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第３Ｏ卷第４期 ２０１３年７月 计 算 物 理 Ｖｏ１．３０．Ｎｏ．４ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｃ０ＭＰＵＴＡＴＩＯＮＡＬ ＰＨＹＳＩ ＣＳ Ｊｕｌ ｙ，２０１３ 文章编号：１００１—２４６Ｘ（２０１３）０４－０４９１－ １０ 时间分数阶亚扩散方程的高阶差分方法 曾凡海， 李常品 （上海大学理学院数学系，上海 ２００４４４） 摘要：提出两差分格式求解时间分数阶亚扩散方程．两个格式都是绝对稳定的，收敛阶均为Ｏ（ｒ ＋ｈ ），其中ｑ （ｇ＝２一卢或２）与方程解的光滑性有关，卢（０＜／３＜１）是分数阶导数的阶、ｆ和ｈ分别是时间和空间方向步长．数值 实验验证了理论结果的正确性，并与其他方法进行比较，显示了本文方法的有效性和精确性． 关键词：亚扩散方程；分数阶线性多步法；高阶方法；稳定性；收敛性 中图分类号：０２４１．８２ 文献标识码：Ａ Ｏ 引言 分数阶微积分（包括分数阶积分和导数）正成为一个热门，现已发现它在科学和工程的各个领域都有着 较为广泛的应用，如物理，材料，控制和生物等¨Ｉ５ ．在物理领域，分数阶导数常用来模拟异常流（包括亚扩散 和超扩散，亚扩散又称为次扩散），其粒子扩散不同于经典的布朗运动． 目前，求解分数阶微分方程的解析方法有Ｆｏｕｒｉｅｒ变换方法，Ｌａｐｌａｃｅ变换方法，Ｍｅｌｌｉ ｎ变换方法以及 Ｇｒｅｅｎ函数方法等 ．对于大多数分数阶微分方程而言，这些解析方法显得无能为力．因此，发展数值方法显 得尤为必要和实用．和整数阶微分方程求解方法类似，分数阶微分方程的求解方法也有差分方法 ，有限 元方法 和谱方法 等．差分方法仍然是求解分数阶微分方程的主要工具，而在高阶稳定的方法方面却存 在一些空白．本文的目的是构造高阶精度的方法（收敛阶大于１，甚至可以达到２阶）求解时间分数阶亚扩散 方程． 考虑如下形式的时间分数阶亚扩散方程 川 ｒ ｃＤ ． （ ， ）＝ ａ ２ｕ＋／．（ ，ｔ）， （ ，ｔ）∈，×（０，Ｔ），Ｔ＞０，０＜卢＜１， ｛ （ ，０）＝ 。（ ）， 【Ｍ（ａ，ｔ）＝ｕ（ｂ，￡）＝０， ∈， （ ，ｔ）∈ＯＩ×（０，Ｔ）， （１） 其中 ＞０，，＝（ｏ，６），ａ ＝ Ｄ ｃ ，ｚ＝１，２，…， Ｄ ， 是卢阶Ｃａｐｕｔ ｏ分数阶导数算子，其定义 一 ， ｕ（ ，￡）＝Ｄｏ ， ’［Ｏｔｕ（ｘ，ｔ）］ ｊｌ（ —ｓ）一 Ｏ，Ｕ（ ，ｓ）ｄｓ， （２） 其中Ｄ 是分数阶积分（或者Ｒｉｅｍａｎｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌ ｅ积分）算子，其定义为 Ｄｏ￣ｆ（ ） Ｄｏｆｆ（ｔ） 义为 ｎ Ｊ０（ｆ—ｓ） ｓ） （３） 另外一种常用的分数阶导数为Ｒｉｅｍａｎｎ．Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ导数，对于０＜卢＜１，（１一ＪＢ）阶Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌ ｅ导算子定 Ｄ ｕ（ ） ［Ｄ ｕ（ ）］ （ （ ） 目前，已经有一些方法数值模拟形如式（１）亚扩散方程．时间分数阶导数常用的离散格式是Ｌ１方法，具 收稿日期： ２０１２—１１—１２；修回日期：２０１３—０ｌ一２６ 基金项目： 上海市教委科研创新重点项目（１２ＺＺ０８４）资助 作者简介： 曾凡海（１９８２一），男，博士生．