2018年陕西省宝鸡市高考三模试卷

（文科数学）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）（2015•宝鸡三模）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（　　）

　 A． {0，1} B． {0，1，2} C． {x|0≤x＜2} D． {x|0≤x≤2}

考点： 交集及其运算．

专题： 集合．

分析： 求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

解答： 解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，

解得：﹣2≤x≤2，即B=，

∵A={0，1}，

∴A∩B={0，1}．

故选：A．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2015•宝鸡三模）若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=（　　）

　 A． B． C． 2 D． 5

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．

专题： 平面向量及应用．

分析： 通过向量垂直数量积为0求出y，然后求解向量的模．

解答： 解：平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，

可得﹣2+2y=0，解得y=1，

||==．

故选：B．

点评： 本题考查向量的数量积的应用，向量垂直体积的应用，考查计算能力．

3．（5分）（2015•宝鸡三模）设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的（　　）

　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据充分必要条件的定义进行判断即可．

解答： 解：由a＜b＜0能推出ab＞b2，是充分条件，

由ab＞b2，推不出a＜b＜0，不是必要条件，

故选：A．

点评： 本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．

4．（5分）（2015•宝鸡三模）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（　　）

　 A． 20 B． 5 C． 4（+1） D． 4

考点： 简单空间图形的三视图．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案．

解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

其底面棱长为2，

高h=2，

故侧面的侧高为=，

故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，

故选：D

点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

5．（5分）（2015•宝鸡三模）若a＞1，则在同一坐标系中，函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=logax的图象可能是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据a＞1，把函数等价变形：y=a﹣x=为指数函数且为减函数，再利用y=logax为对数函数，即可得到答案．

解答： 解：当a＞1时，y=a﹣x=为指数函数且为减函数，y=logax为对数函数且为增函数，只有C符合，其它均不符合，

故选：C．

点评： 本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对数）函数单调性的关系是解答本题的关键．

6．（5分）（2015•宝鸡三模）阅读如图所示程序图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（　　）

　 A． S=2*i B． S=2*i﹣1 C． S=2*i﹣2 D． S=2*i+4

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．

解答： 解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*i时，

程序在运行过程中各变量的值如下表示：

i S 是否继续循环

循环前1 0/

第一圈 2 5 是

第二圈 3 6 是

第三圈 4 9 是

第四圈 5 10 否

故输出的i值为：5，符合题意．

故选：A．

点评： 本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果，属于基础题．

7．（5分）（2015•宝鸡三模）已知函数f（x）=，那么f（）的值为（　　）

　 A． ﹣ B． ﹣ C． D．

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由已知条件利用分段函数的性质得f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．

解答： 解：∵函数f（x）=，

∴f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．

故选：B．

点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．

8．（5分）（2015•宝鸡三模）在某新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　）

　 A． y=2x﹣1 B． log2x C． y= D． y=（）x

考点： 归纳推理．

专题： 函数的性质及应用；推理和证明．

分析： 由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，利用排除法可得出正确的答案．

解答： 解：由表格中的数据知，y随x的变化趋势，可得函数在（1，+∞）上是增函数，

且y的变化随x的增大越来越快，

∵A中函数是线性增加的函数，B中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；

∴排除A，B、D答案，

C中函数y=比较符合题意，

故选：C．

点评： 本题考查函数模型的选择与应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．

9．（5分）（2015•宝鸡三模）把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（　　）

　 A． 周期为π的奇函数 B． 周期为π的偶函数

　 C． 周期为2π的奇函数 D． 周期为2π的偶函数

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论．

解答： 解：把函数y=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象向右平移，得到函数f（x）=cos=cos（2x﹣）=sin2x 的图象，

由于f（x）是周期为π的奇函数，

故选：A．

点评： 本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于基础题．

10．（5分）（2007•福建）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（　　）

　 A． x2+y2﹣10x+9=0 B． x2+y2﹣10x+16=0

　 C． x2+y2+10x+16=0 D． x2+y2+20x+9=0

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题．

分析： 求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．

解答： 解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，

，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，

即x2+y2﹣10x+9=0，

故选A．

点评： 本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．

11．（5分）（2015•宝鸡三模）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元． 设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（　　）

