2019年河南省顶级名校高考数学全真模拟试卷（理科）（4月份）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数z满足＝i，则|z|＝（　　）

A． B． C． D．

2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜m}，A∩B＝A，则实数m的取值范围为（　　）

A．（2，+∞） B．（﹣1，2） C．[2，+∞） D．（﹣1，2]

3．（5分）已知正项数列{an}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1＝2，a2＝1，a3+a4＝8，a5+a6＝17，则a7+a8＝（　　）

A．33 B．34 C．38 D．35

4．（5分）如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（　　）

A．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天

B．这15天日平均温度的极差为15℃

C．由折线图能预测16日温度要低于19℃

D．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数

5．（5分）函数y＝cos（x+）+sin2x的最大值为（　　）

A． B．0 C． D．

6．（5分）已知函数f（x）满足，f（﹣x）＝f（x），且当x≤0时，f（x）＝﹣x3+ln（1﹣x），设a＝f（（0.2）﹣0.2），b＝f（﹣log52），c＝f（3﹣0.5），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b

7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．2 B．3 C． D．9

8．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），过点P（0，﹣）作抛物线C的两条切线PA，PB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线C的焦点，则抛物线C的方程为（　　）

A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y

9．（5分）河南新高考方案即将实施，两名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中各选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则这两名同学所选科目恰有一门相同的概率为（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）已知函数f（x）＝log2x+1的定义域为[1，2]，g（x）＝f2（x）+f（x2）+m，若存在实数a，b，c∈{y|y＝g（x）}，使得a+b＜c，则实数m的取值范围是（　　）

A．m B．m＜2 C．m＜3 D．m

11．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线＝1（m＞0，n＞0）的一条渐近线与椭圆交于点P，且满足PF1⊥PF2，已知椭圆的离心率e1＝，则双曲线的离心率e2＝（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数f（x）＝e2x﹣ex﹣ax有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（　　）

A．（﹣∞，0] B．[0，+∞）

C．（0，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0]∪{l}

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知实数x，y满足则x2+y2+2y的取值范圈为　 　．

14．（5分）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足++2＝0，＝λ+μ，则λ+μ＝　 　．

15．（5分）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为　 　．

16．（5分）数列{an}中，a1＝，an+1＝（n∈N*），若不等式++（﹣1）nλan≥0恒成立，则实数λ的取值范围为　 　．

解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～2l题为中考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）在△ABC中，2sinCcosA+sin（A﹣C）﹣cos（A+C）＝．

（1）求角B的大小；

（2）设∠BAC的角平分线AD交BC于D，AD＝3，BD＝2，求cosC的值．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD为正三角形，CD＝CB，∠BCD＝120°，M为线段PA的中点．

（1）求证：DM∥平面PBC；

（2）若AB＝PB＝PD＝2，PA＝，求直线DM与平面PAB所成角的正弦值．

19．（12分）微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：

（1）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；

（2）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取3人，求至少2人步数多于1.2万步的概率；

（3）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取2人，其中每日走路不超过0.8万步的有X人，超过1.2万步的有Y人，设ξ＝|X﹣Y|，求ξ的分布列及数学期望．

20．（12分）已知长为3的线段AB的两端点A，B分别在x轴和y轴上移动．＝2．

（1）求点M的轨迹G的方程．

（2）过Q（0，1）作互相垂直的两条直线分别与轨迹G交于A，B和C，D，设AB中点为R，CD中点为S，试探究直线RS是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+e，

（1）若f（x）≥ax恒成立，求实数a的最大值；

（2）设函数F（x）＝ex﹣1f（x）﹣x2﹣2x+1，求证：F（x）＞0．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝．

（1）求曲线C的直角坐标方程：

（2）设点M的坐标为（1，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|．

（1）解不等式f（x）≥4；

（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且a+2b+3c＝2m，求a2+b2+c2的最小值．

2019年河南省顶级名校高考数学全真模拟试卷（理科）（4月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．【解答】解：由＝i，得5﹣3z＝zi+i，

