微积分课后题答案习题详解

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a.

证：由，知，，当时，有

取，有，，设时（此时）有

由数列极限的定义得 .

2. 试利用不等式说明：若xn=a,则∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.

证：

而

于是，

即

由数列极限的定义得

考察数列 ，知不存在，而，，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) =0； (2) =0.

证：（1）因为

而且 ，，

所以由夹逼定理，得

.

（2）因为，而且，

所以，由夹逼定理得

4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.

(1) xn=，n=1,2,…；

(2) x1=,xn+1＝,n=1,2,….

证：（1）略。

（2）因为，不妨设，则

故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，

又 ，而,，

所以 即 ，

即数列是单调递增数列。

综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※. 证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

证：先证充分性：即证若，则.

由及知：

,当时，有，

当时，有。

取，则当或时，有，

而或就是，

于是，当时，有，

所以 .

再证必要性：即若，则,

由知，，当时，有，

由就是 或，于是，当或时，有.

所以

综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

2. (1) 利用极限的几何意义确定 (x2+a),和；

(2) 设f(x)= ，问常数a为何值时，f(x)存在.

解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.

当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.

（2）若存在，则，

由（1）知 ，

所以，当时，存在。

3. 利用极限的几何意义说明sinx不存在.

解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。

习题2-3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：

(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；

(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；

(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；

(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量；

(5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6) y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但xsinx≠∞；

(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量；

(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.

解：（1）错误，如第1题例1；

（2）正确，见教材§定理3；

（3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；

（4）正确，见教材§定理2；

（5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；

（6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；

（7）正确，见教材§定理5；

（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1) f(x)= ,x→2; (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；

(3) f(x)= ,x→0+，x→0-； (4) f(x)= -arctanx,x→+∞;

(5) f(x)= sinx,x→∞; (6) f(x)= ，x→∞.

解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。

（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；

当时，是无穷小量。

（3）从的图可以看出，，

所以，当时，是无穷大量；

当时，是无穷小量。

（4），

当时，是无穷小量。

（5）当时，是无穷小量，是有界函数，

是无穷小量。

（6）当时，是无穷小量，是有界变量，

是无穷小量。

习题2-4

1.若f(x)存在，g(x)不存在，问［f(x)±g(x)］, ［f(x)·g(x)］是否存在，为什么?

解：若f(x)存在，g(x)不存在，则

（1）［f(x)±g(x)］不存在。因为若［f(x)±g(x)］存在，则由或以及极限的运算法则可得g(x)，与题设矛盾。

（2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，则，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。

又如：，，则，不存在，而

［f(x)·g(x)］不存在。

2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明f(x)≥g(x).

证：设f(x)=A，g(x)=B，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有

令，则当时，有

从而，由的任意性推出即

.

3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，am为m个正常数，则

=A,

其中A=max{a1,a2,…，am}.

证：因为，即

而，，由夹逼定理得

.

4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝,x2=,…，xn+1=（n=1,2,…），则xn存在，并求该极限.

证：因为有

今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增。

又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。

设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.

5. 求下列极限：

(1) ； (2) ；

(3) ; (4) ；

(5) .

解：（1）原式=；

（2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：；

（3）

而，

；

（4）；

（5）.

6. 求下列极限：

(1) ； (2) ；

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) ;

(7) ; (8) ；

(9) ； (10) ；

(11) .

解：

（2）

（3）；

（4）；

（5）

；

（6）

；

（7）

；

（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）

；

（9）

；

（10）

（11）当时，是无穷小量，是有界函数，

它们之积是无穷小量，即。

习题2-5

求下列极限(其中a＞0,a≠1为常数）：

1. ; 2. ; 3. xcotx;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12.;

13. ; 14. ; .

解：1. ；

2.

；

3. ；

4.

；

5.

；

6. ；

7.

8.令，则，当时，，

.

9.

（利用了第8题结论）；

10.

；

11.

；

12.

；

13.令，则，当，，

；

14.令，则，当，，

.

习题2-6

1. 证明： 若当x→x0时，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，则当x→x０时，(x)～β(x)的充要条件是＝０.

证：先证充分性.

若＝０，则＝0,

即，即.

也即，所以当时，.

再证必要性：

若当时，，则，

所以＝＝.

综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是

＝０.

2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.

证：

即 .

3. 证明： 若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.

证: ∵当x→0时, f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)

∴

于是:

∴当x→0时, ,

∵

而当x→0时, ,

由前面所证的结论知, ,

所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.

4. 利用等价无穷小量求下列极限：

(1) (b≠0)； (2) ；

(3) ； (4) ；

(5) ； (6) (a≠b)；

(7) ； (8) 设＝100,求f(x).

解

(8)由,及知必有,

即 ,

所以 .

习题2-7

１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

(1) f(x)= (2) f(x)＝

解: (1)

∴ f(x)在x=0处右连续,

又

∴ f(x)在x=1处连续.

又

∴ f(x)在x=2处连续.

又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f(x)在[0,2]上连续.图形如下:

图2-1

(2)

∴ f(x)在x=1处连续.

又

故

∴ f(x)在x=-1处间断, x=-1是跳跃间断点.

又f(x)在显然连续.

综上所述函数f(x)在x=-1处间断,在上连续.图形如下:

图2-2

2. 说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同又有什么联系

略.

3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.

解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.

例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.

4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：

(1) f(x)= ； (2) f(x)＝；

(3) f(x)= ； (4) f(x)= ；

(5) f(x)= .

解: (1)由得x=-1, x=-2

∴ x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.

(2)由sinx=0得,k为整数.

∴ x=0是跳跃间断点.

(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.

∴ x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.

(5) 在x=0无定义

故x=0是f(x)的可去间断点.

5.适当选择a值，使函数f(x)= 在点x=0处连续.

解: ∵f(0)=a,

要f(x)在x=0处连续,必须.

即a=1.

6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.

解:

所以, f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.

7. 求下列极限：

(1) ； (2) ；

(3) ln(x-1); (4) arcsin；

(5) (lnx)x.

解:

习题2-8

1. 证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.

证: 令,则在[1,2]上连续,

且 ,

由零点存在定理知至少存在一点使得.

即 ,

即方程至少有一个介于1和2之间的根.

2. 证明方程ln（１＋ex）-2x=0至少有一个小于1的正根.

证: 令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,

且

由零点存在定理知至少存在一点使得.

即方程至少有一个小于1的正根.

3※. 设f(x)∈C（-∞，+∞），且f(x)=A, f(x)=B, A·B＜0，试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x0∈（－∞,＋∞），使得f(x0)＝０.

证: 由A·B<0知A与B异号,不防设A>0,B<0

由,及函数极限的保号性知,,使当,有

,使当时,有.

现取,则,

,则,且,

由题设知在上连续,由零点存在定理,至少存在一点使,

即至少存在一点使.

4.设多项式Pn(x)＝xn+a1+…+an.，利用第3题证明： 当n为奇数时，方程Pn(x)=0至少有一实根.

证:

,由极限的保号性知.

,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.