　 A． 6 B． 5 C． 4 D． 3

考点： 函数模型的选择与应用．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．

解答： 解：设该设备第n年的营运费为an，万元，则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n，

则该设备使用了n年的营运费用总和为Tn=n2+n，

设第n年的盈利总额为Sn，则Sn=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9=﹣（n﹣5）2+16，

∴当n=5时，Sn取得最大值16，

故选：B．

点评： 本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．

12．（5分）（2015•宝鸡三模）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（　　）

　 A． （﹣∞，） B． C． （﹣∞，﹣2） D．

=2=﹣m2+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

∵﹣≤m≤，即0≤m2≤2

∴当m=0时，（|PA|2+|PB|2）max=，|PA|2+|PB|2的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．（12分）（2015•宝鸡三模）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：

（1）投资股市：

（2）购买基金：

（Ⅰ）当时，求q的值；

（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围；

（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．

考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．

专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）由题意可得p++q=1，代入可得q值；

（Ⅱ）由题意可得，再由p++q=1和概率的取值范围，解不等式可得；

（Ⅲ）列举可得所有可能的投资结果有9种，事件A的结果有5种，由概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，

且三种投资结果相互独立，∴p++q=1，

又∵，∴q=；

（Ⅱ）∵由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，∴，

∵p++q=1，∴，解得，

又∵，q≥0，∴，∴；

（Ⅲ）记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，

用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，

用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，

则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3×3=9种，

它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（c，x），（c，y），（c，z），

∴事件A的结果有5种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（c，x）．

∴这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率

点评： 本题考查相互独立事件发生的概率，涉及列举法求基本事件数，属中档题．

21．（12分）（2015•宝鸡三模）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．

（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有××…×＞．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： （Ⅰ） 当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f′（x）=ex﹣e，从而由导数的正负确定函数的单调性及极值；

（Ⅱ）求导f′（x）=ex﹣a，从而讨论确定函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，从而可化出ln（x+1）≤x，令x=（n∈N*），从而得到，从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）2018年陕西省宝鸡市高考三模试卷

（文科数学）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）（2015•宝鸡三模）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（　　）

　 A． {0，1} B． {0，1，2} C． {x|0≤x＜2} D． {x|0≤x≤2}

考点： 交集及其运算．

专题： 集合．

分析： 求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

解答： 解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，

解得：﹣2≤x≤2，即B=，

∵A={0，1}，

∴A∩B={0，1}．

故选：A．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2015•宝鸡三模）若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=（　　）

　 A． B． C． 2 D． 5

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．

专题： 平面向量及应用．

分析： 通过向量垂直数量积为0求出y，然后求解向量的模．

解答： 解：平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，

可得﹣2+2y=0，解得y=1，

||==．

故选：B．

点评： 本题考查向量的数量积的应用，向量垂直体积的应用，考查计算能力．

3．（5分）（2015•宝鸡三模）设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的（　　）

　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据充分必要条件的定义进行判断即可．

解答： 解：由a＜b＜0能推出ab＞b2，是充分条件，

由ab＞b2，推不出a＜b＜0，不是必要条件，

故选：A．

点评： 本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．

4．（5分）（2015•宝鸡三模）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（　　）

　 A． 20 B． 5 C． 4（+1） D． 4

考点： 简单空间图形的三视图．

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案．

解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

其底面棱长为2，

高h=2，

故侧面的侧高为=，

故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，

故选：D

点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

5．（5分）（2015•宝鸡三模）若a＞1，则在同一坐标系中，函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=logax的图象可能是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据a＞1，把函数等价变形：y=a﹣x=为指数函数且为减函数，再利用y=logax为对数函数，即可得到答案．

解答： 解：当a＞1时，y=a﹣x=为指数函数且为减函数，y=logax为对数函数且为增函数，只有C符合，其它均不符合，

故选：C．

点评： 本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对数）函数单调性的关系是解答本题的关键．

6．（5分）（2015•宝鸡三模）阅读如图所示程序图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（　　）