研究方向：分数阶微分方程数值计算，Ｅ－ｍａｉｌ：ｆａｎｈａｉ ｚ＠ｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 李常品（１９６８一），男，博士，教授．研究方向为分数阶微分方程数值计算、分数阶动力学，Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｃｐ＠ｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ ｝通讯作者：
计 算 物 理 第３Ｏ卷 有（２一／３）阶收敛率，空间方向常用中心差分或者紧致差分格式离散，可参考文［６，１１］． 本文使用两种方法离散时间分数阶导数，空间方向使用标准的中心差分方法离散，从而构造出两个差分 格式，时间方向至少具有（２一口）阶精度．本文给出严格的理论证明，理论分析表明，本文提出的两个差分格 式都是无条件稳定的，空间方向具有２阶精度，时间方向收敛阶为ｑ．ｑ依赖于解的光滑性．如果方程的解足 够光滑，时间方向的收敛阶为（２一／３）或２．本文给出充分的数值算例，验证方法的有效性，并与其他方法做比 较，显示本文方法的高精确性． 本文第一节提出方程（１）的两种差分格式，第二节给出两种差分格式的稳定性和收敛性分析，第三节给 出充分的数值算例，最后进行总结． １ 差分格式构造 设ｎ 和Ⅳ为两个正整数，ｆ是时间方向步长，｛ｔ ｝： 。是区间［０，Ｔ］的一个等距划分，即ｔ ＝ｋｒ，ｒ＝Ｔ／ｎ ． 设ｈ为空间方向步长，满足ｈ＝（ｂ—ａ）／Ｎ．空间方向网格点记为 ，其中 ＝ａ＋ｉｈ，ｉ＝０，１，…，Ⅳ．对于ｕ（ ， ｔ）∈ｃ（［０，Ｔ］；，），记ｕ“＝“ （・）＝ｕ（・，ｔ ）．为简单起见，我们还引入下面记号： ＝ ， ＝ ＝ ｕ ： ｕ ， （４） Ｄ ““＝专【∑ 一６ “。】， Ｄ ｕ ＝ ∑ ““＝（１／２） ∑∞ （一１） “ ， －－ －？］， （５） （６） “ ＝（１／２） ∑ （一１） ｕ ：（１一／３／２） ＋譬ｕ ， 其中 和ｂ 定义如下 一 ㈠ ｎ ｕ ：（１一／３／２）“ ＋譬 ？～， ， （７） ㈩ ＝ ＝ ‰． ｆ １０） 引理１．１ ｎ 设｛∞ ｝由式（８）定义．那么 ∞。＝１，∞ ＜０，Ｉ∞ ＋ Ｉ＜Ｉ ｌ， 。＝一∑∞ ＞一∑∞ ＞０，ｎ＝１，２，…； 。＝ ＝ ＝ ＋。（ｒｔ－１－ ０ ２，…； 一 进一步有，ｂ 一ｂ 一ｌ＝∞ ＜０，／７，＞０，即：ｂ ＜ｂ 一ｌ，ｎ＞０． １．１ 时间方向离散 Ｌｕｂｉｃｈ¨ 提出了分数阶线性多步法（ＦＬＭＭ）离散Ｊ Ｂ阶分数阶积分，其方法如下 Ｄｉ ｕ（￡）１ ： ＝ｒ ∑∞： “（ｔｋ）＋ｆ ∑∞ （０， ）／Ｚ ｚ、ｔｋ）＋０（ｈｅ）， 其中｛ ｝可以是如下生成函数的Ｔａｙｌ ｏｒ展开式的系数 ‘卢’（ ） ＝［ ０＋ｙ１（１一 ）＋ ２（１一 ） ＋…＋ｙ。１］／（１一 ）卢， ｌ （１一ｚ）ｐＩ 一 （１１） （１２） （１３） ∞ ‘ （ ）＝（１＋ｚ） ／（２（１一Ｚ）） ， ｛ ｝是开始系数，其考虑了函数 （ｔ）在初始点的渐进展开性质¨ ， 使得分数阶线性多步法式（１１）具有Ｐ 阶收敛率．分数阶线性多步法式（１１）中的参数ｓ与本文最终构造的格式无关，因此这里不给出与ｓ有关的具 体细节，可参考文［１３—１４］．式（１２）的｛ｙ ｝满足如下关系式 （：＿