解得z＝，

所以|z|＝＝＝．

故选：B．

2．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；

∵A∩B＝A；

∴A⊆B；

∴m≥2；

∴m的取值范围为[2，+∞）．

故选：C．

3．【解答】解：正项数列{an}的奇数项依次成公差为d的等差数列，偶数项依次成公比为q的等比数列，

且a1＝2，a2＝1，a3+a4＝8，a5+a6＝17，

可得2+d+q＝8，2+2d+q2＝17，

解得d＝q＝3，

则a7+a8＝2+3d+q3＝2+9+27＝38．

故选：C．

4．【解答】解：A选项，日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小，7，8，9三日的日平均温度的波动最大，故日平均温度的方差最大，正确；

B选项，这15天日平均温度的极差为18℃，B错；

C选项，由折线图无法预测16日温度要是否低于19℃，故C错误；

D选项，由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数，故D错误．

故选：A．

5．【解答】解：∵y＝cos（x+）+sin2x

＝cos（x+）+sin[（2x+）﹣]

＝cos（x+）﹣cos（2x+）

＝cos（x+）﹣2cos2（x+）+1

令t＝cos（x+）∈[﹣1，1]，

∴可得：y＝t﹣2t2+1＝﹣2（t﹣）2，

∴可得当t＝时，y＝t﹣2t2+1＝﹣2（t﹣）2的最大值为．

故选：A．

6．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，则f（﹣log52）＝f（log52），

当x≤0时，f（x）＝﹣x3+ln（1﹣x），分析易得f（x）为减函数，则f（x）在[0，+∞）上为增函数；

又由log52＜log5＝＜3﹣0.5＝＜1＝（0.2）0＜（0.2）﹣0.2，

则有b＜c＜a；

故选：B．

7．【解答】解：根据几何体得三视图，

转换为几何体为四面体A﹣BCD：

根据网格的长度，求出BD＝3，BC＝3，CD＝3，

过A点作AE⊥EC，

即：AE⊥平面BCD，

由于，

解得：，

故：，

故选：B．

8．【解答】解：根据抛物线的对称性可知A，B关于y轴对称，则A，B的纵坐标与抛物线焦点的纵坐标相同，

∴A（﹣p，），B（p，）．y＝，

又∵切线的斜率与曲线在切点处的导数相等，

解得p＝1．则抛物线C的方程为x2＝2y．

故选：C．

9．【解答】解：两名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中各选取三门功课作为自己的选考科目，