　 A． S=2*i B． S=2*i﹣1 C． S=2*i﹣2 D． S=2*i+4

考点： 程序框图．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．

解答： 解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*i时，

程序在运行过程中各变量的值如下表示：

i S 是否继续循环

循环前1 0/

第一圈 2 5 是

第二圈 3 6 是

第三圈 4 9 是

第四圈 5 10 否

故输出的i值为：5，符合题意．

故选：A．

点评： 本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果，属于基础题．

7．（5分）（2015•宝鸡三模）已知函数f（x）=，那么f（）的值为（　　）

　 A． ﹣ B． ﹣ C． D．

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由已知条件利用分段函数的性质得f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．

解答： 解：∵函数f（x）=，

∴f（）=f（﹣1）=f（﹣）=sin（﹣）=﹣sin=﹣．

故选：B．

点评： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．

8．（5分）（2015•宝鸡三模）在某新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　）

　 A． y=2x﹣1 B． log2x C． y= D． y=（）x

考点： 归纳推理．

专题： 函数的性质及应用；推理和证明．

分析： 由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，利用排除法可得出正确的答案．

解答： 解：由表格中的数据知，y随x的变化趋势，可得函数在（1，+∞）上是增函数，

且y的变化随x的增大越来越快，

∵A中函数是线性增加的函数，B中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；

∴排除A，B、D答案，

C中函数y=比较符合题意，

故选：C．

点评： 本题考查函数模型的选择与应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．

9．（5分）（2015•宝鸡三模）把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（　　）

　 A． 周期为π的奇函数 B． 周期为π的偶函数

　 C． 周期为2π的奇函数 D． 周期为2π的偶函数

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论．

解答： 解：把函数y=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象向右平移，得到函数f（x）=cos=cos（2x﹣）=sin2x 的图象，

由于f（x）是周期为π的奇函数，

故选：A．

点评： 本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于基础题．

10．（5分）（2007•福建）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（　　）

　 A． x2+y2﹣10x+9=0 B． x2+y2﹣10x+16=0

　 C． x2+y2+10x+16=0 D． x2+y2+20x+9=0

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题．

分析： 求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．

解答： 解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，

，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，

即x2+y2﹣10x+9=0，

故选A．

点评： 本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．

11．（5分）（2015•宝鸡三模）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元． 设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（　　）

　 A． 6 B． 5 C． 4 D． 3

考点： 函数模型的选择与应用．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．

解答： 解：设该设备第n年的营运费为an，万元，则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an=2n，

则该设备使用了n年的营运费用总和为Tn=n2+n，

设第n年的盈利总额为Sn，则Sn=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9=﹣（n﹣5）2+16，

∴当n=5时，Sn取得最大值16，

故选：B．

点评： 本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．

12．（5分）（2015•宝鸡三模）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是（　　）

　 A． （﹣∞，） B． C． （﹣∞，﹣2） D．

=2=﹣m2+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

∵﹣≤m≤，即0≤m2≤2

∴当m=0时，（|PA|2+|PB|2）max=，|PA|2+|PB|2的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）

点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．（12分）（2015•宝鸡三模）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：

（1）投资股市：

（2）购买基金：

（Ⅰ）当时，求q的值；

（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围；

（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．

考点： 相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．

专题： 概率与统计．

分析： （Ⅰ）由题意可得p++q=1，代入可得q值；

（Ⅱ）由题意可得，再由p++q=1和概率的取值范围，解不等式可得；

（Ⅲ）列举可得所有可能的投资结果有9种，事件A的结果有5种，由概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，

且三种投资结果相互独立，∴p++q=1，

又∵，∴q=；

（Ⅱ）∵由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，∴，

∵p++q=1，∴，解得，

又∵，q≥0，∴，∴；

（Ⅲ）记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，

用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，

用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，

则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3×3=9种，

它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（c，x），（c，y），（c，z），

∴事件A的结果有5种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（c，x）．

∴这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率

点评： 本题考查相互独立事件发生的概率，涉及列举法求基本事件数，属中档题．

21．（12分）（2015•宝鸡三模）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．

（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有××…×＞．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析： （Ⅰ） 当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f′（x）=ex﹣e，从而由导数的正负确定函数的单调性及极值；

（Ⅱ）求导f′（x）=ex﹣a，从而讨论确定函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，从而可化出ln（x+1）≤x，令x=（n∈N*），从而得到，从而证明．

