第四章 数字电路基础——逻辑代数

一、逻辑代数的基本运算

逻辑：一定的因果关系。

　　逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治·布尔(George Boole)于1847年提出的，所以又称为布尔代数。

　　逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。

　 相同点：都用字母A、B、C……表示变量；

不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。“0”和“1”表示两种不同的逻辑状态：是和非、真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。

1、三种基本逻辑关系与运算

（1）、逻辑与

当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为逻辑与，也叫做逻辑乘。

逻辑表达式：Y＝A · B＝AB

符号“·”读作“与”，或读作“逻辑乘”；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。

实现逻辑与的电路称作与门，逻辑与和与门的逻辑符号如图所示，符号“&”表示逻辑与运算。

（2）、逻辑或

当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做逻辑或，也叫做逻辑加。

逻辑表达式：Y＝A＋B

符号“＋”读作“或”，或读作“逻辑加”。

实现逻辑或的电路称作或门，逻辑或和或门的逻辑符号如图所示，符号“≥1”表示逻辑或运算。

（3）、逻辑非

当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为逻辑非，也叫做逻辑反。

逻辑表达式：Y＝，符号“—”读作“非”。

实现逻辑非的电路称作非门，逻辑非和非门的逻辑符号如图所示。逻辑符号中用小圆圈“。”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。

2、常用复合逻辑运算

在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。

（1）、与非运算

“与”和“非”的复合运算称为与非运算。“有0必1，全1才0”。

逻辑表达式：

（2）、或非运算

　　“或”和“非”的复合运算称为或非运算。“有1必0，全0才1”。

逻辑表达式：

（3）、与或非运算

　　“与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。

逻辑表达式：

（4）、异或运算

　　所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1。

逻辑表达式：，式中符号“⊕”表示异或运算。

（5）、同或运算

　　所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。

逻辑表达式：，式中符号“⊙”表示同或运算。

二、逻辑函数及其表示方法

输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作

Y = F（A、B、C、D……)

A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；F为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。

表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。

1、真值表

真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。

真值表的特点：

（1）、唯一性；

（2）、按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。

（3）、n个输入变量就有2n个不同的取值组合。

2、逻辑函数表达式

按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。

由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为：

　　①、找出使输出为1的输入变量取值组合；

　　②、取值为1用原变量表示，取值为0的用反变量表示，则可写成一个乘积项；

　　③、将乘积项相加即得。

3、逻辑电路图

用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。

如的电路图如图所示：

三、逻辑代数的公式和运算法则

逻辑函数的相等的条件：

已知　Y = F1 (A、B、C、D……)

W= F2 (A、B、C、D……)

问： 　Y = W　的条件？

仅当A、B、C、D……的任一组取值所对应的Y和W都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时，则Y = W。

　　等号“＝”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。

1、基本公式

（1）、常量之间的关系

0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，它是人为规定的。这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。

（2）、逻辑代数基本公式的证明

以上分配律、反演律较难理解，需要特别证。

分配律真值表：

反演律真值表：