假设每门功课被选到的概率相等，

基本事件总数n＝＝400，

这两名同学所选科目恰有一门相同包含的基本事件个数m＝＝180，

∴这两名同学所选科目恰有一门相同的概率为p＝＝．

故选：C．

10．【解答】解：f（x）的定义域为[1，2]，

由，解得1≤x≤；

∴g（x）＝f2（x）+f（x2）+m的定义域为[1，]．

g（x）＝f2（x）+f（x2）+m＝+1+log2x2+m＝+4log2x+2+m．

令log2x＝t，∵x∈[1，]，∴t∈[0，]，

则h（t）＝t2+4t+2+m＝（t+2）2+m﹣2，

当t∈[0，]时为增函数，

∴h（t）min＝h（0）＝2+m，h（t）max＝h（）＝+m．

∵存在实数a，b，c∈{y|y＝g（x）}，使得a+b＜c，

∴2h（t）min＜h（t）max，即4+2m＜+m．

解得：m＜．

故选：D．

11．【解答】解：双曲线＝1（m＞0，n＞0）的一条渐近线设为y＝x，

联立椭圆方程可得x2＝，y2＝，

由PF1⊥PF2，可得|OP|＝c，

即+＝c2，①

由e1＝，即＝，

设a＝7t，c＝5t，b＝2t（t＞0），

代入①可得7n＝24m，

则双曲线的离心率为＝＝．

故选：A．

12．【解答】解：∵f（0）＝1﹣1﹣0＝0，

∴0是函数f（x）的一个零点．

x≠0时，可得：＝，

令g（x）＝，h（x）＝，

g′（x）＝，

令u（x）＝xex﹣ex+1，u′（x）＝xex．

可得函数u（x）在x＝0时取得极小值即最小值，

∴u（x）≥u（0）＝0．

∴g′（x）＞0（x≠0）．

∴函数g（x）在（﹣∞，0），及（0，+∞）上单调递增．

x→﹣∞时，g（x）→0．

h（x）＝，a≤0时，函数g（x）与h（x）无交点．

a＝1时，函数h（x）＝，经过（0，1），与函数g（x）的图象无交点，满足条件．

a＞0，且a≠1时，函数h（x）与函数g（x）的图象有交点，不满足条件，舍去．

综上可得：实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．

故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【解答】解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如

图所示；

则z＝x2+y2+2y＝x2+（y+1）2﹣1的几何意义是点P（0，﹣1）

与区域内点的距离的平方减1，

由，求得点A（0，2），

且|AP|2＝02+（2+1）2＝9，z＝x2+y2+2y＝8，

点P到x﹣2y+1＝0的距离的平方为：d2＝＝；

z＝x2+y2+2y＝，

所以则x2+y2+2y的取值范圈是[，8]．

故答案为：[，8]．

14．【解答】解：∵++2＝0，

∴∴++2（）＝0，

∴++2（）＝0，

∴++2（）＝0，

∴3﹣+2＝0，

∴＝，

∵＝λ+μ，

则λ+μ＝＝﹣1

故答案为：﹣1

15．【解答】解：显然正四面体的棱长为12，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为O．

如图：BC＝12，则BG＝BG＝×12＝6，BF＝BG＝×6＝4，

∴AF＝＝＝4，设OA＝OB＝R，则OF＝AF﹣R＝4﹣R，

在直角三角形OBF中，OB2＝BF2+OF2，即R2＝48+（4﹣R）2，解得R＝3，

∴在直角三角形AFB中cos∠BAF＝＝＝，

∴在三角形EAO中，cos∠EAO＝cos∠BAF＝，

由余弦定理得，OE2＝AE2+AO2﹣2×AE×AOcos∠EAO＝82+（3）2﹣2×8×（3）×＝22，

∴OE＝．

所以这个半正多面体的外接球的半径为．

故答案为：．

16．【解答】解：由an+1＝，得，

∴，

∴，

即数列{}构成以为首项，以1为公差的等差数列，

则．

∴．

由++（﹣1）nλan≥0恒成立，得，

当n为偶数时λ≥，则λ≥﹣9；

当n为奇数时，λ≤，则λ≤．

∴实数λ的取值范围为[﹣9，]．

故答案为：[﹣9，]．

解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～2l题为中考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵2sinCcosA+sin（A﹣C）﹣cos（A+C）＝，