解答： 解：（Ⅰ） 当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f′（x）=ex﹣e，

当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．

所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值．

（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f′（x）=ex﹣a，

若a＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；

当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，

故函数f（x）存在唯一零点x0，

当x＜x0时，f（x）＜0；当x＞x0时，f（x）＞0．

故a＜0不满足条件．

若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件．

若a＞0，由f′（x）=0，得x=lna，

当x＜lna时，f′（x）＜0；当x＞lna时，f′（x）＞0，

所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=﹣a•lna，

由f（lna）≥0得﹣a•lna≥0，

解得0＜a≤1．

综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，

所以f（x）=ex﹣x﹣1≥0恒成立，

即ex≥x+1，

所以ln（x+1）≤x，令x=（n∈N*），

得，

则有ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，

所以，

所以，

即．

点评： 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，难点在于证明不等式时函数的构造与化简，属于难题．

四、选作题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

选修4-4：坐标系与参数方程

22．（2015•宝鸡三模）已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

考点： 简单曲线的极坐标方程．

专题： 计算题．

分析： （1）先将原极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到曲线C的直角坐标方程．

（2）欲求△ABM面积的最大值，由于AB一定，故只要求AB边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M在过圆心且垂直于AB的直线上时，距离AB最远，据此求面积的最大值即可．

解答： 解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+y2=1．

由得：ρcosθ﹣ρsinθ=0，

即直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0．

（2）圆心（1，0）到直线l的距离为，

则圆上的点M到直线的最大距离

为（其中r为曲线C的半径），．设M点的坐标为（x，y），

则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y﹣1=0，

则联立方程，

解得，或，

经检验舍去．

故当点M为时，△ABM面积的最大值为（S△ABM）max=．

点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

选修4-5：不等式选讲

23．（2015•宝鸡三模）设实数a，b满足2a+b=9．

（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；

（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．

考点： 绝对值不等式的解法．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： （i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．

（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．

解答： 解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|．

所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1．

所以a的取值范围﹣1＜a＜1．

（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，

所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．

故z的最大值为27．…（7分）

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

当a=e时，f（x）=ex﹣ex﹣e，f′（x）=ex﹣e，

当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．

所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣e，函数f（x）无极大值．

（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f′（x）=ex﹣a，

若a＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；

当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，

故函数f（x）存在唯一零点x0，

当x＜x0时，f（x）＜0；当x＞x0时，f（x）＞0．

故a＜0不满足条件．

若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，满足条件．

若a＞0，由f′（x）=0，得x=lna，

当x＜lna时，f′（x）＜0；当x＞lna时，f′（x）＞0，

所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=﹣a•lna，

由f（lna）≥0得﹣a•lna≥0，

解得0＜a≤1．

综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，

所以f（x）=ex﹣x﹣1≥0恒成立，

即ex≥x+1，

所以ln（x+1）≤x，令x=（n∈N*），

得，

则有ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，

所以，

所以，

即．

点评： 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，难点在于证明不等式时函数的构造与化简，属于难题．

四、选作题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

选修4-4：坐标系与参数方程

22．（2015•宝鸡三模）已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

考点： 简单曲线的极坐标方程．

专题： 计算题．

分析： （1）先将原极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到曲线C的直角坐标方程．

（2）欲求△ABM面积的最大值，由于AB一定，故只要求AB边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M在过圆心且垂直于AB的直线上时，距离AB最远，据此求面积的最大值即可．

解答： 解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+y2=1．

由得：ρcosθ﹣ρsinθ=0，

即直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0．

（2）圆心（1，0）到直线l的距离为，

则圆上的点M到直线的最大距离

为（其中r为曲线C的半径），．设M点的坐标为（x，y），

则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y﹣1=0，

则联立方程，

解得，或，

经检验舍去．

故当点M为时，△ABM面积的最大值为（S△ABM）max=．

点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

选修4-5：不等式选讲

23．（2015•宝鸡三模）设实数a，b满足2a+b=9．

（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；

（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．

考点： 绝对值不等式的解法．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： （i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．

（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．

解答： 解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|．

所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1．

所以a的取值范围﹣1＜a＜1．

（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，

所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．

故z的最大值为27．…（7分）

点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．