行血型检验，结果如下表，看看两种血型系统之间是否有相关性，如下。

单个定序变量的R*C行列表

如果两个分类变量中，只有一个是存在等级次序关系的定序变量，那么称这种情况为单个定序型变量的R*C卡方检验。分两种情况。

①如果定序型变量用作分组变量，那么卡方检验的目的就是分析不同分组之间构成比是否存在显著性差异，此时直接使用卡方检验基本公式即可

②定序型变量为指标变量，而定类型变量用于分组，那么应该用秩和检验更为合适。例如下面这个案例，不同的药物类型用于分组，而不同的疗效等级用作指标。

①

②

两个定序变量的R*C行列表

这个情况的卡方检验，根据研究目的不同，两个定序变量的R*C列联表数据应该采用不同的分析方法。

∙ 如果研究的是不同年龄段的眼球晶状体浑浊度是否存在差异，应该采用秩和检验。

∙ 如果分析的是年龄与浑浊度之间是否有相关性，那么应该使用皮尔森Pearson、肯达尔或斯皮尔曼（Spearman）相关分析，也就是将这些数据作为定距型或定序型数据处理。

∙ 如果分析的目的是两个定序型变量间是否存在线性相关趋势，那么应该使用线性趋势检验。这部分内容将在后面推送。

总结一下

2*2四格表，因为其特殊的结构和卡方分布的性质，所以SPSS的检验结果中会增加连续性修正和Fisher精确检验这两个校正项，大家需要根据实际数据的频数分布情况对它们进行选择。如果皮尔逊卡方、连续性修正和Fisher精确检验的结果一致，那么选择哪个结果都可以。但是，如果三种检验结果不同，那么需要按照前面介绍的条件进行选择，否则会得到错误的分析结论。对于四格表数据，如果分析因子（例如不同疗法）对事件（例如不同效果）的相关性，可以使用优势比OR值表示因子对事件的影响程度。

如果在2*2四格表卡方检验中，其中一个分类变量是分组变量，另一个分类变量的两个水平为互斥水平（有效和无效、阳性和阴性），那么可以计算两个组的优势比OR值，

卡方检验适用于分类变量的频数分析。对于包含两个水平的两分类变量（例如男女），因为不涉及类别递增或递减信息，所以定类型和定序型的变量的卡方检验过程基本类似，这也是草堂君将2*2四格表的内容单独拿出来讲的原因。对于多分类变量的卡方检验，区分到底是定类型分类变量还是定序型分类变量是非常必要的，因为定序型分类变量（例如：大一、大二、大三和大四）包含了水平间的递增或递减信息，如果依旧按照传统的卡方检验进行，这部分递进信息就会丧失，对于分析者来说是非常可惜的。因此，多分类变量的卡方检验，需要区分的情况是更多更复杂的。卡方检验根据涉及变量的不同，可以分为单个分类变量的拟合优度检验和两个分类变量的卡方检验。拟合优度检验主要用于分析某个分类变量的频数分布是否服从某种概率分布形态；两个分类变量的卡方检验，根据分析目的的不同可以分为比率差异检验和构成比差异检验等等。下面介绍的就是两个多分类变量的卡方检验，称为行列表卡方检验，注意与2*2四格表卡方检验区分开来。

非参数方法：卡方检验的运用

非参数方法不是关于总体参数的估计和假设，而是通过样本信息来检验未知总体是否为某一种分布（正态分布，均匀分布或任意分布）。

非参数方法原理

非参数方法是通过对比样本的频数与期望频数（目标分布的频数）的差距来判断抽取样本的总体分布是否为目标分布。

非参数方法主要有两种：卡方检验和秩次检验。

在非参数方法：卡方检验的运用中已经介绍卡方检验的原理：通过卡方统计量来对比样本频率分布与某已知分布的频率分布，检验两者差异情况，决定是否接受样本分布等于已知分布。卡方分布能够用于各种分布的检验