∴2sinCcosA+sinAcosC﹣sinCcosA+cosB＝，…2分

可得：sinCcosA+sinAcosC+cosB＝，

可得：sinB+cosB＝，

∴2sin（B+）＝，可得：sin（B+）＝，…4分

又∵B+∈（，），

∴B+＝，可得B＝．…6分

（2）在△ABD中，由正弦定理可得：，

所以sin∠BAD＝，cos∠BAD＝，…8分

sin∠BAC＝2×＝，cos∠BAC＝2×﹣1＝，…10分

所以cosC＝cos（﹣∠BAC）＝（﹣）×＝．…12分

18．【解答】证明：（1）取AB的中点N，连结MN，DN，则MN∥PB，

又CD＝CB，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BC⊥AB，

又DN⊥AB，∴BC∥DN，

又MN∩DN＝N，PB∩BC＝B，

∴平面DMN∥平面PBC，

又DM⊂平面PBC，∴DM∥平面PBC．

解：（2）连结AC，AC∩BD＝O，则O为BD中点，

BD⊥AC，BD⊥PO，

又OA＝OP＝，PA＝，∴PO⊥AO，

又OA＝OP＝，PA＝，

∴PO⊥AO，

又AO∩PO＝O，∴PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

D（0，﹣1，0），A（，0，0），P（0，0，），B（0，1，0），M（，0，），

＝（），＝（＝），＝（﹣），

设平面PAB的法向量＝（x，y，z），

则，得＝（1，），

设直线DM与平面PAB所成角为θ，

则直线DM与平面PAB所成角的正弦值为：

sinθ＝|cos＜＞|＝＝．

19．【解答】解：（1）由频数分布作出频率分布直方图为：

（2）由题意知频数多于1.2万步的概率为，

设“至少2人步数多于1.2万步”为事件A，

则至少2人步数多于1.2万步的概率P（A）＝＝．

（3）由题意知步数不超过0.8万步的概率为，

频数多于1.2万步的概率为，

频数在0.8万步到1.2万步之间的概率是，

当X＝Y＝0或X＝Y＝1时，ξ＝0，P（ξ＝0）＝（）2+＝，

当X＝1，Y＝0，或X＝0，Y＝1时，ξ＝1，P（ξ＝1）＝＝，

当X＝2，Y＝0或X＝0，Y＝2时，ξ＝2，P（ξ＝2）＝（）2×2＝，

则ξ的分布列为：

E（ξ）＝＝．

20．【解答】解：（1）设M（x，y），由＝2，得A（3x，0），B（0，），

|AB|＝＝3，

整理得点M的轨迹G的方程为x2+＝1．

（2）若直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx+1，

与椭圆方程联立可得（4+k2）x2+2kx﹣3＝0，

显然△＞0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点R的坐标为（x0，y0），

∴x0＝＝﹣，y0＝kx0+1＝，

即R（﹣，），

同理可得S（，），

∴kRS＝＝，

直线RS的方程为y﹣＝•（x+），

整理可得y＝x+，

当直线AB的斜率不存在或为0时，直线RS即为y轴，也过点（0，），

综上，直线RS过定点（0，）．

21．【解答】解：（1）函数f（x）＝xlnx+e的定义域为（0，+∞），

f（x）≥ax恒成立⇔a≤，

令φ（x）＝，则φ′（x）＝，

可得φ（x）在（0，e）上递减，在（e，+∞）递增，

∴φ（x）min＝φ（e）＝2，

∴a≤2．故实数a的最大值为2；

（2）由（1）可知f（x）≥2x，只需证明2x≥．

令g（x）＝2x﹣，则＝．

令h（x）＝2ex﹣1+x2﹣3，h′（x）＝2ex﹣1+2x＞0在（0，+∞）恒成立．

注意到h（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，

x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

∴g（x）min＝g（1）＝0．

∴2x≥．当且仅当x＝1时取等号，

而f（x）≥2x，当且仅当x＝1时取等号，

∴F（x）＞0．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．【解答】解：（1）曲线ρ2＝，即3ρ2+ρ2sin2θ＝12，

由于ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y，所以3x2+4y2＝12，即+＝1．

（2）将代入3x2+4y2＝12中，得（3+sin2α）t2+6tcosα﹣9＝0，

△＝36cos2α+36（3+sin2α）＞0，设A，B对应的参数为t1，t2，

则t1+t2＝，t1t2＝＜0，

∴+＝＝＝＝＝＝＝＝，

所以+＝．

[选修4-5：不等式选讲]

23．【解答】解（1）当x≥2时，3x﹣3≥4，解得x，

当时，x+1≥4，无解，

当x时，﹣3x+3≥4，解得x≤﹣，

综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥}

（2）f（x）min＝f（）＝，∴m＝，∴a+2b+3c＝3，

由柯西不等式得（a2+b2+c2）（1+22+32）≥（a+2b+3c）2，

∴a2+b2+c2≥，

当且仅当a＝＝，即a＝，b＝，c＝时，等号成立．

∴a2+b2+c2的最小值为．