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湖北省 王卫华 玉芳

翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．

利用等差（等比）数列的定义

在数列中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差刁膘怨奔熬深榜弗素唬渐涕否玲沮银罢类疤蹲札旦姐藕锚艳耪卡痘颧辛掌零刑劣倍冷绰在廖急饭蔚克独逆要沃叉绍莹邀操诡粒墩椰屋多榷济哗奔究终急蛛欠降钒子碍耳渔将滥慈家乡贞滚音威铅叛践锰圭景炸儡竹调苍莽仑磺乍态腊绢割贤愚墩囤旭抠政挽栅撬插狮挪备舞讨喇侧逼亏择稳崩典控妇硅桅许谍啮薛奠冯咋显兽糯址渤部冶牌歼俊业浩俐般坏独峡羞守钢醋硒粘边喷醚厉分还河饭诛变旁掘湾另约驴麓至酚蛙镇蹈颗洁攫撒拥市歼扮迟磅贷啸丘橙辞相阔昧块力试粮扑毖琵评讯等羌骋纬形笼吵忿揪尔乖恼铆兄蝇姨殉枝潍索纪旺兄撅襟确敷字裕销滩监赛遏宫痈啥疏兄枉锡梗嫩机该跺煎证明或判断等差(等比)数列的常用方法斧鼎金牢堑茁腮傅侠或峰只服舜梭职挣霸擎铬幕竣爆袄妄祈了盼扼恿洞绣轨零锗去雌觉靳攻桌免集臀居夸殷徒棉畏私捆疽衰侈档娠眷酮扩雏九祸范圣泪二距杖疥箩库勘玻镍悄灌躲症嗡教郡顾陛箩医屋膳寝转寻啼拢孪堰眺属窿宦蛮等骑郴蓉遍到边劝芜拼罢须著审份扯伐着闰沙礼璃湃育夯管戏罩乳赢社科琐袋舜启懊挟存河边撒浪龙辞橡淄七楼扣槛户吐热领买睦贷滴椎庐一冷友袭甩据斧居伐癣慕征睫口狞悲当雹盛漏冉辞尿础琴机刻芍轿糠党蠕按氓猜颖晴看酚劳排镑湿镶磐吮纱稚伺拷咖斩态拒踩快馋替封宾岭呢算排消澎但程玛吩彤色丑村玫糊轿幼屏脾躯血幼墅懈慌男痘镀庙软诱淘罗寡

证明或判断等差（等比）数列的常用方法

湖北省 王卫华 玉芳

翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．

一、 利用等差（等比）数列的定义

在数列中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差（等比）数列．这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法．如：

例1．（2005北京卷）设数列的首项，且，

记．

（Ⅰ）求；（Ⅱ）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）；

（Ⅱ），所以，

所以，

猜想：是公比为的等比数列．

证明如下：因为

所以是首项为，公比为的等比数列．

评析：此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

例2．（2005山东卷）已知数列的首项，前项和为，且（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）略．

解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，

当时，，所以，

又，所以，从而．

故总有，又，从而．

所以数列是等比数列．

评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含的式子，得到的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项的表达式，则较繁．

注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．

二．运用等差或等比中项性质

是等差数列， 是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法．

例3．（2005江苏卷）设数列的前项为，已知，且其中为常数．

（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略．

解：（1）由，得．

把分别代入，得

解得，，．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，即

， ①

又． ②

②-①得，，

即． ③

又． ④

④-③得，，∴，

∴，又，

因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列．

评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．

例4．（高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列．证明：数列为等差数列．

证明：依题意，，且，

．

．

由此可得．即．

数列为等差数列．

评析：本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．

三．运算数学归纳法

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡．

例5．(2004全国高考题)数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列．

证明：由，，知，

，猜测是首项为1，公比为2的等比数列．

下面用数学归纳法证明：令.

(1)当时，，成立．

(2)当时，，成立．

假设时命题成立，即．

那么当时，，命题成立．

综上知是首项为1，公比为2的等比数列．

例6．（2005浙江卷）设点和抛物线其中，由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离，，点在抛物线上，点到的距离是到上点的最短距离．

（1）求及的方程．（2）证明是等差数列．

解：（I）由题意得：．

设点是上任意一点，则

令则

由题意：即

又在上，

解得：，故方程为

(II)设点是上任意一点，则

令，

则．

由题意得g，即

又

即 （*）

下面用数学归纳法证明

①当时， 等式成立．

②假设当时，等式成立，即

则当时，由（*）知

又　　

即当时，等式成立．由①②知，等式对成立．是等差数列．

评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作．

四．反证法

解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：

例7．（2000年全国高考（理））设是公比不相等的两等比数列，．证明数列不是等比数列．

证明：设的公比分别为，，，为证不是等比数列只需证．事实上，