“数字黑洞”及其简易证明
时间:2012-10-24 下载该word文档
“数字黑洞”及其简易证明近年来,在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问题。这类问题既有趣、又神秘,还很怪异,往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙,如何的乖巧,却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明,但一般也用到了较高深的数论知识,非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究,对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明,目的是想让更多的读者不光“知其然”,而且“知其所以然”.通过这些简易的证明,足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在,并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面,笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明. 问题1:(2003年青岛市中考数学试题) 探究数字“黑洞”:“黑洞”原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再“爬”出来.无独有偶,数字中也有类似的“黑洞”,满足某种条件的所有数,通过一种运算,都能被它“吸”进去,无一能逃脱它的魔掌.譬如:任意找一个3的倍数的数,先把这个数的每一个数位上的数字都立方,再相加,得到一个新数,然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和,„,重复运算下去,就能得到一个固定的数T= ,我们称它为数字“黑洞”.T为何具有如此魔力?通过认真的观察、分析,你一定能发现它的奥秘!
分析:如果我们先取18,首先我们得到1383513,然后是531333153,F接下去又是153,于是就陷在“153153” (F代表上述的变换规则,下同)这个循环中了。 再举个例子,最开始的数取756,我们得到下面的序列:7566847921080513153
FFFFFF这次复杂了一点,但是我们最终还是陷在“153153”这个循环中。随便取一个其他的3的倍数的数,对它进行这一系列的变换,或迟或早,你总会掉到F“153153”这个“死循环”中,或者说,你总会得到153.于是我们可以猜想“黑洞”T=153. 现在要讨论的问题是:是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢?
西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21章.其中写道:耶稣对他们说:“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼,共一百五十三条;鱼虽这样多,网却没有破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈,对此作出了证明.《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨. 以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是:
1. 设nx1x2xk,当k5时,有FnFx1x2xkF99993k<103k 又由指数函数的性质(上高中时会学到),可得,k<10k4,
8 页 第 1 页
共
所以 103k<10310k410k